Kapag nilulutas ang mga geometric na problema sa kalawakan, madalas mayroong mga kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang mga anggulo sa pagitan ng iba't ibang spatial na bagay. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isyu ng paghahanap ng mga anggulo sa pagitan ng mga eroplano at sa pagitan ng mga ito at ng isang tuwid na linya.
Linya sa espasyo
Alam na ang anumang tuwid na linya sa eroplano ay maaaring tukuyin ng sumusunod na pagkakapantay-pantay:
y=ax + b
Narito ang a at b ng ilang numero. Kung kinakatawan natin ang isang tuwid na linya sa espasyo na may parehong expression, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang eroplanong parallel sa z axis. Para sa mathematical na kahulugan ng spatial na linya, ibang paraan ng solusyon ang ginagamit kaysa sa two-dimensional na kaso. Binubuo ito sa paggamit ng konsepto ng "direction vector".
Ang nagdidirekta na vector ng isang tuwid na linya ay nagpapakita ng oryentasyon nito sa espasyo. Ang parameter na ito ay kabilang sa linya. Dahil mayroong isang walang katapusang hanay ng mga vector na kahanay sa espasyo, kung gayon upang natatanging matukoy ang itinuturing na geometric na bagay, kailangan ding malaman ang mga coordinate ng puntong kabilang dito.
Ipagpalagay na mayroonpoint P(x0; y0; z0) at vector ng direksyon v¯(a; b; c), kung gayon ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ibigay tulad ng sumusunod:
(x; y; z)=P + αv¯ o
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Ang expression na ito ay tinatawag na parametric vector equation ng isang tuwid na linya. Ang coefficient α ay isang parameter na maaaring tumagal ng ganap na anumang tunay na halaga. Ang mga coordinate ng isang linya ay maaaring tahasang katawanin sa pamamagitan ng pagpapalawak ng pagkakapantay-pantay na ito:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Equation ng eroplano
May ilang paraan ng pagsulat ng equation para sa isang eroplano sa kalawakan. Dito natin isasaalang-alang ang isa sa mga ito, na kadalasang ginagamit kapag kinakalkula ang mga anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano o sa pagitan ng isa sa mga ito at ng isang tuwid na linya.
Kung alam ang ilang vector n¯(A; B; C), na patayo sa gustong eroplano, at ang puntong P(x0; y 0; z0), na kabilang dito, pagkatapos ang pangkalahatang equation para sa huli ay:
Ax + By + Cz + D=0 kung saan D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Inalis namin ang derivation ng expression na ito, na medyo simple. Dito lamang natin napapansin na, sa pag-alam sa mga coefficient ng mga variable sa equation ng eroplano, ang isa ay madaling mahanap ang lahat ng mga vectors na patayo dito. Ang huli ay tinatawag na normal at ginagamit sa pagkalkula ng mga anggulo sa pagitan ng hilig at ng eroplano at sa pagitan ngarbitrary analogues.
Ang lokasyon ng mga eroplano at ang formula para sa anggulo sa pagitan ng mga ito
Sabihin nating may dalawang eroplano. Ano ang mga opsyon para sa kanilang relatibong posisyon sa kalawakan. Dahil ang eroplano ay may dalawang walang katapusang dimensyon at isang zero, dalawang opsyon lang para sa kanilang magkaparehong oryentasyon ang posible:
- magiging parallel sila sa isa't isa;
- maaari silang mag-overlap.
Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay ang index sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon, ibig sabihin, sa pagitan ng kanilang mga normal n1¯ at n2¯.
Malinaw, kung parallel ang mga ito sa eroplano, ang anggulo ng intersection ay zero sa pagitan nila. Kung sila ay bumalandra, kung gayon ito ay nonzero, ngunit palaging matalim. Ang isang espesyal na kaso ng intersection ay ang anggulong 90o, kapag ang mga eroplano ay magkaparehong patayo sa isa't isa.
Ang anggulong α sa pagitan ng n1¯ at n2¯ ay madaling matukoy mula sa scalar product ng mga vector na ito. Ibig sabihin, nagaganap ang formula:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Ipagpalagay na ang mga coordinate ng mga vector na ito ay: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Pagkatapos, gamit ang mga formula para sa pagkalkula ng scalar na produkto at mga module ng mga vector sa pamamagitan ng kanilang mga coordinate, ang expression sa itaas ay maaaring muling isulat bilang:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Lumataw ang modulus sa numerator dahil upang ibukod ang mga halaga ng mga obtuse na anggulo.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema upang matukoy ang anggulo ng intersection ng mga eroplano
Alam kung paano hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano, malulutas namin ang sumusunod na problema. Dalawang eroplano ang ibinigay, ang mga equation nito ay:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Ano ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano?
