Eroplano sa kalawakan. Lokasyon ng mga eroplano sa kalawakan

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Ang eroplano ay isang geometric na bagay na ang mga katangian ay ginagamit kapag gumagawa ng mga projection ng mga punto at linya, gayundin kapag nagkalkula ng mga distansya at dihedral na anggulo sa pagitan ng mga elemento ng mga three-dimensional na figure. Isaalang-alang natin sa artikulong ito kung anong mga equation ang maaaring gamitin upang pag-aralan ang lokasyon ng mga eroplano sa kalawakan.

Kahulugan ng eroplano

Intuitive na inisip ng lahat kung anong bagay ang tatalakayin. Mula sa isang geometric na punto ng view, ang isang eroplano ay isang koleksyon ng mga puntos, ang anumang mga vector sa pagitan ay dapat na patayo sa ilang isang vector. Halimbawa, kung mayroong m iba't ibang mga punto sa espasyo, kung gayon ang m(m-1) / 2 magkakaibang mga vector ay maaaring gawin mula sa kanila, na nagkokonekta sa mga punto nang magkapares. Kung ang lahat ng mga vector ay patayo sa isang direksyon, ito ay isang sapat na kundisyon na ang lahat ng mga punto m ay nabibilang sa parehong eroplano.

General equation

Sa spatial geometry, inilalarawan ang isang eroplano gamit ang mga equation na karaniwang naglalaman ng tatlong hindi kilalang coordinate na tumutugma sa x, y at z axes. Upangkunin ang pangkalahatang equation sa mga coordinate ng eroplano sa espasyo, ipagpalagay na mayroong vector n¯(A; B; C) at isang point M(x₀; y₀; z_{0). Gamit ang dalawang bagay na ito, maaaring natatanging tukuyin ang eroplano.}

Sa katunayan, ipagpalagay na mayroong ilang pangalawang puntong P(x; y; z) na ang mga coordinate ay hindi alam. Ayon sa kahulugan na ibinigay sa itaas, ang vector MP¯ ay dapat na patayo sa n¯, iyon ay, ang scalar na produkto para sa kanila ay katumbas ng zero. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang sumusunod na expression:

(n¯MP¯)=0 o

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Pagbukas ng mga bracket at pagpapakilala ng bagong coefficient D, makukuha natin ang expression:

Ax + By + Cz + D=0 kung saan D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Ang ekspresyong ito ay tinatawag na pangkalahatang equation para sa eroplano. Mahalagang tandaan na ang mga coefficient sa harap ng x, y at z ay bumubuo ng mga coordinate ng vector n¯(A; B; C) na patayo sa eroplano. Ito ay kasabay ng normal at isang gabay para sa eroplano. Upang matukoy ang pangkalahatang equation, hindi mahalaga kung saan nakadirekta ang vector na ito. Ibig sabihin, ang mga eroplanong ginawa sa mga vector n¯ at -n¯ ay magiging pareho.

Ang figure sa itaas ay nagpapakita ng isang eroplano, isang vector na normal dito, at isang linyang patayo sa eroplano.

Mga segment na pinutol ng eroplano sa mga palakol at ang katumbas na equation

Ang pangkalahatang equation ay nagbibigay-daan sa paggamit ng mga simpleng mathematical operations upang matukoy, sasa anong mga punto ang eroplano ay magsalubong sa mga coordinate axes. Mahalagang malaman ang impormasyong ito upang magkaroon ng ideya tungkol sa posisyon sa espasyo ng eroplano, gayundin kapag inilalarawan ito sa mga guhit.

Upang matukoy ang pinangalanang mga intersection point, isang equation sa mga segment ang ginagamit. Tinatawag itong gayon dahil tahasang naglalaman ito ng mga halaga ng mga haba ng mga segment na pinutol ng eroplano sa mga coordinate axes, kapag binibilang mula sa punto (0; 0; 0). Kunin natin ang equation na ito.

