Dihedral na anggulo ng pyramid at ang paraan ng kanilang pagkalkula

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Ang mga karaniwang linear na parameter ng anumang pyramid ay ang mga haba ng mga gilid ng base, taas, gilid ng gilid at apothem nito. Gayunpaman, mayroong isa pang katangian na nauugnay sa mga nabanggit na mga parameter - ito ang anggulo ng dihedral. Isaalang-alang sa artikulo kung ano ito at kung paano ito mahahanap.

Spatial figure pyramid

Bawat estudyante ay may magandang ideya kung ano ang nakataya kapag narinig niya ang salitang "pyramid". Maaari itong buuin sa geometrical na paraan tulad ng sumusunod: pumili ng isang partikular na polygon, pagkatapos ay ayusin ang isang punto sa espasyo at ikonekta ito sa bawat sulok ng polygon. Ang magreresultang three-dimensional na figure ay isang pyramid ng isang arbitrary na uri. Ang polygon na bumubuo nito ay tinatawag na base, at ang punto kung saan konektado ang lahat ng sulok nito ay ang vertex ng figure. Ang figure sa ibaba ay schematically na nagpapakita ng pentagonal pyramid.

Makikita na ang ibabaw nito ay nabuo hindi lamang ng isang pentagon, kundi pati na rin ng limang tatsulok. Sa pangkalahatan, ang bilang ng mga tatsulok na ito ay magiging katumbas ng bilangmga gilid ng polygonal na base.

Dihedral na anggulo ng figure

Kapag isinasaalang-alang ang mga geometric na problema sa isang eroplano, ang anumang anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang intersecting na tuwid na linya, o mga segment. Sa kalawakan, ang mga dihedral na anggulo ay idinaragdag sa mga linear na anggulo na ito, na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng dalawang eroplano.

Kung ang minarkahang kahulugan ng isang anggulo sa espasyo ay inilapat sa figure na pinag-uusapan, maaari nating sabihin na mayroong dalawang uri ng dihedral angle:

• Sa base ng pyramid. Ito ay nabuo sa pamamagitan ng eroplano ng base at alinman sa mga gilid na mukha (tatsulok). Nangangahulugan ito na ang mga base na anggulo ng pyramid ay n, kung saan ang n ay ang bilang ng mga gilid ng polygon.
• Sa pagitan ng mga gilid (triangles). Ang bilang ng mga dihedral na anggulo na ito ay n piraso din.

Tandaan na ang unang uri ng itinuturing na mga anggulo ay itinayo sa mga gilid ng base, ang pangalawang uri - sa mga gilid na gilid.

Paano kalkulahin ang mga anggulo ng isang pyramid?

Ang linear na anggulo ng isang dihedral angle ay ang sukat ng huli. Hindi madaling kalkulahin ito, dahil ang mga mukha ng pyramid, hindi katulad ng mga mukha ng prisma, ay hindi bumalandra sa tamang mga anggulo sa pangkalahatang kaso. Pinaka-maaasahang kalkulahin ang mga halaga ng mga anggulo ng dihedral gamit ang mga equation ng eroplano sa pangkalahatang anyo.

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang isang eroplano ay ibinibigay ng sumusunod na expression:

Ax + By + Cz + D=0

Kung saan ang A, B, C, D ay ilang totoong numero. Ang kaginhawahan ng equation na ito ay ang unang tatlong minarkahang numero ay ang mga coordinate ng vector,na patayo sa ibinigay na eroplano, i.e.:

n¯=[A; B; C]

Kung ang mga coordinate ng tatlong puntos na kabilang sa eroplano ay kilala, kung gayon sa pamamagitan ng pagkuha ng vector product ng dalawang vectors na binuo sa mga puntong ito, makukuha ng isa ang mga coordinate n¯. Ang vector n¯ ay tinatawag na gabay para sa eroplano.

Ayon sa kahulugan, ang dihedral na anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng dalawang eroplano ay katumbas ng linear na anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon. Ipagpalagay na mayroon tayong dalawang eroplano na ang mga normal na vector ay pantay:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Upang kalkulahin ang anggulo φ sa pagitan ng mga ito, maaari mong gamitin ang scalar product property, pagkatapos ang katumbas na formula ay magiging:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

O sa coordinate form:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Ipakita natin kung paano gamitin ang paraan sa itaas para sa pagkalkula ng mga anggulo ng dihedral kapag nilulutas ang mga geometric na problema.

Angles ng isang regular na quadrangular pyramid

Ipagpalagay na mayroong isang regular na pyramid, sa base nito ay mayroong isang parisukat na may gilid na 10 cm. Ang taas ng pigura ay12 cm. Kinakailangang kalkulahin kung ano ang mga anggulo ng dihedral sa base ng pyramid at para sa mga gilid nito.

Dahil ang figure na ibinigay sa kondisyon ng problema ay tama, iyon ay, ito ay may mataas na simetrya, kung gayon ang lahat ng mga anggulo sa base ay pantay sa bawat isa. Ang mga anggulo na nabuo ng mga gilid na mukha ay pareho din. Upang kalkulahin ang kinakailangang mga anggulo ng dihedral, nakita namin ang mga vector ng direksyon para sa base at dalawang panig na eroplano. Tukuyin ang haba ng gilid ng base sa pamamagitan ng titik a, at ang taas h.

Ang larawan sa itaas ay nagpapakita ng isang quadrangular na regular na pyramid. Isulat natin ang mga coordinate ng mga puntos A, B, C at D alinsunod sa ipinasok na coordinate system:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Ngayon ay makikita natin ang mga vector ng direksyon para sa mga base plane na ABC at ang dalawang panig na ABD at BCD alinsunod sa pamamaraang inilarawan sa talata sa itaas:

Para sa ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Para sa ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Para sa BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Ngayon ay nananatiling ilapat ang naaangkop na formula para sa anggulo φ at palitan ang mga halaga ng gilid at taas mula sa pahayag ng problema:

Anggulo sa pagitan ng ABC atABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

Anggulo sa pagitan ng ABD at BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Kinakalkula namin ang mga halaga ng mga anggulo na kailangang mahanap ayon sa kondisyon ng problema. Ang mga formula na nakuha sa paglutas ng problema ay maaaring gamitin upang matukoy ang mga dihedral na anggulo ng quadrangular regular pyramids na may anumang halaga ng a at h.

Angles ng isang triangular na regular na pyramid

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang pyramid na ang base ay isang regular na tatsulok. Ito ay kilala na ang dihedral anggulo sa pagitan ng mga gilid ay tama. Kinakailangang kalkulahin ang lugar ng base kung alam na ang taas ng figure ay 15 cm.

Ang isang dihedral na anggulo na katumbas ng 90^o ay tinutukoy bilang ABC sa figure. Maaari mong malutas ang problema gamit ang pamamaraan sa itaas, ngunit sa kasong ito gagawin namin itong mas madali. Tukuyin natin ang gilid ng tatsulok a, ang taas ng figure - h, ang apothema - h_b at ang gilidtadyang - b. Maaari mo na ngayong isulat ang mga sumusunod na formula:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Dahil ang dalawang gilid na tatsulok sa pyramid ay pareho, ang mga gilid AB at CB ay pantay at ang mga binti ng tatsulok na ABC. Tukuyin natin ang kanilang haba ng x, pagkatapos ay:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Pagkapantay-pantay sa mga bahagi ng mga tatsulok sa gilid at pagpapalit ng apothem sa katumbas na expression, mayroon tayong:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Ang lugar ng isang equilateral triangle ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Palitan ang value ng taas mula sa kondisyon ng problema, makuha natin ang sagot: S=584, 567 cm².