Ang mga karaniwang geometric na problema sa eroplano at sa three-dimensional na espasyo ay ang mga problema sa pagtukoy sa mga surface area ng iba't ibang hugis. Sa artikulong ito, ipinakita namin ang formula para sa lugar ng lateral surface ng isang regular na quadrangular pyramid.
Ano ang pyramid?
Magbigay tayo ng mahigpit na geometric na kahulugan ng isang pyramid. Ipagpalagay na mayroong ilang polygon na may n gilid at n sulok. Pumili kami ng isang arbitrary na punto sa espasyo na wala sa eroplano ng tinukoy na n-gon, at ikinonekta ito sa bawat vertex ng polygon. Makakakuha tayo ng figure na may ilang volume, na tinatawag na n-gonal pyramid. Halimbawa, ipakita natin sa figure sa ibaba kung ano ang hitsura ng pentagonal pyramid.
Dalawang mahalagang elemento ng anumang pyramid ay ang base (n-gon) at tuktok nito. Ang mga elementong ito ay konektado sa isa't isa sa pamamagitan ng n triangles, na sa pangkalahatan ay hindi katumbas ng bawat isa. Perpendicular ay bumaba mula saitaas hanggang ibaba ay tinatawag na taas ng pigura. Kung ito ay intersects ang base sa geometric center (coincides sa gitna ng mass ng polygon), pagkatapos ay tulad ng isang pyramid ay tinatawag na isang tuwid na linya. Kung, bilang karagdagan sa kondisyong ito, ang base ay isang regular na polygon, kung gayon ang buong pyramid ay tinatawag na regular. Ipinapakita ng figure sa ibaba kung ano ang hitsura ng mga regular na pyramids na may mga triangular, quadrangular, pentagonal at hexagonal na mga base.
Pyramid surface
Bago bumaling sa tanong tungkol sa lugar ng lateral surface ng isang regular na quadrangular pyramid, dapat nating pag-isipan ang konsepto ng surface mismo.
Tulad ng nabanggit sa itaas at ipinapakita sa mga figure, ang anumang pyramid ay nabuo sa pamamagitan ng isang hanay ng mga mukha o gilid. Ang isang gilid ay ang base at ang n panig ay mga tatsulok. Ang ibabaw ng buong figure ay ang kabuuan ng mga lugar ng bawat panig nito.
Ito ay maginhawa upang pag-aralan ang ibabaw sa halimbawa ng isang figure na paglalahad. Ang isang pag-scan para sa isang regular na quadrangular pyramid ay ipinapakita sa mga figure sa ibaba.
Nakikita namin na ang surface area nito ay katumbas ng kabuuan ng apat na bahagi ng magkaparehong isosceles triangle at ang area ng isang parisukat.
Ang kabuuang lugar ng lahat ng mga tatsulok na bumubuo sa mga gilid ng pigura ay tinatawag na lugar ng gilid na ibabaw. Susunod, ipapakita namin kung paano ito kalkulahin para sa isang regular na quadrangular pyramid.
Ang lugar ng lateral surface ng quadrangular regular pyramid
Upang kalkulahin ang lugar ng lateralibabaw ng tinukoy na pigura, muli kaming bumaling sa pag-scan sa itaas. Ipagpalagay na alam natin ang gilid ng square base. Tukuyin natin ito sa pamamagitan ng simbolo a. Makikita na ang bawat isa sa apat na magkakahawig na tatsulok ay may base ng haba a. Upang kalkulahin ang kanilang kabuuang lugar, kailangan mong malaman ang halagang ito para sa isang tatsulok. Alam mula sa kursong geometry na ang lugar ng isang tatsulok na St ay katumbas ng produkto ng base at taas, na dapat hatiin sa kalahati. Iyon ay:
St=1/2hba.
Kung saan ang hb ay ang taas ng isosceles triangle na iginuhit sa base a. Para sa isang pyramid, ang taas na ito ay ang apothem. Ngayon ay nananatiling i-multiply ang resultang expression sa 4 upang makuha ang lugar na Sbng lateral surface para sa pyramid na pinag-uusapan:
Sb=4St=2hba.
Naglalaman ang formula na ito ng dalawang parameter: ang apothem at ang gilid ng base. Kung ang huli ay kilala sa karamihan ng mga kondisyon ng mga problema, kung gayon ang una ay kailangang kalkulahin na alam ang iba pang dami. Narito ang mga formula para sa pagkalkula ng apotema hb para sa dalawang kaso:
- kapag alam ang haba ng tadyang sa gilid;
- kapag nalaman ang taas ng pyramid.
Kung tinutukoy natin ang haba ng lateral edge (ang gilid ng isosceles triangle) na may simbolong L, ang apotema hb ay tinutukoy ng formula:
hb=√(L2 - a2/4).
Ang expression na ito ay resulta ng paglalapat ng Pythagorean theorem para sa lateral surface triangle.
Kung kilalaang taas h ng pyramid, pagkatapos ay ang apotema hb ay maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:
hb=√(h2 + a2/4).
Hindi rin mahirap makuha ang expression na ito kung isasaalang-alang natin sa loob ng pyramid ang isang right-angled triangle na nabuo ng mga legs h at a/2 at ang hypotenuse hb.
Ipakita natin kung paano ilapat ang mga formula na ito sa pamamagitan ng paglutas ng dalawang kawili-wiling problema.
Problema sa kilalang surface area
Alam na ang lateral surface area ng isang regular na quadrangular pyramid ay 108 cm2. Kinakailangang kalkulahin ang halaga ng haba ng apothem nito hb, kung ang taas ng pyramid ay 7 cm.
Isulat natin ang formula para sa lugar na Sbng lateral surface hanggang sa taas. Mayroon kaming:
Sb=2√(h2 + a2/4) a.
Dito ay pinalitan lang namin ang kaukulang apotema formula sa expression para sa Sb. I-square natin ang magkabilang panig ng equation:
Sb2=4a2h2 + a4.
Upang mahanap ang halaga ng a, gumawa tayo ng pagbabago ng mga variable:
a2=t;
t2+ 4h2t - Sb 2=0.
Pinapalitan na natin ngayon ang mga kilalang halaga at lutasin ang quadratic equation:
t2+ 196t - 11664=0.
t ≈ 47, 8355.
Isinulat lang namin ang positibong ugat ng equation na ito. Kung gayon ang mga gilid ng base ng pyramid ay magiging:
a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.
Upang makuha ang haba ng apotema,gamitin lang ang formula:
hb=√(h2 + a2/4)=√(7 2+ 6, 9162/4) ≈ 7, 808 tingnan ang
Side surface ng Cheops pyramid
Tukuyin ang halaga ng lateral surface area para sa pinakamalaking Egyptian pyramid. Ito ay kilala na sa base nito ay namamalagi ng isang parisukat na may haba ng gilid na 230.363 metro. Ang taas ng istraktura ay orihinal na 146.5 metro. I-substitute ang mga numerong ito sa kaukulang formula para sa Sb, makuha natin ang:
Sb=2√(h2 + a2/4) a=2√(146, 52+230, 3632/4)230, 363 ≈ 85860 m2.
Ang nahanap na halaga ay bahagyang mas malaki kaysa sa lugar ng 17 football field.
