Sa geometry, dalawang mahalagang katangian ang ginagamit upang pag-aralan ang mga figure: ang haba ng mga gilid at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito. Sa kaso ng mga spatial figure, ang mga anggulo ng dihedral ay idinagdag sa mga katangiang ito. Isaalang-alang natin kung ano ito, at ilarawan din ang paraan para sa pagtukoy ng mga anggulong ito gamit ang halimbawa ng isang pyramid.
Ang konsepto ng dihedral angle
Alam ng lahat na ang dalawang intersecting na linya ay bumubuo ng isang anggulo sa vertex sa punto ng kanilang intersection. Ang anggulong ito ay maaaring masukat gamit ang isang protractor, o maaari mong gamitin ang mga trigonometric function upang kalkulahin ito. Ang anggulo na nabuo ng dalawang tamang anggulo ay tinatawag na linear.
Ngayon isipin na sa three-dimensional na espasyo ay may dalawang eroplano na nagsalubong sa isang tuwid na linya. Ipinapakita ang mga ito sa larawan.
Ang dihedral angle ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano. Tulad ng linear, sinusukat ito sa mga degree o radian. Kung sa anumang punto ng linya kung saan nagsalubong ang mga eroplano, ibalik ang dalawang patayo,nakahiga sa mga eroplanong ito, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ang nais na dihedral. Ang pinakamadaling paraan upang matukoy ang anggulong ito ay ang paggamit ng mga pangkalahatang equation ng mga eroplano.
Ang equation ng mga eroplano at ang formula para sa anggulo sa pagitan ng mga ito
Ang equation ng anumang eroplano sa kalawakan sa pangkalahatang mga termino ay isinusulat tulad ng sumusunod:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Narito ang x, y, z ay ang mga coordinate ng mga puntos na kabilang sa eroplano, ang mga coefficient A, B, C, D ay ilang kilalang numero. Ang kaginhawahan ng pagkakapantay-pantay na ito para sa pagkalkula ng mga anggulo ng dihedral ay tahasang naglalaman ito ng mga coordinate ng vector ng direksyon ng eroplano. Ipakikilala natin ito sa pamamagitan ng n¯. Pagkatapos:
n¯=(A; B; C).
Ang vector n¯ ay patayo sa eroplano. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon n1¯ at n2¯. Ito ay kilala mula sa matematika na ang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dalawang vector ay natatanging tinutukoy mula sa kanilang scalar product. Binibigyang-daan ka nitong magsulat ng formula para sa pagkalkula ng dihedral angle sa pagitan ng dalawang eroplano:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Kung papalitan natin ang mga coordinate ng mga vector, tahasang isusulat ang formula:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Ang modulo sign sa numerator ay ginagamit upang tukuyin lamang ang isang matinding anggulo, dahil ang isang dihedral na anggulo ay palaging mas mababa sa o katumbas ng 90o.
Pyramid at mga sulok nito
Ang
Pyramid ay isang figure na nabuo ng isang n-gon at n triangle. Narito ang n ay isang integer na katumbas ng bilang ng mga gilid ng polygon na ang base ng pyramid. Ang spatial figure na ito ay isang polyhedron o polyhedron, dahil binubuo ito ng mga patag na mukha (mga gilid).
Ang mga dihedral na anggulo ng isang pyramid-polyhedron ay maaaring may dalawang uri:
- sa pagitan ng base at gilid (tatsulok);
- sa pagitan ng dalawang panig.
Kung ang pyramid ay itinuturing na regular, madaling matukoy ang mga pinangalanang anggulo para dito. Upang gawin ito, gamit ang mga coordinate ng tatlong kilalang mga punto, dapat isa ay bumuo ng isang equation ng mga eroplano, at pagkatapos ay gamitin ang formula na ibinigay sa talata sa itaas para sa anggulo φ.
Sa ibaba ay nagbibigay kami ng isang halimbawa kung saan ipinapakita namin kung paano maghanap ng mga dihedral na anggulo sa base ng isang quadrangular na regular na pyramid.
Isang quadrangular regular pyramid at isang anggulo sa base nito
Ipagpalagay na ang isang regular na pyramid na may square base ay ibinigay. Ang haba ng gilid ng parisukat ay a, ang taas ng pigura ay h. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng base ng pyramid at sa gilid nito.
Ilagay natin ang pinagmulan ng coordinate system sa gitna ng parisukat. Pagkatapos ay ang mga coordinate ng mga puntosA, B, C, D na ipinapakita sa larawan ay magiging:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Isaalang-alang ang mga eroplanong ACB at ADB. Malinaw, ang vector ng direksyon n1¯ para sa eroplano ng ACB ay magiging:
1¯=(0; 0; 1).
Upang matukoy ang vector ng direksyon n2¯ ng eroplano ng ADB, magpatuloy tulad ng sumusunod: humanap ng dalawang arbitrary na vector na kabilang dito, halimbawa, AD¯ at AB¯, pagkatapos ay kalkulahin ang kanilang gawaing vector. Ang resulta nito ay magbibigay ng mga coordinate n2¯. Mayroon kaming:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Dahil ang multiplikasyon at paghahati ng isang vector sa isang numero ay hindi nagbabago ng direksyon nito, binabago namin ang resultang n2¯, na hinahati ang mga coordinate nito sa -a, nakukuha namin ang:
2¯=(h; 0; a/2).
Nakatukoy kami ng mga gabay sa vector n1¯ at n2¯ para sa base ng ACB at mga side plane ng ADB. Nananatili itong gamitin ang formula para sa anggulo φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Ibahin ang anyo ng resultang expression at muling isulat ito tulad nito:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Nakuha namin ang formula para sa dihedral angle sa base para sa isang regular na quadrangular pyramid. Alam ang taas ng figure at ang haba ng gilid nito, maaari mong kalkulahin ang anggulo φ. Halimbawa, para sa pyramid ng Cheops, na ang base side ay 230.4 metro, at ang unang taas ay 146.5 metro, ang anggulo φ ay magiging 51.8o.
Posible ring matukoy ang dihedral angle para sa quadrangular regular pyramid gamit ang geometric na pamamaraan. Upang gawin ito, sapat na upang isaalang-alang ang isang right-angled triangle na nabuo sa pamamagitan ng taas h, kalahati ng haba ng base a/2 at ang apothem ng isang isosceles triangle.
