Ang isang karaniwang geometric na problema ay ang paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga linya. Sa isang eroplano, kung ang mga equation ng mga linya ay kilala, maaari silang iguhit at ang anggulo ay sinusukat sa isang protractor. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay matrabaho at hindi laging posible. Upang malaman ang pinangalanang anggulo, hindi kinakailangan na gumuhit ng mga tuwid na linya, maaari itong kalkulahin. Sasagutin ng artikulong ito kung paano ito ginagawa.
Isang tuwid na linya at ang vector equation nito
Anumang tuwid na linya ay maaaring ilarawan bilang isang vector na nagsisimula sa -∞ at nagtatapos sa +∞. Sa kasong ito, ang vector ay dumadaan sa ilang punto sa espasyo. Kaya, ang lahat ng mga vectors na maaaring iguhit sa pagitan ng alinmang dalawang punto sa isang tuwid na linya ay magiging parallel sa isa't isa. Binibigyang-daan ka ng kahulugang ito na itakda ang equation ng isang tuwid na linya sa anyong vector:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Dito, ang vector na may mga coordinate (a; b; c) ang gabay para sa linyang ito na dumadaan sa punto (x0; y0; z0). Ang α parameter ay nagbibigay-daan sa iyo na ilipat ang tinukoy na punto sa anumang iba pa para sa linyang ito. Ang equation na ito ay intuitive at madaling gamitin pareho sa 3D space at sa isang eroplano. Para sa isang eroplano, hindi ito maglalaman ng z coordinates at ang ikatlong direksyon na bahagi ng vector.
Ang kaginhawahan ng pagsasagawa ng mga kalkulasyon at pag-aaral ng relatibong posisyon ng mga tuwid na linya dahil sa paggamit ng isang vector equation ay dahil sa katotohanan na ang nagdidirekta nitong vector ay kilala. Ginagamit ang mga coordinate nito upang kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya at ang distansya sa pagitan ng mga ito.
General equation para sa isang tuwid na linya sa isang eroplano
Isulat natin nang tahasan ang vector equation ng tuwid na linya para sa two-dimensional na case. Mukhang:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Ngayon ay kinakalkula namin ang parameter α para sa bawat pagkakapantay-pantay at tinutumbasan ang mga tamang bahagi ng mga nakuhang pagkakapantay-pantay:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Pagbukas ng mga bracket at paglilipat ng lahat ng termino sa isang panig ng pagkakapantay-pantay, makakakuha tayo ng:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, kung saan A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Ang resultang expression ay tinatawag na pangkalahatang equation para sa isang tuwid na linya na ibinigay sa dalawang-dimensional na espasyo (sa tatlong-dimensional na equation na ito ay tumutugma sa isang eroplanong parallel sa z-axis, hindi isang tuwid na linya).
Kung tahasan nating isulat ang y hanggang x sa expression na ito, makukuha natin ang sumusunod na form, na kilalabawat mag-aaral:
y=kx + p, kung saan k=-A/B, p=-C/B
Ang linear equation na ito ay natatanging tumutukoy sa isang tuwid na linya sa eroplano. Napakadaling iguhit ito ayon sa kilalang equation, para dito dapat mong ilagay ang x=0 at y=0 naman, markahan ang kaukulang mga punto sa coordinate system at gumuhit ng tuwid na linya na nagkokonekta sa mga nakuhang puntos.
Formula ng anggulo sa pagitan ng mga linya
Sa isang eroplano, ang dalawang linya ay maaaring magsalubong o kahanay sa isa't isa. Sa espasyo, sa mga pagpipiliang ito ay idinagdag ang posibilidad ng pagkakaroon ng mga skew na linya. Anuman ang bersyon ng relatibong posisyon ng mga one-dimensional na geometric na bagay na ito ay ipinatupad, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay palaging matutukoy ng sumusunod na formula:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Kung saan ang v1¯ at v2¯ ay ang mga vector ng gabay para sa linya 1 at 2 ayon sa pagkakabanggit. Ang numerator ay ang modulus ng dot product upang ibukod ang mga obtuse na anggulo at isasaalang-alang lamang ang mga matatalim.
