Ang Line at plane ay ang dalawang pinakamahalagang geometric na elemento na maaaring gamitin upang bumuo ng iba't ibang hugis sa 2D at 3D na espasyo. Pag-isipan kung paano hanapin ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya at parallel na eroplano.
Math task straight line
Mula sa kursong geometry ng paaralan, alam na sa isang two-dimensional na rectangular coordinate system, maaaring tukuyin ang isang linya sa sumusunod na anyo:
y=kx + b.
Kung saan ang k at b ay mga numero (mga parameter). Ang nakasulat na anyo ng kumakatawan sa isang linya sa isang eroplano ay isang eroplano na parallel sa z-axis sa tatlong-dimensional na espasyo. Dahil dito, sa artikulong ito, para sa matematikal na pagtatalaga ng isang tuwid na linya, gagamit kami ng mas maginhawa at unibersal na anyo - isang vector.
Ipagpalagay na ang aming linya ay parallel sa ilang vector u¯(a, b, c) at dumadaan sa puntong P(x0, y0, z0). Sa kasong ito, sa anyo ng vector, ang equation nito ay kakatawanin bilang sumusunod:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Narito λ ang anumang numero. Kung tahasan nating kinakatawan ang mga coordinate sa pamamagitan ng pagpapalawak ng nakasulat na expression, makakakuha tayo ng parametric na paraan ng pagsulat ng isang tuwid na linya.
Maginhawang gumamit ng vector equation kapag nilulutas ang iba't ibang problema kung saan kinakailangan upang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya.
Mga linya at ang distansya sa pagitan ng mga ito
Makatuwirang pag-usapan ang distansya sa pagitan ng mga linya kapag magkaparehas lang ang mga ito (sa three-dimensional case, mayroon ding hindi zero na distansya sa pagitan ng mga skew na linya). Kung magsalubong ang mga linya, malinaw na nasa zero ang distansya nila sa isa't isa.
Ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya ay ang haba ng perpendikular na nagdudugtong sa kanila. Upang matukoy ang tagapagpahiwatig na ito, sapat na ang pumili ng isang arbitrary na punto sa isa sa mga linya at mag-drop ng isang patayo mula dito patungo sa isa pa.
Ilarawan natin nang maikli ang pamamaraan para sa paghahanap ng gustong distansya. Ipagpalagay na alam natin ang mga vector equation ng dalawang linya, na ipinakita sa sumusunod na pangkalahatang anyo:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Bumuo ng parallelogram sa mga linyang ito upang ang isa sa mga gilid ay PQ, at ang isa, halimbawa, u. Malinaw, ang taas ng figure na ito, na iginuhit mula sa puntong P, ay ang haba ng kinakailangang patayo. Upang mahanap ito, maaari mong ilapat ang sumusunod na simpleformula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Dahil ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya ay ang haba ng perpendicular segment sa pagitan ng mga ito, kung gayon ayon sa nakasulat na expression, sapat na upang mahanap ang modulus ng vector product ng PQ¯ at u¯ at hatiin ang resulta sa pamamagitan ng ang haba ng vector u¯.
Isang halimbawa ng gawain upang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya
Dalawang tuwid na linya ang ibinibigay ng mga sumusunod na vector equation:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Mula sa mga nakasulat na expression ay malinaw na mayroon tayong dalawang magkatulad na linya. Sa katunayan, kung i-multiply natin sa -1 ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng unang linya, makukuha natin ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng pangalawang linya, na nagpapahiwatig ng kanilang parallelism.
Ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya ay kakalkulahin gamit ang formula na nakasulat sa nakaraang talata ng artikulo. Mayroon kaming:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Pagkatapos ay makukuha natin ang:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 cm.
Tandaan na sa halip na mga puntos na P at Q, talagang anumang mga puntos na kabilang sa mga linyang ito ay maaaring gamitin upang malutas ang problema. Sa kasong ito, magkakaroon tayo ng parehong distansya d.
Pagtatakda ng eroplano sa geometry
Ang tanong ng distansya sa pagitan ng mga linya ay tinalakay nang detalyado sa itaas. Ngayon, ipakita natin kung paano hanapin ang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano.
