Ang tuwid na linya ay ang pangunahing geometric na bagay sa eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo. Ito ay mula sa mga tuwid na linya na maraming mga figure ay binuo, halimbawa: isang paralelogram, isang tatsulok, isang prisma, isang pyramid, at iba pa. Isaalang-alang sa artikulo ang iba't ibang paraan ng pagtatakda ng mga equation ng mga linya.
Kahulugan ng isang tuwid na linya at mga uri ng mga equation upang ilarawan ito
Ang bawat mag-aaral ay may magandang ideya kung anong geometric na bagay ang kanilang pinag-uusapan. Ang isang tuwid na linya ay maaaring kinakatawan bilang isang koleksyon ng mga puntos, at kung ikinonekta namin ang bawat isa sa kanila sa turn sa lahat ng iba pa, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang hanay ng mga parallel na vectors. Sa madaling salita, posibleng makarating sa bawat punto ng linya mula sa isa sa mga nakapirming punto nito, ilipat ito sa ilang unit vector na pinarami ng tunay na numero. Ginagamit ang kahulugang ito ng isang tuwid na linya upang tukuyin ang pagkakapantay-pantay ng vector para sa paglalarawang matematikal nito sa eroplano at sa three-dimensional na espasyo.
Mathematically represented ang isang tuwid na linya ng mga sumusunod na uri ng equation:
- general;
- vector;
- parametric;
- sa mga segment;
- symmetrical (canonical).
Susunod, isasaalang-alang namin ang lahat ng pinangalanang uri at ipapakita kung paano gagawin ang mga ito gamit ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema.
Vector at parametric na paglalarawan ng isang tuwid na linya
Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtukoy ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang kilalang vector. Ipagpalagay na may nakapirming punto sa espasyo M(x0; y0; z0). Alam na ang tuwid na linya ay dumadaan dito at nakadirekta sa bahagi ng vector v¯(a; b; c). Paano makahanap ng isang arbitrary na punto ng linya mula sa mga data na ito? Ang sagot sa tanong na ito ay magbibigay ng sumusunod na pagkakapantay-pantay:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Kung saan ang λ ay isang arbitrary na numero.
Maaaring isulat ang isang katulad na expression para sa two-dimensional na case, kung saan ang mga coordinate ng mga vector at point ay kinakatawan ng isang set ng dalawang numero:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Ang mga nakasulat na equation ay tinatawag na vector equation, at ang nakadirekta na segment v¯ mismo ay ang direction vector para sa tuwid na linya.
Mula sa mga nakasulat na expression, ang mga kaukulang parametric equation ay nakuha nang simple, sapat na upang muling isulat ang mga ito nang tahasan. Halimbawa, para sa kaso sa espasyo, nakukuha natin ang sumusunod na equation:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Maginhawang gumamit ng mga parametric equation kung kailangan mong suriin ang gawibawat coordinate. Tandaan na kahit na ang parameter na λ ay maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga, dapat itong pareho sa lahat ng tatlong pagkakapantay-pantay.
General equation
Ang isa pang paraan upang tukuyin ang isang tuwid na linya, na kadalasang ginagamit upang gumana sa itinuturing na geometric na bagay, ay ang paggamit ng pangkalahatang equation. Para sa two-dimensional na case, mukhang:
Ax + By + C=0
Dito kinakatawan ng malalaking letrang Latin ang mga partikular na halaga ng numero. Ang kaginhawahan ng pagkakapantay-pantay na ito sa paglutas ng mga problema ay nakasalalay sa katotohanan na tahasang naglalaman ito ng vector na patayo sa isang tuwid na linya. Kung ipahiwatig natin ito sa pamamagitan ng n¯, maaari nating isulat ang:
n¯=[A; B]
Bilang karagdagan, ang expression ay maginhawang gamitin upang matukoy ang distansya mula sa isang tuwid na linya hanggang sa ilang punto P(x1; y1). Ang formula para sa distansya d ay:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Madaling ipakita na kung tahasan nating ipahayag ang variable na y mula sa pangkalahatang equation, makukuha natin ang sumusunod na kilalang paraan ng pagsulat ng tuwid na linya:
y=kx + b
Kung saan ang k at b ay natatanging tinutukoy ng mga numerong A, B, C.
Ang equation sa mga segment at canonical
Ang equation sa mga segment ay pinakamadaling makuha mula sa pangkalahatang view. Ipapakita namin sa iyo kung paano ito gagawin.