Isulat ang pangkalahatang expression para sa eroplano tulad ng sumusunod:

Ax + By + Cz=-D

Ang kaliwa at kanang bahagi ay maaaring hatiin ng -D nang hindi lumalabag sa pagkakapantay-pantay. Mayroon kaming:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 o

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Idisenyo ang mga denominator ng bawat termino gamit ang bagong simbolo, makukuha natin ang:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C pagkatapos

x/p + y/q + z/r=1

Ito ang equation na binanggit sa itaas sa mga segment. Ito ay sumusunod mula dito na ang halaga ng denominator ng bawat termino ay nagpapahiwatig ng coordinate ng intersection na may kaukulang axis ng eroplano. Halimbawa, nag-intersect ito sa y-axis sa punto (0; q; 0). Madaling maunawaan ito kung papalitan mo ang zero x at z coordinates sa equation.

Tandaan na kung walang variable sa equation sa mga segment, nangangahulugan ito na hindi nagsa-intersect ang eroplano sa kaukulang axis. Halimbawa, ibinigay ang expression:

x/p + y/q=1

Ito ay nangangahulugan na puputulin ng eroplano ang mga segment na p at q sa x at y axes, ayon sa pagkakabanggit, ngunit ito ay magiging parallel sa z axis.

Konklusyon tungkol sa pag-uugali ng eroplano kung kailanang kawalan ng ilang variable sa kanyang equation ay totoo din para sa isang pangkalahatang uri ng expression, tulad ng ipinapakita sa figure sa ibaba.

Vector parametric equation

May pangatlong uri ng equation na nagbibigay-daan sa paglalarawan ng isang eroplano sa kalawakan. Tinatawag itong parametric vector dahil binibigyan ito ng dalawang vector na nakahiga sa eroplano at dalawang parameter na maaaring kumuha ng mga arbitrary na independent value. Ipakita natin kung paano makukuha ang equation na ito.

Ipagpalagay na mayroong ilang kilalang vector u ¯(a₁; b₁; c₁) at v¯(a₂; b₂; c₂). Kung hindi magkapareho ang mga ito, magagamit ang mga ito upang magtakda ng isang partikular na eroplano sa pamamagitan ng pag-aayos sa simula ng isa sa mga vector na ito sa isang kilalang puntong M(x₀; y₀; z_{0). Kung ang isang arbitrary na vector MP¯ ay maaaring katawanin bilang isang kumbinasyon ng mga linear na vector u¯ at v¯, nangangahulugan ito na ang puntong P(x; y; z) ay kabilang sa parehong eroplano bilang u¯, v¯. Kaya, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay:}

MP¯=αu¯ + βv¯

O pagsusulat ng pagkakapantay-pantay na ito sa mga tuntunin ng mga coordinate, makakakuha tayo ng:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Ang ipinakitang pagkakapantay-pantay ay isang parametric vector equation para sa eroplano. ATAng vector space sa eroplanong u at v ay tinatawag na generators.

Susunod, kapag nilulutas ang problema, ipapakita kung paano mababawasan ang equation na ito sa pangkalahatang anyo para sa isang eroplano.

Anggulo sa pagitan ng mga eroplano sa kalawakan

Intuitively, ang mga eroplano sa 3D space ay maaaring mag-intersect o hindi. Sa unang kaso, interesante na hanapin ang anggulo sa pagitan nila. Ang pagkalkula ng anggulong ito ay mas mahirap kaysa sa anggulo sa pagitan ng mga linya, dahil pinag-uusapan natin ang isang dihedral na geometric na bagay. Gayunpaman, ang nabanggit na na guide vector para sa eroplano ay sumagip.

Ito ay geometrically na itinatag na ang dihedral na anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano ay eksaktong katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga guide vectors. Tukuyin natin ang mga vector na ito bilang n₁¯(a₁; b₁; c_{1) at n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy mula sa scalar product. Iyon ay, ang anggulo mismo sa espasyo sa pagitan ng mga eroplano ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng formula:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Dito ang modulus sa denominator ay ginagamit upang itapon ang halaga ng obtuse angle (sa pagitan ng intersecting planes ito ay palaging mas mababa sa o katumbas ng 90o).