Lahat ay kumakatawan sa kung ano ang isang eroplano. Ayon sa kahulugan ng matematika, ang tinukoy na elementong geometriko ay isang koleksyon ng mga puntos. Bukod dito, kung bubuo ka ng lahat ng posibleng mga vector gamit ang mga puntong ito, ang lahat ng mga ito ay magiging patayo sa isang solong vector. Ang huli ay karaniwang tinatawag na normal sa eroplano.
Upang tukuyin ang equation ng isang eroplano sa tatlong-dimensional na espasyo, ang pangkalahatang anyo ng equation ay kadalasang ginagamit. Mukhang ganito:
Ax + By + Cz + D=0.
Kung saan ang malalaking letrang Latin ay ilang numero. Maginhawang gamitin ang ganitong uri ng plane equation dahil ang mga coordinate ng normal na vector ay tahasang ibinigay dito. Sila ay A, B, C.
Madaling makita na ang dalawang eroplano ay parallel lamang kapag ang kanilang mga normal ay parallel.
Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang magkatulad na eroplano ?
Upang matukoy ang tinukoy na distansya, dapat mong malinaw na maunawaan kung ano ang nakataya. Ang distansya sa pagitan ng mga eroplano na parallel sa isa't isa ay nauunawaan bilang ang haba ng segment na patayo sa kanila. Ang mga dulo ng segment na ito ay nabibilang sa mga eroplano.
Ang algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema ay simple. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng ganap na anumang punto na kabilang sa isa sa dalawang eroplano. Pagkatapos, dapat mong gamitin ang formula na ito:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Dahil ang distansya ay positibong halaga, ang modulus sign ay nasa numerator. Ang nakasulat na formula ay unibersal, dahil pinapayagan ka nitong kalkulahin ang distansya mula sa eroplano hanggang sa ganap na anumang geometric na elemento. Sapat na malaman ang mga coordinate ng isang punto ng elementong ito.
Para sa kapakanan ng pagkakumpleto, tandaan namin na kung ang mga normal ng dalawang eroplano ay hindi parallel sa isa't isa, kung gayon ang mga naturang eroplano ay magsalubong. Ang distansya sa pagitan nila ay magiging zero.
Ang problema sa pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga eroplano
Alam na ang dalawang eroplano ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga sumusunod na expression:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Kailangan upang patunayan na ang mga eroplano ay parallel, at upang matukoy din ang distansya sa pagitan ng mga ito.
Upang masagot ang unang bahagi ng problema, kailangan mong dalhin ang unang equation sa pangkalahatang anyo. Tandaan na ito ay ibinigay sa tinatawag na anyo ng isang equation sa mga segment. I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi nito sa 15 at ilipat ang lahat ng termino sa isang gilid ng equation, makakakuha tayo ng:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Isulat natin ang mga coordinate ng dalawang normal na vector ng mga eroplano:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Makikita na kung ang n2¯ ay i-multiply sa 5, eksaktong makukuha natin ang mga coordinate n1¯. Kaya, ang mga itinuturing na eroplano ayparallel.
Upang kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano, pumili ng arbitrary na punto ng una sa mga ito at gamitin ang formula sa itaas. Halimbawa, kunin natin ang punto (0, 0, 1) na kabilang sa unang eroplano. Pagkatapos ay makukuha natin ang:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 cm.
Ang gustong distansya ay 31 mm.
Distansya sa pagitan ng eroplano at linya
Ang ibinigay na teoretikal na kaalaman ay nagpapahintulot din sa amin na malutas ang problema sa pagtukoy ng distansya sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Nabanggit na sa itaas na ang formula na wasto para sa mga kalkulasyon sa pagitan ng mga eroplano ay unibersal. Maaari rin itong magamit upang malutas ang problema. Para magawa ito, piliin lang ang anumang puntong kabilang sa ibinigay na linya.
Ang pangunahing problema sa pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga itinuturing na geometric na elemento ay ang patunay ng kanilang parallelism (kung hindi, d=0). Ang paralelismo ay madaling patunayan kung kinakalkula mo ang scalar product ng normal at ang vector ng direksyon para sa linya. Kung magkatulad ang mga elementong isinasaalang-alang, ang produktong ito ay magiging katumbas ng zero.
