Isa sa mga axiom ng geometry ay nagsasaad na sa pamamagitan ng alinmang dalawang punto ay posibleng gumuhit ng isang tuwid na linya. Ang axiom na ito ay nagpapatotoo na mayroong isang natatanging numerical expression na natatanging naglalarawan sa tinukoy na one-dimensional na geometric na bagay. Isaalang-alang sa artikulo ang tanong kung paano isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos.
Ano ang punto at linya?
Bago isaalang-alang ang tanong ng pagbuo sa kalawakan at sa eroplano ng isang tuwid na linya ng isang equation na dumadaan sa isang pares ng magkakaibang mga punto, dapat isa tukuyin ang tinukoy na mga geometric na bagay.
Ang isang punto ay katangi-tanging tinutukoy ng isang hanay ng mga coordinate sa isang partikular na sistema ng mga coordinate axes. Bilang karagdagan sa kanila, wala nang mga katangian para sa punto. Isa siyang zero-dimensional na bagay.
Kapag pinag-uusapan ang isang tuwid na linya, ang bawat tao ay nag-iisip ng isang linya na inilalarawan sa isang puting papel. Kasabay nito, posible na magbigay ng eksaktong geometric na kahuluganbagay na ito. Ang isang tuwid na linya ay isang koleksyon ng mga punto kung saan ang koneksyon ng bawat isa sa kanila sa lahat ng iba ay magbibigay ng isang set ng parallel vectors.
Ginagamit ang kahulugang ito kapag nagtatakda ng vector equation ng isang tuwid na linya, na tatalakayin sa ibaba.
Dahil ang anumang linya ay maaaring markahan ng isang segment na arbitraryong haba, ito ay sinasabing isang one-dimensional na geometric na bagay.
Numer vector function
Ang isang equation sa pamamagitan ng dalawang punto ng isang dumadaang tuwid na linya ay maaaring isulat sa iba't ibang anyo. Sa mga three-dimensional at two-dimensional na espasyo, ang pangunahing at madaling maunawaan na numerical expression ay isang vector.
Ipagpalagay na mayroong ilang nakadirekta na segment u¯(a; b; c). Sa 3D space, ang vector u ay maaaring magsimula sa anumang punto, kaya ang mga coordinate nito ay tumutukoy sa isang walang katapusang hanay ng mga parallel vectors. Gayunpaman, kung pipili tayo ng isang partikular na puntong P(x0; y0; z0) at ilagay ito bilang simula ng vector u¯, kung gayon, ang pagpaparami ng vector na ito sa isang arbitrary na tunay na numero λ, maaaring makuha ng isa ang lahat ng mga punto ng isang tuwid na linya sa espasyo. Ibig sabihin, ang vector equation ay isusulat bilang:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Malinaw, para sa case sa eroplano, ang numerical function ay nasa form:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Ang bentahe ng ganitong uri ng equation kumpara sa iba (sa mga segment, canonical,pangkalahatang anyo) ay nakasalalay sa katotohanang tahasang naglalaman ito ng mga coordinate ng vector ng direksyon. Ang huli ay kadalasang ginagamit upang matukoy kung ang mga linya ay parallel o patayo.
General sa mga segment at canonical function para sa isang tuwid na linya sa two-dimensional space
Kapag nilulutas ang mga problema, minsan kailangan mong isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang punto sa isang tiyak, partikular na anyo. Samakatuwid, ang iba pang mga paraan ng pagtukoy sa geometric na bagay na ito sa dalawang-dimensional na espasyo ay dapat ibigay (para sa pagiging simple, isinasaalang-alang namin ang kaso sa eroplano).
Magsimula tayo sa isang pangkalahatang equation. Mayroon itong anyo:
Ax + By + C=0
Bilang panuntunan, sa eroplano ang equation ng isang tuwid na linya ay nakasulat sa form na ito, y lang ang tahasang tinukoy sa pamamagitan ng x.
