Ang volume ng isang regular na quadrangular pyramid. Formula at mga halimbawa ng mga gawain

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Kapag nag-aaral ng ganap na anumang spatial figure, mahalagang malaman kung paano kalkulahin ang volume nito. Nagbibigay ang artikulong ito ng formula para sa volume ng isang regular na quadrangular pyramid, at ipinapakita rin kung paano dapat gamitin ang formula na ito gamit ang isang halimbawa ng paglutas ng mga problema.

Aling pyramid ang pinag-uusapan natin?

Alam ng bawat high school student na ang pyramid ay isang polyhedron na binubuo ng mga triangles at polygon. Ang huli ay ang base ng figure. Ang mga tatsulok ay may isang karaniwang panig na may base at bumalandra sa isang punto, na siyang tuktok ng pyramid.

Ang bawat pyramid ay nailalarawan sa pamamagitan ng haba ng mga gilid ng base, ang haba ng mga gilid na gilid at ang taas. Ang huli ay isang perpendicular segment, na ibinababa sa base mula sa itaas ng figure.

Ang regular na quadrangular pyramid ay isang figure na may parisukat na base, na ang taas ay bumabagtas sa parisukat na ito sa gitna nito. Marahil ang pinakatanyag na halimbawa ng ganitong uri ng mga pyramid ay ang mga sinaunang istrukturang bato ng Egypt. Nasa ibaba ang isang larawanmga pyramid ng Cheops.

Ang figure na pinag-aaralan ay may limang mukha, apat sa mga ito ay magkaparehong isosceles triangle. Nailalarawan din ito ng limang vertice, apat sa mga ito ay nabibilang sa base, at walong gilid (4 na gilid ng base at 4 na gilid ng mga gilid na mukha).

Tama ang formula para sa volume ng quadrangular pyramid

Ang volume ng figure na pinag-uusapan ay isang bahagi ng espasyo na nililimitahan ng limang panig. Upang kalkulahin ang volume na ito, ginagamit namin ang sumusunod na dependence ng lugar ng isang slice parallel sa base ng pyramid S_z sa vertical coordinate z:

S_z=S_o (h - z/h)²

Narito ang S_o ay ang lugar ng square base. Kung papalitan natin ang z=h sa nakasulat na expression, makakakuha tayo ng zero value para sa S_z. Ang halagang ito ng z ay tumutugma sa isang slice na maglalaman lamang ng tuktok ng pyramid. Kung z=0, makukuha natin ang halaga ng base area S_o.

Madaling mahanap ang volume ng isang pyramid kung alam mo ang function na S_z(z), para dito sapat na upang i-cut ang figure sa isang walang katapusang bilang ng mga layer na kahanay sa base, at pagkatapos ay isagawa ang operasyon ng pagsasama. Sinusunod ko ang diskarteng ito, makakakuha tayo ng:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^h=1/3S₀h.

Dahil ang S₀ ayang lugar ng square base, pagkatapos, na tumutukoy sa gilid ng parisukat na may titik a, nakuha namin ang formula para sa dami ng isang regular na quadrangular pyramid:

V=1/3a²h.

Ngayon, gumamit tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng problema para ipakita kung paano dapat ilapat ang expression na ito.

Ang problema sa pagtukoy ng volume ng isang pyramid sa pamamagitan ng apothem at gilid ng gilid nito

Ang apothem ng isang pyramid ay ang taas ng lateral triangle nito, na ibinababa sa gilid ng base. Dahil ang lahat ng mga tatsulok ay pantay sa isang regular na pyramid, ang kanilang mga apothem ay magiging pareho din. Tukuyin natin ang haba nito sa pamamagitan ng simbolo na h_b. Tukuyin ang gilid na gilid bilang b.

Alam na ang apothem ng pyramid ay 12 cm, at ang lateral edge nito ay 15 cm, hanapin ang volume ng isang regular na quadrangular pyramid.

Ang formula para sa dami ng figure na nakasulat sa nakaraang talata ay naglalaman ng dalawang parameter: haba ng gilid a at taas h. Sa ngayon, wala tayong kilala sa kanila, kaya tingnan natin ang kanilang mga kalkulasyon.

Ang haba ng gilid ng isang parisukat a ay madaling kalkulahin kung gagamitin mo ang Pythagorean theorem para sa isang right triangle, kung saan ang hypotenuse ay ang gilid b, at ang mga binti ay ang apothem h _b at kalahati ng gilid ng base a/2. Nakukuha namin ang:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Pagpapalit sa mga kilalang value mula sa kundisyon, makukuha natin ang value a=18 cm.

Upang kalkulahin ang taas h ng pyramid, maaari kang gumawa ng dalawang bagay: isaalang-alang ang isang hugis-parihabaisang tatsulok na may hypotenuse-lateral edge o may hypotenuse-apothem. Ang parehong mga pamamaraan ay pantay-pantay at nagsasangkot ng pagganap ng parehong bilang ng mga pagpapatakbo ng matematika. Pag-isipan natin ang pagsasaalang-alang ng isang tatsulok, kung saan ang hypotenuse ay ang apothem h_b. Ang mga binti sa loob nito ay magiging h at a / 2. Pagkatapos ay makukuha natin ang:

h=√(h_b²-a²/4)=√(12 ²- 18²/4)=7, 937 cm.

Magagamit mo na ngayon ang formula para sa volume V:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 cm ³.

Kaya, ang volume ng isang regular na quadrangular pyramid ay humigit-kumulang 0.86 liters.

Ang dami ng pyramid ng Cheops

Ngayon, lutasin natin ang isang kawili-wili at praktikal na mahalagang problema: hanapin ang dami ng pinakamalaking pyramid sa Giza. Ito ay kilala mula sa panitikan na ang orihinal na taas ng gusali ay 146.5 metro, at ang haba ng base nito ay 230.363 metro. Binibigyang-daan kami ng mga numerong ito na ilapat ang formula upang makalkula ang V. Nakukuha namin ang:

V=1/3a²h=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

Ang resultang value ay halos 2.6 million m³. Ang volume na ito ay tumutugma sa volume ng isang cube na ang gilid ay 137.4 metro.