Sa geometry, pagkatapos ng isang punto, ang isang tuwid na linya ay marahil ang pinakasimpleng elemento. Ginagamit ito sa pagbuo ng anumang kumplikadong mga figure sa eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya at lutasin ang ilang mga problema sa paggamit nito. Magsimula na tayo!
Tuwid na linya sa geometry
Alam ng lahat na ang mga hugis tulad ng parihaba, tatsulok, prisma, kubo at iba pa ay nabubuo sa pamamagitan ng interseksyon ng mga tuwid na linya. Ang isang tuwid na linya sa geometry ay isang one-dimensional na bagay na maaaring makuha sa pamamagitan ng paglilipat ng isang tiyak na punto sa isang vector na may pareho o magkasalungat na direksyon. Upang mas maunawaan ang kahulugang ito, isipin na mayroong ilang puntong P sa espasyo. Kumuha ng di-makatwirang vector sa espasyong ito. Pagkatapos ang anumang puntong Q ng linya ay maaaring makuha bilang resulta ng mga sumusunod na mathematical operations:
Q=P + λu¯.
Narito ang λ ay isang arbitrary na numero na maaaring maging positibo o negatibo. Kung pagkakapantay-pantayisulat sa itaas sa mga tuntunin ng mga coordinate, pagkatapos ay makuha natin ang sumusunod na equation ng isang tuwid na linya:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na equation ng isang tuwid na linya sa anyong vector. At ang vector u ay tinatawag na gabay.
Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano
Maaari itong isulat ng bawat mag-aaral nang walang anumang kahirapan. Ngunit kadalasan ang equation ay nakasulat nang ganito:
y=kx + b.
Kung saan ang k at b ay mga arbitrary na numero. Ang numero b ay tinatawag na libreng miyembro. Ang parameter k ay katumbas ng tangent ng anggulo na nabuo ng intersection ng tuwid na linya na may x-axis.
Ang equation sa itaas ay ipinahayag patungkol sa variable na y. Kung ipapakita natin ito sa mas pangkalahatang anyo, makukuha natin ang sumusunod na notasyon:
Ax + By + C=0.
Madaling ipakita na ang paraan ng pagsulat na ito ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano ay madaling mapalitan sa dating anyo. Upang gawin ito, ang kaliwa at kanang bahagi ay dapat na hatiin sa salik B at ipinahayag y.
Ang figure sa itaas ay nagpapakita ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang punto.
Isang linya sa 3D space
Ipagpatuloy natin ang ating pag-aaral. Isinasaalang-alang namin ang tanong kung paano ibinibigay ang equation ng isang tuwid na linya sa isang pangkalahatang anyo sa isang eroplano. Kung ilalapat natin ang notasyong ibinigay sa nakaraang talata ng artikulo para sa spatial case, ano ang makukuha natin? Ang lahat ay simple - hindi na isang tuwid na linya, ngunit isang eroplano. Sa katunayan, ang sumusunod na expression ay naglalarawan ng isang eroplano na parallel sa z-axis:
Ax + By + C=0.
Kung C=0, dadaan ang naturang eroplanosa pamamagitan ng z-axis. Ito ay isang mahalagang tampok.
Paano magiging kasama ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa kalawakan? Upang maunawaan kung paano itanong ito, kailangan mong matandaan ang isang bagay. Dalawang eroplano ang bumalandra sa isang tiyak na tuwid na linya. Anong ibig sabihin nito? Tanging ang pangkalahatang equation ay ang resulta ng paglutas ng isang sistema ng dalawang equation para sa mga eroplano. Isulat natin ang sistemang ito:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Ang sistemang ito ay ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo. Tandaan na ang mga eroplano ay hindi dapat magkatulad sa isa't isa, iyon ay, ang kanilang mga normal na vector ay dapat na nakakiling sa ilang anggulo na may kaugnayan sa bawat isa. Kung hindi, walang solusyon ang system.
Sa itaas ay ibinigay namin ang vector form ng equation para sa isang tuwid na linya. Ito ay maginhawang gamitin kapag nilulutas ang sistemang ito. Upang gawin ito, kailangan mo munang hanapin ang produkto ng vector ng mga normal ng mga eroplanong ito. Ang resulta ng operasyong ito ay isang vector ng direksyon ng isang tuwid na linya. Pagkatapos, dapat kalkulahin ang anumang puntong kabilang sa linya. Upang gawin ito, kailangan mong itakda ang alinman sa mga variable na katumbas ng isang tiyak na halaga, ang dalawang natitirang mga variable ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas sa pinababang system.
