Regular na hexagonal pyramid. Mga formula para sa volume at surface area. Solusyon ng isang geometric na problema

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Stereometry, bilang isang sangay ng geometry sa kalawakan, pinag-aaralan ang mga katangian ng prisms, cylinders, cones, bola, pyramids at iba pang three-dimensional na figure. Ang artikulong ito ay nakatuon sa isang detalyadong pagsusuri ng mga katangian at katangian ng isang hexagonal na regular na pyramid.

Aling pyramid ang pag-aaralan

Ang regular na hexagonal pyramid ay isang figure sa espasyo, na nililimitahan ng isang equilateral at equiangular hexagon, at anim na magkaparehong isosceles triangle. Ang mga tatsulok na ito ay maaari ding maging equilateral sa ilalim ng ilang mga kundisyon. Ang pyramid na ito ay ipinapakita sa ibaba.

Ang parehong figure ay ipinapakita dito, tanging sa isang kaso ito ay nakabukas sa gilid ng mukha patungo sa mambabasa, at sa isa pa - kasama ang gilid nito.

Ang isang regular na hexagonal pyramid ay may 7 mukha, na binanggit sa itaas. Mayroon din itong 7 vertex at 12 gilid. Hindi tulad ng mga prisma, ang lahat ng mga pyramids ay may isang espesyal na vertex, na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng lateralmga tatsulok. Para sa isang regular na pyramid, ito ay gumaganap ng isang mahalagang papel, dahil ang patayo na ibinaba mula dito hanggang sa base ng figure ay ang taas. Dagdag pa, ang taas ay ilalarawan ng letrang h.

Ang ipinakitang pyramid ay tinatawag na tama para sa dalawang dahilan:

• sa base nito ay isang hexagon na may pantay na haba ng gilid a at pantay na anggulo na 120o;
• Ang taas ng pyramid h ay bumalandra sa hexagon nang eksakto sa gitna nito (ang punto ng intersection ay nasa parehong distansya mula sa lahat ng panig at mula sa lahat ng vertices ng hexagon).

Lugar sa ibabaw

Ang mga katangian ng isang regular na hexagonal pyramid ay isasaalang-alang mula sa kahulugan ng lugar nito. Upang gawin ito, ito ay unang kapaki-pakinabang upang ibuka ang figure sa isang eroplano. Ang isang eskematiko na representasyon nito ay ipinapakita sa ibaba.

Makikita na ang lugar ng sweep, at samakatuwid ang buong ibabaw ng figure na isinasaalang-alang, ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng anim na magkaparehong tatsulok at isang hexagon.

Upang matukoy ang lugar ng isang hexagon S_{6, gamitin ang unibersal na formula para sa isang regular na n-gon:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Kung saan ang a ay ang haba ng gilid ng hexagon.

Ang lugar ng isang tatsulok S₃ ng lateral side ay makikita kung alam mo ang halaga ng taas nito h_b:

S₃=1/2h_ba.

Dahil lahat ng animang mga tatsulok ay pantay-pantay sa isa't isa, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang gumaganang expression para sa pagtukoy ng lugar ng isang hexagonal pyramid na may tamang base:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Pyramid volume

Tulad ng lugar, ang volume ng isang hexagonal na regular na pyramid ay ang mahalagang katangian nito. Ang volume na ito ay kinakalkula ng pangkalahatang formula para sa lahat ng pyramids at cones. Isulat natin ito:

V=1/3S_oh.

Dito, ang simbolong S_o ay ang lugar ng hexagonal base, ibig sabihin, S_o=S _6.

Pinapalitan ang expression sa itaas para sa S_{6 sa formula para sa V, dumating tayo sa huling pagkakapantay-pantay para sa pagtukoy ng volume ng isang regular na hexagonal pyramid:}

V=√3/2a2h.

Isang halimbawa ng geometric na problema

Sa isang regular na hexagonal pyramid, ang lateral edge ay dalawang beses ang haba ng base side. Dahil alam na ang huli ay 7 cm, kinakailangang kalkulahin ang surface area at volume ng figure na ito.

Sa maaari mong hulaan, ang solusyon sa problemang ito ay nagsasangkot ng paggamit ng mga expression na nakuha sa itaas para sa S at V. Gayunpaman, hindi ito posibleng gamitin kaagad, dahil hindi natin alam ang apothem at ang taas ng isang regular na hexagonal pyramid. Kalkulahin natin sila.

Ang apothem h_b ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa isang right triangle na binuo sa mga gilid b, a/2 at h_{b. Narito ang b ay ang haba ng gilid ng gilid. Gamit ang kondisyon ng problema, makakakuha tayo ng:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Ang taas h ng pyramid ay maaaring matukoy nang eksakto sa parehong paraan tulad ng isang apothem, ngunit ngayon ay dapat nating isaalang-alang ang isang tatsulok na may mga gilid h, b at a, na matatagpuan sa loob ng pyramid. Ang taas ay magiging:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Makikita na ang kinakalkula na halaga ng taas ay mas mababa kaysa sa para sa apothem, na totoo para sa anumang pyramid.

Maaari ka na ngayong gumamit ng mga expression para sa volume at area:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Kaya, upang malinaw na matukoy ang anumang katangian ng isang regular na hexagonal pyramid, kailangan mong malaman ang alinman sa dalawa sa mga linear na parameter nito.