Ipagpalagay na mayroon tayong sumusunod na linya:
Ax + By + C=0
Ilipat ang libreng termino sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay hatiin ang buong equation dito, makakakuha tayo ng:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, kung saan q=-C / A, p=-C / B
Nakuha namin ang tinatawag na equation sa mga segment. Nakuha nito ang pangalan dahil sa ang katunayan na ang denominator kung saan hinati ang bawat variable ay nagpapakita ng halaga ng coordinate ng intersection ng linya na may kaukulang axis. Maginhawang gamitin ang katotohanang ito upang ilarawan ang isang tuwid na linya sa isang coordinate system, gayundin ang pag-aralan ang relatibong posisyon nito kaugnay ng iba pang mga geometric na bagay (mga tuwid na linya, mga punto).
Ngayon, magpatuloy tayo sa pagkuha ng canonical equation. Ito ay mas madaling gawin kung isasaalang-alang namin ang parametric na opsyon. Para sa kaso sa eroplano mayroon kaming:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Ipinapahayag namin ang parameter na λ sa bawat pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay itinutumbas namin ang mga ito, makakakuha kami ng:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Ito ang gustong equation na nakasulat sa simetriko na anyo. Tulad ng isang vector expression, tahasang naglalaman ito ng mga coordinate ng vector ng direksyon at mga coordinate ng isa sa mga puntong kabilang sa linya.
Makikita na sa talatang ito ay nagbigay kami ng mga equation para sa two-dimensional na kaso. Katulad nito, maaari mong isulat ang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo. Dapat pansinin dito na kung ang canonical formang mga talaan at expression sa mga segment ay magkakaroon ng parehong anyo, pagkatapos ang pangkalahatang equation sa espasyo para sa isang tuwid na linya ay kinakatawan ng isang sistema ng dalawang equation para sa mga intersecting na eroplano.
Ang problema sa pagbuo ng equation ng isang tuwid na linya
Mula sa geometry, alam ng bawat mag-aaral na sa pamamagitan ng dalawang puntos maaari kang gumuhit ng isang linya. Ipagpalagay na ang mga sumusunod na puntos ay ibinigay sa coordinate plane:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Kinakailangan upang mahanap ang equation ng linya kung saan nabibilang ang parehong mga punto, sa mga segment, sa vector, canonical at pangkalahatang anyo.
Kunin muna natin ang vector equation. Upang gawin ito, tukuyin para sa direktang direksyon ng vector M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Ngayon ay makakagawa ka na ng vector equation sa pamamagitan ng pagkuha ng isa sa dalawang puntos na tinukoy sa statement ng problema, halimbawa, M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Upang makuha ang canonical equation, sapat na upang gawing parametric form ang nakitang pagkakapantay-pantay at ibukod ang parameter na λ. Mayroon kaming:
x=-1 - 2λ, samakatuwid λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, pagkatapos ay makukuha natin ang λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Ang natitirang dalawang equation (pangkalahatan at sa mga segment) ay makikita mula sa canonical sa pamamagitan ng pagbabago nito gaya ng sumusunod:
x + 1=-2y + 6;
pangkalahatang equation: x + 2y - 5=0;
sa mga segment equation: x / 5 + y / 2, 5=1
Ang mga resultang equation ay nagpapakita na ang vector (1; 2) ay dapat na patayo sa linya. Sa katunayan, kung nakita mo ang produktong scalar nito na may vector ng direksyon, magiging katumbas ito ng zero. Sinasabi ng line segment equation na ang linya ay nag-intersect sa x-axis sa (5; 0) at ang y-axis sa (2, 5; 0).
Ang problema sa pagtukoy sa punto ng intersection ng mga linya
Dalawang tuwid na linya ang ibinibigay sa eroplano sa pamamagitan ng mga sumusunod na equation:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng punto kung saan nagsa-intersect ang mga linyang ito.
May dalawang paraan para malutas ang problema:
- Gawing pangkalahatang anyo ang vector equation, pagkatapos ay lutasin ang system ng dalawang linear equation.
- Huwag magsagawa ng anumang pagbabago, ngunit palitan lamang ang coordinate ng intersection point, na ipinahayag sa pamamagitan ng parameter na λ, sa unang equation. Pagkatapos ay hanapin ang value ng parameter.
Gawin natin ang pangalawang paraan. Mayroon kaming:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
I-substitute ang resultang numero sa vector equation:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Kaya, ang tanging punto na kabilang sa parehong linya ay ang puntong may mga coordinate (-2; 5). Nagsalubong ang mga linya dito.