Paano isalin ang isang vector equation sa pangkalahatan? Mga Nuance
Ito ay isang aktwal na problema na maaaring lumitaw kung kailangan mong isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya gamit ang mga kilalang coordinate ng dalawang puntos. Ipakita natin kung paano nalutas ang problemang ito gamit ang isang halimbawa. Hayaang malaman ang mga coordinate ng dalawang puntos:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Ang equation sa vector form ay medyo madaling i-compose. Ang mga coordinate ng vector ng direksyon ay:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Tandaan na walang pagkakaiba kung ibawas natin ang mga coordinate ng Q mula sa mga coordinate ng puntong P, babaguhin lamang ng vector ang direksyon nito sa kabaligtaran. Ngayon ay dapat kang kumuha ng anumang punto at isulat ang vector equation:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Upang isulat ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, ang parameter na λ ay dapat ipahayag sa parehong mga kaso. At pagkatapos ay ihambing ang mga resulta. Mayroon kaming:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Nananatili lamang na buksan ang mga bracket at ilipat ang lahat ng termino ng equation sa isang gilid ng equation upang makakuha ng pangkalahatang expression para sa isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang kilalang punto.
Sa kaso ng isang three-dimensional na problema, ang algorithm ng solusyon ay pinapanatili, ang resulta lamang nito ay isang sistema ng dalawang equation para sa mga eroplano.
Gawain
Kailangan gumawa ng pangkalahatang equationisang tuwid na linya na bumabagtas sa x-axis sa (-3, 0) at parallel sa y-axis.
Simulan nating lutasin ang problema sa pamamagitan ng pagsulat ng equation sa vector form. Dahil ang linya ay parallel sa y-axis, ang nagdidirekta na vector para dito ay ang sumusunod:
u¯=(0, 1).
Pagkatapos, ang gustong linya ay isusulat tulad ng sumusunod:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Ngayon, isalin natin ang ekspresyong ito sa pangkalahatang anyo, para dito ipinapahayag natin ang parameter na λ:
- x=-3;
- y=λ.
Kaya, ang anumang halaga ng variable na y ay kabilang sa linya, gayunpaman, ang solong halaga lamang ng variable na x ang tumutugma dito. Samakatuwid, ang pangkalahatang equation ay kukuha ng anyong:
x + 3=0.
Problema sa isang tuwid na linya sa espasyo
Alam na ang dalawang intersecting na eroplano ay ibinibigay ng mga sumusunod na equation:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Kinakailangan upang mahanap ang vector equation ng tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplanong ito. Magsimula na tayo.
Tulad ng sinabi, ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa tatlong-dimensional na espasyo ay naibigay na sa anyo ng isang sistema ng dalawa na may tatlong hindi alam. Una sa lahat, tinutukoy namin ang vector ng direksyon kung saan bumalandra ang mga eroplano. Ang pagpaparami ng mga vector coordinates ng mga normal sa mga eroplano, makakakuha tayo ng:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Dahil ang pagpaparami ng vector sa isang negatibong numero ay binabaligtad ang direksyon nito, maaari nating isulat ang:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kayupang makahanap ng vector expression para sa isang tuwid na linya, bilang karagdagan sa vector ng direksyon, dapat malaman ng isa ang ilang punto ng tuwid na linya na ito. Hanapin dahil ang mga coordinate nito ay dapat masiyahan ang sistema ng mga equation sa kondisyon ng problema, pagkatapos ay mahahanap natin ang mga ito. Halimbawa, ilagay natin ang x=0, pagkatapos ay makukuha natin ang:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Kaya, ang puntong kabilang sa gustong tuwid na linya ay may mga coordinate:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Pagkatapos ay makukuha natin ang sagot sa problemang ito, ang vector equation ng gustong linya ay magiging ganito:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Ang kawastuhan ng solusyon ay madaling masuri. Upang gawin ito, kailangan mong pumili ng isang arbitrary na halaga ng parameter λ at palitan ang nakuha na mga coordinate ng punto ng tuwid na linya sa parehong mga equation para sa mga eroplano, makakakuha ka ng pagkakakilanlan sa parehong mga kaso.