Ang mga vectors v1¯ at v2¯ ay maaaring ibigay ng dalawa o tatlong coordinate, habang ang formula para sa anggulo φ nananatiling hindi nagbabago.
Parallelism at perpendicularity ng mga linya
Kung ang anggulo sa pagitan ng 2 linyang kinakalkula gamit ang formula sa itaas ay 0o, ang mga ito ay sinasabing magkapareho. Upang matukoy kung ang mga linya ay parallel o hindi, hindi mo makalkula ang angguloφ, sapat na upang ipakita na ang isang vector ng direksyon ay maaaring katawanin sa pamamagitan ng isang katulad na vector ng isa pang linya, iyon ay:
v1¯=qv2¯
Narito ang q ay ilang totoong numero.
Kung ang mga equation ng mga linya ay ibinigay bilang:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
pagkatapos ay magiging parallel lamang sila kapag ang mga coefficient ng x ay pantay, iyon ay:
k1=k2
Mapapatunayan ang katotohanang ito kung isasaalang-alang natin kung paano ipinapahayag ang koepisyent k sa mga tuntunin ng mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya.
Kung ang anggulo ng intersection sa pagitan ng mga linya ay 90o, kung gayon ang mga ito ay tinatawag na perpendicular. Upang matukoy ang perpendicularity ng mga linya, hindi rin kailangang kalkulahin ang anggulo φ, para dito sapat na upang kalkulahin lamang ang scalar product ng mga vectors v1¯ at v 2¯. Dapat ito ay zero.
Sa kaso ng intersecting tuwid na mga linya sa espasyo, ang formula para sa anggulo φ ay maaari ding gamitin. Sa kasong ito, ang resulta ay dapat na wastong bigyang-kahulugan. Ang kalkuladong φ ay nagpapakita ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon ng mga linyang hindi nagsasalubong at hindi magkatulad.
Gawain 1. Mga linyang patayo
Alam na ang mga equation ng mga linya ay may anyo:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Kailangan upang matukoy kung ang mga linyang ito aypatayo.
Tulad ng nabanggit sa itaas, upang masagot ang tanong, sapat na upang kalkulahin ang scalar product ng mga vectors ng mga gabay, na tumutugma sa mga coordinate (1; 2) at (-4; 2). Mayroon kaming:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Dahil nakakuha kami ng 0, nangangahulugan ito na ang mga itinuturing na linya ay nagsalubong sa tamang anggulo, ibig sabihin, ang mga ito ay patayo.
Gawain 2. Anggulo ng intersection ng linya
Alam na ang dalawang equation para sa mga tuwid na linya ay may sumusunod na anyo:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Kinakailangan upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga linya.
Dahil ang mga coefficient ng x ay may iba't ibang halaga, ang mga linyang ito ay hindi parallel. Upang mahanap ang anggulo na nabuo kapag nag-intersect ang mga ito, isinasalin namin ang bawat isa sa mga equation sa isang vector form.
Para sa unang linya na makukuha natin:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Sa kanang bahagi ng equation, nakakuha kami ng vector na ang mga coordinate ay nakadepende sa x. Katawanin natin ito bilang kabuuan ng dalawang vector, at ang mga coordinate ng una ay maglalaman ng variable na x, at ang mga coordinate ng pangalawa ay bubuo ng mga numero lamang:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Dahil ang x ay kumukuha ng mga arbitrary na halaga, maaari itong palitan ng parameter na α. Ang vector equation para sa unang linya ay magiging:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Ginagawa namin ang parehong mga aksyon sa pangalawang equation ng linya, nakukuha namin ang:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Isinulat naming muli ang orihinal na mga equation sa anyong vector. Magagamit mo na ngayon ang formula para sa anggulo ng intersection, na pinapalitan dito ang mga coordinate ng mga nagdidirekta na vector ng mga linya:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Kaya, ang mga linyang isinasaalang-alang ay nagsalubong sa isang anggulo na 71.565o, o 1.249 radians.
Ang problemang ito ay maaaring nalutas sa ibang paraan. Upang gawin ito, kinakailangang kumuha ng dalawang arbitrary na punto ng bawat tuwid na linya, bumuo ng mga direktang vector mula sa kanila, at pagkatapos ay gamitin ang formula para sa φ.