Sa coordinate form, ang expression na ito ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Mga eroplanong patayo at parallel

Kung magsalubong ang mga eroplano at ang dihedral na anggulo na nabuo nila ay 90o, kung gayon ang mga ito ay magiging patayo. Ang isang halimbawa ng naturang mga eroplano ay isang parihabang prisma o isang kubo. Ang mga figure na ito ay nabuo ng anim na eroplano. Sa bawat taluktok ng mga pinangalanang figure ay may tatlong eroplanong patayo sa isa't isa.

Upang malaman kung patayo ang itinuturing na mga eroplano, sapat na upang kalkulahin ang scalar product ng kanilang mga normal na vector. Ang isang sapat na kundisyon para sa perpendicularity sa espasyo ng mga eroplano ay ang zero value ng produktong ito.

Ang

Parallel ay tinatawag na non-intersecting planes. Minsan sinasabi rin na ang mga parallel na eroplano ay nagsalubong sa infinity. Ang kondisyon ng parallelism sa espasyo ng mga eroplano ay kasabay ng kundisyong iyon para sa mga vector ng direksyon n₁¯ at n_{2¯. Maaari mo itong suriin sa dalawang paraan:}

1. Kalkulahin ang cosine ng dihedral angle (cos(φ)) gamit ang scalar product. Kung parallel ang mga eroplano, magiging 1 ang value.
2. Subukang katawanin ang isang vector sa isa pa sa pamamagitan ng pag-multiply sa ilang numero, ibig sabihin, n₁¯=kn_{2¯. Kung magagawa ito, kung gayon ang mga kaukulang eroplano ayparallel.}

Ang figure ay nagpapakita ng dalawang parallel na eroplano.

Ngayon magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng dalawang kawili-wiling problema gamit ang nakuhang kaalaman sa matematika.

Paano kumuha ng pangkalahatang anyo mula sa isang vector equation?

Ito ay isang parametric vector expression para sa isang eroplano. Upang gawing mas madaling maunawaan ang daloy ng mga operasyon at ang mga mathematical trick na ginamit, isaalang-alang ang isang partikular na halimbawa:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Palawakin ang expression na ito at ipahayag ang hindi alam na mga parameter:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Pagkatapos:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Pagbukas ng mga bracket sa huling expression, makakakuha tayo ng:

z=2x-2 + 3y - 6 o

2x + 3y - z - 8=0

Nakuha namin ang pangkalahatang anyo ng equation para sa eroplanong tinukoy sa pahayag ng problema sa anyong vector

Paano gumawa ng eroplano sa pamamagitan ng tatlong puntos?

Posibleng gumuhit ng isang eroplano sa tatlong puntos kung ang mga puntong ito ay hindi kabilang sa isang tuwid na linya. Ang algorithm para sa paglutas ng problemang ito ay binubuo sa sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:

• hanapin ang mga coordinate ng dalawang vector sa pamamagitan ng pagkonekta ng pairwise na alam na mga puntos;
• kalkulahin ang kanilang cross product at kumuha ng vector na normal sa eroplano;
• isulat ang pangkalahatang equation gamit ang nakitang vector atalinman sa tatlong puntos.

Kumuha tayo ng konkretong halimbawa. Mga ibinigay na puntos:

R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)

Ang mga coordinate ng dalawang vector ay:

RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)

Ang kanilang cross product ay magiging:

n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)

Pagkuha ng mga coordinate ng point R, makuha namin ang kinakailangang equation:

6x + 2y + 4z -10=0 o

3x + y + 2z -5=0

Inirerekomenda na suriin ang kawastuhan ng resulta sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng natitirang dalawang puntos sa expression na ito:

para sa P: 30 + (-3) + 24 -5=0;

para sa Q: 31 + (-2) + 22 -5=0

Tandaan na posibleng hindi mahanap ang vector product, ngunit agad na isulat ang equation para sa eroplano sa parametric vector form.