Ngayon ay ibahin ang anyo ng expression sa itaas bilang sumusunod:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Tinatawag na equation sa mga segment ang expression na ito, dahil ipinapakita ng denominator para sa bawat variable kung gaano katagal magpuputol ang segment ng linya sa katumbas na coordinate axis na may kaugnayan sa panimulang punto (0; 0).
Nananatili itong magbigay ng halimbawa ng canonical equation. Para magawa ito, tahasang isinusulat namin ang pagkakapantay-pantay ng vector:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Ipahayag natin ang parameter na λ mula rito at ipantay ang mga resultang pagkakapantay-pantay:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Ang huling pagkakapantay-pantay ay tinatawag na equation sa canonical o simetriko na anyo.
Ang bawat isa sa kanila ay maaaring i-convert sa vector at vice versa.
Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang punto: isang compilation technique
Balik sa tanong ng artikulo. Ipagpalagay na mayroong dalawang punto sa espasyo:
M(x1; y1; z1) at N(x 2; y2; z2)
Ang tanging tuwid na linya ay dumadaan sa kanila, ang equation nito ay napakadaling i-compose sa vector form. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang mga coordinate ng nakadirekta na segment na MN¯, mayroon kaming:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Hindi mahirap hulaan na ang vector na ito ang magiging gabay para sa tuwid na linya, ang equation na dapat makuha. Alam na dumadaan din ito sa M at N, maaari mong gamitin ang mga coordinate ng alinman sa mga ito para sa isang vector expression. Pagkatapos, ang gustong equation ay nasa anyo na:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Para sa kaso sa two-dimensional space, nakakakuha kami ng katulad na pagkakapantay-pantay nang walang partisipasyon ng variable na z.
Sa sandaling naisulat ang pagkakapantay-pantay ng vector para sa linya, maaari itong isalin sa anumang iba pang anyo na kailangan ng tanong ng problema.
Gawain:sumulat ng pangkalahatang equation
Alam na ang isang tuwid na linya ay dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate (-1; 4) at (3; 2). Kinakailangang buuin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa kanila, sa isang pangkalahatang anyo, na nagpapahayag ng y sa mga tuntunin ng x.
Upang malutas ang problema, isusulat muna namin ang equation sa vector form. Ang mga coordinate ng vector (gabay) ay:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Kung gayon ang vector form ng equation ng tuwid na linya ay ang sumusunod:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Nananatili itong isulat sa pangkalahatang anyo sa anyong y(x). Tahasang isinulat naming muli ang pagkakapantay-pantay na ito, ipahayag ang parameter na λ at ibubukod ito sa equation:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Mula sa resultang canonical equation, ipinapahayag namin ang y at dumating sa sagot sa tanong ng problema:
y=-0.5x + 3.5
Maaaring suriin ang bisa ng pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga coordinate ng mga puntong tinukoy sa pahayag ng problema.
Problema: isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng segment
Ngayon, lutasin natin ang isang kawili-wiling problema. Ipagpalagay na ang dalawang puntos na M(2; 1) at N(5; 0) ay ibinigay. Ito ay kilala na ang isang tuwid na linya ay dumadaan sa gitnang punto ng segment na nag-uugnay sa mga punto at patayo dito. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng segment sa anyong vector.
Maaaring mabuo ang gustong numerical expression sa pamamagitan ng pagkalkula ng coordinate ng center na ito at pagtukoy sa vector ng direksyon, naAng segment ay gumagawa ng anggulo na 90o.
Ang gitnang punto ng segment ay:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Ngayon kalkulahin natin ang mga coordinate ng vector MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Dahil ang vector ng direksyon para sa gustong linya ay patayo sa MN¯, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero. Binibigyang-daan ka nitong kalkulahin ang hindi kilalang mga coordinate (a; b) ng steering vector:
a3 - b=0=>
b=3a
Ngayon isulat ang vector equation:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Dito namin pinalitan ang produkto aλ ng bagong parameter na β.
Kaya, ginawa namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng segment.
