Ang pag-alam sa distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano o sa isang tuwid na linya ay nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang volume at surface area ng mga figure sa kalawakan. Ang pagkalkula ng distansya na ito sa geometry ay isinasagawa gamit ang kaukulang mga equation para sa tinukoy na mga geometric na bagay. Sa artikulong ipapakita namin kung anong mga formula ang maaaring gamitin para matukoy ito.
Mga equation ng linya at eroplano
Bago magbigay ng mga formula para sa pagtukoy ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano at sa isang linya, ipakita natin kung anong mga equation ang naglalarawan sa mga bagay na ito.
Upang tukuyin ang isang punto, isang set ng mga coordinate sa ibinigay na sistema ng mga coordinate axes ay ginagamit. Dito ay isasaalang-alang lamang natin ang Cartesian rectangular system kung saan ang mga axes ay may parehong unit vectors at magkaparehong patayo. Sa isang eroplano, ang isang arbitrary na punto ay inilalarawan ng dalawang coordinate, sa kalawakan - ng tatlo.
Iba't ibang uri ng mga equation ang ginagamit upang tukuyin ang isang tuwid na linya. Alinsunod sa paksa ng artikulo, ipinakita namindalawa lang sa mga ito, na ginagamit sa dalawang-dimensional na espasyo upang tukuyin ang mga linya.
Vector equation. Mayroon itong sumusunod na notasyon:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Ang unang termino dito ay kumakatawan sa mga coordinate ng isang kilalang punto na nasa linya. Ang pangalawang termino ay ang direksyon ng vector coordinates na pinarami ng isang arbitrary na numero λ.
General equation. Ang notasyon nito ay ang sumusunod:
Ax + By + C=0;
kung saan ang A, B, C ay ilang coefficient.
Ang pangkalahatang equation ay mas madalas na ginagamit upang matukoy ang mga linya sa isang eroplano, gayunpaman, upang mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya sa isang eroplano, ito ay mas maginhawa upang gumana sa isang vector expression.
Ang isang eroplano sa three-dimensional na espasyo ay maaari ding isulat sa ilang mathematical na paraan. Gayunpaman, kadalasan sa mga problema mayroong isang pangkalahatang equation, na nakasulat tulad ng sumusunod:
Ax + By + Cz + D=0.
Ang bentahe ng notasyong ito kaugnay ng iba ay tahasang naglalaman ito ng mga coordinate ng isang vector na patayo sa eroplano. Ang vector na ito ay tinatawag na gabay para dito, kasabay ito ng direksyon ng normal, at ang mga coordinate nito ay katumbas ng (A; B; C).
Tandaan na ang expression sa itaas ay tumutugma sa anyo ng pagsulat ng isang pangkalahatang equation para sa isang tuwid na linya sa dalawang-dimensional na espasyo, kaya kapag nilutas ang mga problema, dapat kang mag-ingat na huwag malito ang mga geometric na bagay na ito.
Distansya sa pagitan ng punto at linya
Ipakita natin kung paano kalkulahin ang distansya sa pagitan ng isang tuwid na linya atpunto sa dalawang-dimensional na espasyo.
Hayaan ang ilang punto Q(x1; y1) at isang linya na ibinigay ng:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Ang distansya sa pagitan ng isang linya at isang punto ay nauunawaan bilang ang haba ng isang segment na patayo sa linyang ito, na ibinababa dito mula sa puntong Q.
Bago kalkulahin ang distansyang ito, dapat mong palitan ang Q coordinates sa equation na ito. Kung nasiyahan nila ito, ang Q ay kabilang sa ibinigay na linya, at ang katumbas na distansya ay katumbas ng zero. Kung ang mga coordinate ng punto ay hindi humantong sa pagkakapantay-pantay, kung gayon ang distansya sa pagitan ng mga geometric na bagay ay hindi zero. Maaari itong kalkulahin gamit ang formula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Narito ang P ay isang arbitrary na punto ng tuwid na linya, na siyang simula ng vector PQ¯. Ang vector u ay isang segment ng gabay para sa isang tuwid na linya, ibig sabihin, ang mga coordinate nito ay (a; b).
Ang paggamit ng formula na ito ay nangangailangan ng kakayahang kalkulahin ang cross product sa numerator.
Problema sa isang punto at isang linya
Ipagpalagay nating kailangan mong hanapin ang distansya sa pagitan ng Q(-3; 1) at isang tuwid na linya na nakakatugon sa equation:
y=5x -2.
Pagpapalit sa mga coordinate ng Q sa expression, matitiyak namin na hindi nasa linya ang Q. Maaari mong ilapat ang formula para sa d na ibinigay sa talata sa itaas kung kinakatawan mo ang equation na ito sa anyong vector. Gawin natin ito ng ganito:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Ngayon, kunin natin ang anumang punto sa linyang ito, halimbawa (0; -2), at bumuo ng vector simula dito at magtatapos sa Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Ngayon ilapat ang formula upang matukoy ang distansya, makakakuha tayo ng:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Distansya mula sa punto patungo sa eroplano
Tulad ng kaso ng isang tuwid na linya, ang distansya sa pagitan ng isang eroplano at isang punto sa espasyo ay nauunawaan bilang ang haba ng segment, na mula sa isang partikular na punto ay patayo na ibinababa sa eroplano at nag-intersect dito.
Sa espasyo, ang isang punto ay ibinibigay ng tatlong coordinate. Kung ang mga ito ay katumbas ng (x1; y1; z1), kung gayon ang distansya sa pagitan ng eroplano at ang puntong iyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Tandaan na ang paggamit ng formula ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap lamang ang distansya mula sa eroplano hanggang sa linya. Upang mahanap ang mga coordinate ng punto kung saan ang isang perpendicular na segment ay nag-intersect sa isang eroplano, kinakailangang magsulat ng isang equation para sa linya kung saan kabilang ang segment na ito, at pagkatapos ay maghanap ng isang karaniwang punto para sa linyang ito at isang partikular na eroplano.
Problema sa isang eroplano at isang punto
Hanapin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano kung alam na ang punto ay may mga coordinate (3; -1; 2) at ang eroplano ay ibinigay ng:
-y + 3z=0.
Upang magamit ang kaukulang formula, isusulat muna namin ang mga coefficient para sabinigay na eroplano. Dahil ang variable na x at ang libreng termino ay wala, ang mga coefficient A at D ay katumbas ng zero. Mayroon kaming:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Madaling ipakita na ang eroplanong ito ay dumadaan sa pinanggalingan at ang x-axis ay kabilang dito.
Palitan ang mga coordinate ng punto at ang mga coefficient ng eroplano sa formula para sa distansya d, makuha natin ang:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Tandaan na kung babaguhin mo ang x-coordinate ng isang punto, hindi magbabago ang distansya d. Ang katotohanang ito ay nangangahulugan na ang hanay ng mga puntos (x; -1; 2) ay bumubuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa ibinigay na eroplano.
