Ang konsepto ng isang prisma. Mga formula ng volume para sa mga prisma ng iba't ibang uri: regular, tuwid at pahilig. Ang solusyon sa problema

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Ang

Volume ay isang katangian ng anumang figure na may mga non-zero na dimensyon sa lahat ng tatlong dimensyon ng espasyo. Sa artikulong ito, mula sa punto ng view ng stereometry (ang geometry ng spatial figure), isasaalang-alang namin ang isang prisma at ipapakita kung paano hanapin ang mga volume ng mga prisma ng iba't ibang uri.

Ano ang prisma?

Ang

Stereometry ay may eksaktong sagot sa tanong na ito. Ang isang prisma sa loob nito ay nauunawaan bilang isang pigura na nabuo ng dalawang magkaparehong polygonal na mukha at ilang parallelograms. Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita ng apat na magkakaibang prisma.

Maaaring makuha ang bawat isa sa mga sumusunod: kailangan mong kumuha ng polygon (tatsulok, quadrilateral, at iba pa) at isang segment na may partikular na haba. Pagkatapos ang bawat vertex ng polygon ay dapat ilipat gamit ang parallel na mga segment sa isa pang eroplano. Sa bagong eroplano, na magiging parallel sa orihinal, isang bagong polygon ang makukuha, katulad ng napili sa una.

Ang mga prisma ay maaaring may iba't ibang uri. Kaya, maaari silang maging tuwid, pahilig at tama. Kung ang lateral edge ng prism (segment,pagkonekta sa mga vertices ng mga base) patayo sa mga base ng figure, pagkatapos ay ang huli ay isang tuwid na linya. Alinsunod dito, kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, pagkatapos ay pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang hilig na prisma. Ang regular na figure ay isang right prism na may equiangular at equilateral base.

Mamaya sa artikulo ay ipapakita namin kung paano kalkulahin ang volume ng bawat isa sa mga ganitong uri ng prisms.

Dami ng mga regular na prism

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso. Ibinibigay namin ang formula para sa dami ng isang regular na prisma na may n-gonal na base. Ang volume formula V para sa anumang figure ng klase na isinasaalang-alang ay ang mga sumusunod:

V=S_oh.

Iyon ay, upang matukoy ang volume, sapat na upang kalkulahin ang lugar ng isa sa mga base S_o at i-multiply ito sa taas h ng figure.

Sa kaso ng isang regular na prisma, tukuyin natin ang haba ng gilid ng base nito na may titik a, at ang taas, na katumbas ng haba ng gilid ng gilid, na may titik h. Kung tama ang base ng n-gon, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang kalkulahin ang lawak nito ay ang paggamit ng sumusunod na unibersal na formula:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Ang pagpapalit ng halaga ng bilang ng mga panig n at ang haba ng isang panig a sa pagkakapantay-pantay, maaari mong kalkulahin ang lugar ng base ng n-gonal. Tandaan na ang cotangent function dito ay kinakalkula para sa angle pi/n, na ipinahayag sa radians.

Dahil sa pagkakapantay-pantay na isinulat para sa S, nakukuha namin ang panghuling formula para sa volume ng isang regular na prisma:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Para sa bawat partikular na kaso, maaari mong isulat ang kaukulang mga formula para sa V, ngunit lahat silanatatanging sumusunod mula sa nakasulat na pangkalahatang pagpapahayag. Halimbawa, para sa isang regular na quadrangular prism, na sa pangkalahatan ay isang rectangular parallelepiped, nakukuha natin ang:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Kung kukuha tayo ng h=a sa expression na ito, makukuha natin ang formula para sa volume ng cube.

Dami ng direktang prisma

Napansin namin kaagad na para sa mga straight figure ay walang pangkalahatang formula para sa pagkalkula ng volume, na ibinigay sa itaas para sa mga regular na prism. Kapag hinahanap ang value na pinag-uusapan, dapat gamitin ang orihinal na expression:

V=S_oh.

Narito ang h ang haba ng gilid ng gilid, tulad ng sa nakaraang kaso. Para sa base area na S_o, maaari itong tumagal sa iba't ibang halaga. Ang gawain ng pagkalkula ng isang tuwid na prisma ng volume ay binabawasan upang mahanap ang lugar ng base nito.

Ang pagkalkula ng halaga ng S_oay dapat isagawa batay sa mga katangian ng base mismo. Halimbawa, kung ito ay isang tatsulok, kung gayon ang lugar ay maaaring kalkulahin tulad nito:

S_o3=1/2ah_a.

Narito ang h_a ay ang apothem ng tatsulok, ibig sabihin, ang taas nito ay ibinaba sa base a.

Kung ang base ay isang quadrilateral, maaari itong maging isang trapezoid, isang paralelogram, isang parihaba, o isang ganap na arbitrary na uri. Para sa lahat ng mga kasong ito, dapat mong gamitin ang naaangkop na formula ng planimetry upang matukoy ang lugar. Halimbawa, para sa isang trapezoid, ang formula na ito ay mukhang:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Kung saan ang h_a ay ang taas ng trapezoid, a₁ at a₂ ang mga haba ng magkatulad na panig nito.

Upang matukoy ang lugar para sa mga polygon na may mas mataas na pagkakasunud-sunod, dapat mong hatiin ang mga ito sa mga simpleng hugis (triangles, quadrangles) at kalkulahin ang kabuuan ng mga bahagi ng huli.

Tilted Prism Volume

Ito ang pinakamahirap na kaso ng pagkalkula ng volume ng isang prisma. Nalalapat din ang pangkalahatang formula para sa mga naturang bilang:

V=S_oh.

Gayunpaman, sa pagiging kumplikado ng paghahanap ng lugar ng base na kumakatawan sa isang arbitrary na uri ng polygon, ang problema sa pagtukoy sa taas ng figure ay idinagdag. Ito ay palaging mas mababa kaysa sa haba ng gilid na gilid sa isang inclined prism.

Ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang taas na ito ay kung alam mo ang anumang anggulo ng figure (flat o dihedral). Kung ang ganitong anggulo ay ibinigay, dapat itong gamitin upang bumuo ng isang right-angled triangle sa loob ng prism, na naglalaman ng taas h bilang isa sa mga gilid at, gamit ang trigonometriko function at ang Pythagorean theorem, hanapin ang halaga h.

Problema sa geometric volume

Binigyan ng regular na prism na may triangular na base, na may taas na 14 cm at isang haba ng gilid na 5 cm. Ano ang volume ng triangular prism?

Dahil pinag-uusapan natin ang tamang figure, may karapatan tayong gamitin ang kilalang formula. Mayroon kaming:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151.55 cm³.

Ang tatsulok na prism ay isang medyo simetriko na pigura, sa anyo kung saan madalas na ginagawa ang iba't ibang istrukturang arkitektura. Ginagamit ang glass prism na ito sa optika.