Upang masagot ang tanong ng problema, tandaan natin na ang mga coefficient ng mga variable sa pangkalahatang equation ng eroplano ay ang mga coordinate ng guide vector. Para sa mga ipinahiwatig na eroplano, mayroon kaming mga sumusunod na coordinate ng kanilang mga normal:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Ngayon ay nakita namin ang scalar product ng mga vector na ito at ang kanilang mga module, mayroon kaming:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Ngayon ay maaari mong palitan ang mga nahanap na numero sa formula na ibinigay sa nakaraang talata. Nakukuha namin ang:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Ang resultang halaga ay tumutugma sa isang matinding anggulo ng intersection ng mga eroplanong tinukoy sa kundisyonmga gawain.
Ngayon isaalang-alang ang isa pang halimbawa. Binigyan ng dalawang eroplano:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Nagsalubong ba sila? Isulat natin ang mga halaga ng mga coordinate ng kanilang mga vector ng direksyon, kalkulahin ang kanilang scalar na produkto at mga module:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Kung gayon ang anggulo ng intersection ay:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Ang anggulong ito ay nagsasaad na ang mga eroplano ay hindi nagsalubong, ngunit magkatulad. Ang katotohanan na hindi sila tugma sa isa't isa ay madaling suriin. Kunin natin para dito ang isang arbitraryong punto na kabilang sa una sa kanila, halimbawa, P(0; 3; 2). I-substitute ang mga coordinate nito sa pangalawang equation, makuha natin ang:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Ibig sabihin, ang puntong P ay nabibilang lamang sa unang eroplano.
Kaya ang dalawang eroplano ay parallel kapag ang kanilang mga normal ay.
Eroplano at tuwid na linya
Sa kaso ng pagsasaalang-alang sa relatibong posisyon sa pagitan ng isang eroplano at isang tuwid na linya, mayroong ilang higit pang mga opsyon kaysa sa dalawang eroplano. Ang katotohanang ito ay konektado sa katotohanan na ang tuwid na linya ay isang one-dimensional na bagay. Ang linya at eroplano ay maaaring:
- magkaparehong parallel, sa kasong ito ang eroplano ay hindi sumasalubong sa linya;
- ang huli ay maaaring kabilang sa eroplano, habang ito ay magiging parallel din dito;
- parehong bagay ay maaaringbumalandra sa ilang anggulo.
Isaalang-alang muna natin ang huling kaso, dahil nangangailangan ito ng pagpapakilala ng konsepto ng anggulo ng intersection.
Linya at eroplano, ang anggulo sa pagitan nila
Kung ang isang tuwid na linya ay nag-intersect sa isang eroplano, kung gayon ito ay tinatawag na inclined patungkol dito. Ang punto ng intersection ay tinatawag na base ng slope. Upang matukoy ang anggulo sa pagitan ng mga geometric na bagay na ito, kinakailangan na ibaba ang isang tuwid na patayo sa eroplano mula sa anumang punto. Pagkatapos ang punto ng intersection ng patayo sa eroplano at ang lugar ng intersection ng hilig na linya kasama nito ay bumubuo ng isang tuwid na linya. Ang huli ay tinatawag na projection ng orihinal na linya papunta sa eroplanong isinasaalang-alang. Ang matinding anggulo sa pagitan ng linya at projection nito ang kinakailangan.
Medyo nakakalito na kahulugan ng anggulo sa pagitan ng isang eroplano at isang pahilig ay maglilinaw sa figure sa ibaba.
Dito ang anggulong ABO ay ang anggulo sa pagitan ng linyang AB at ng eroplano a.
Upang isulat ang formula para dito, isaalang-alang ang isang halimbawa. Hayaang magkaroon ng isang tuwid na linya at isang eroplano, na inilalarawan ng mga equation:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Madaling kalkulahin ang gustong anggulo para sa mga bagay na ito kung makikita mo ang scalar product sa pagitan ng mga vector ng direksyon ng linya at ng eroplano. Ang resultang acute angle ay dapat ibawas mula sa 90o, pagkatapos ay makuha ito sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano.
Ang figure sa itaas ay nagpapakita ng inilarawang algorithm para sa paghahanapitinuturing na anggulo. Narito ang β ay ang anggulo sa pagitan ng normal at ng linya, at ang α ay nasa pagitan ng linya at ang projection nito papunta sa eroplano. Makikita na ang kanilang kabuuan ay 90o.
Sa itaas, ipinakita ang isang formula na sumasagot sa tanong kung paano maghanap ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano. Ngayon ay nagbibigay kami ng kaukulang expression para sa kaso ng isang tuwid na linya at isang eroplano:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Ang modulus sa formula ay nagbibigay-daan lamang sa mga talamak na anggulo na kalkulahin. Ang arcsine function ay lumitaw sa halip na ang arccosine dahil sa paggamit ng kaukulang reduction formula sa pagitan ng trigonometriko function (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problema: Nag-intersect ang isang eroplano sa isang tuwid na linya
Ngayon, ipakita natin kung paano gamitin ang formula sa itaas. Lutasin natin ang problema: kinakailangang kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng y-axis at ng eroplanong ibinigay ng equation:
y - z + 12=0
Ang eroplanong ito ay ipinapakita sa larawan.
Makikita mong nag-intersect ito sa y at z axes sa mga punto (0; -12; 0) at (0; 0; 12), ayon sa pagkakabanggit, at kahanay ng x axis.
Ang vector ng direksyon ng linyang y ay may mga coordinate (0; 1; 0). Ang isang vector na patayo sa isang naibigay na eroplano ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga coordinate (0; 1; -1). Inilapat namin ang formula para sa anggulo ng intersection ng isang tuwid na linya at isang eroplano, nakukuha namin ang:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Problema: tuwid na linyang parallel sa eroplano
Ngayon, magpasya tayokatulad ng nakaraang problema, ang tanong kung saan ay ibinabanta nang iba. Ang mga equation ng eroplano at ang tuwid na linya ay kilala:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Kailangan upang malaman kung ang mga geometric na bagay na ito ay parallel sa isa't isa.
Mayroon tayong dalawang vector: ang direksyon ng tuwid na linya ay (0; 2; 2) at ang direksyon ng eroplano ay (1; 1; -1). Hanapin ang kanilang dot product:
01 + 12 - 12=0
Ang resultang zero ay nagpapahiwatig na ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay 90o, na nagpapatunay na ang linya at ang eroplano ay parallel.
Ngayon tingnan natin kung parallel lang ang linyang ito o nasa eroplano din. Upang gawin ito, pumili ng isang arbitrary na punto sa linya at suriin kung ito ay kabilang sa eroplano. Halimbawa, kunin natin ang λ=0, kung gayon ang puntong P(1; 0; 0) ay kabilang sa linya. Palitan sa equation ng eroplanong P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Ang puntong P ay hindi kabilang sa eroplano, na nangangahulugan na ang buong linya ay hindi rin nasa loob nito.
Saan mahalagang malaman ang mga anggulo sa pagitan ng itinuturing na mga geometric na bagay?
Ang mga formula sa itaas at mga halimbawa ng paglutas ng problema ay hindi lamang sa teoretikal na interes. Kadalasang ginagamit ang mga ito upang matukoy ang mahahalagang pisikal na dami ng mga totoong three-dimensional na figure, gaya ng prisms o pyramids. Mahalagang matukoy ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano kapag kinakalkula ang mga volume ng mga numero at ang mga lugar ng kanilang mga ibabaw. Bukod dito, kung sa kaso ng isang tuwid na prisma posible na hindi gamitin ang mga formula na ito upang matukoymga tinukoy na halaga, pagkatapos ay para sa anumang uri ng pyramid ang kanilang paggamit ay hindi maiiwasan.
Sa ibaba, isaalang-alang ang isang halimbawa ng paggamit ng teorya sa itaas upang matukoy ang mga anggulo ng isang pyramid na may parisukat na base.
Pyramid at mga sulok nito
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang pyramid, sa base nito ay isang parisukat na may gilid a. Ang taas ng pigura ay h. Kailangang maghanap ng dalawang sulok:
- sa pagitan ng gilid na ibabaw at base;
- sa pagitan ng side rib at base.
Upang malutas ang problema, kailangan mo munang ipasok ang coordinate system at tukuyin ang mga parameter ng kaukulang vertices. Ipinapakita ng figure na ang pinagmulan ng mga coordinate ay tumutugma sa punto sa gitna ng square base. Sa kasong ito, ang base plane ay inilalarawan ng equation:
z=0
Iyon ay, para sa anumang x at y, ang halaga ng ikatlong coordinate ay palaging zero. Ang lateral plane na ABC ay nag-intersect sa z-axis sa puntong B(0; 0; h), at ang y-axis sa puntong may mga coordinate (0; a/2; 0). Hindi ito tumatawid sa x-axis. Nangangahulugan ito na ang equation ng ABC plane ay maaaring isulat bilang:
y / (a / 2) + z / h=1 o
2hy + az - ah=0
Ang Vector AB¯ ay isang gilid na gilid. Ang mga coordinate ng simula at pagtatapos nito ay: A(a/2; a/2; 0) at B(0; 0; h). Pagkatapos ang mga coordinate ng vector mismo:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Nahanap namin ang lahat ng kinakailangang equation at vector. Ngayon ay nananatiling gamitin ang mga itinuturing na formula.
Una kalkulahin namin sa pyramid ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ng baseat gilid. Ang mga katumbas na normal na vector ay: n1¯(0; 0; 1) at n2¯(0; 2h; a). Pagkatapos ang anggulo ay magiging:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Ang anggulo sa pagitan ng eroplano at gilid AB ay magiging:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Nananatili itong palitan ang mga partikular na halaga ng gilid ng base a at ang taas h upang makuha ang mga kinakailangang anggulo.
