Ang Vector ay isang mahalagang geometric na bagay, sa tulong ng mga katangian nito ay maginhawa upang malutas ang maraming problema sa eroplano at sa kalawakan. Sa artikulong ito, tutukuyin natin ito, isasaalang-alang ang mga pangunahing katangian nito, at ipapakita din kung paano magagamit ang isang vector sa kalawakan upang tukuyin ang mga eroplano.
Ano ang vector: two-dimensional case
Una sa lahat, kailangang malinaw na maunawaan kung anong bagay ang pinag-uusapan natin. Sa geometry, ang isang nakadirekta na segment ay tinatawag na vector. Tulad ng anumang segment, ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang pangunahing elemento: ang simula at pagtatapos na mga punto. Natatanging tinutukoy ng mga coordinate ng mga puntong ito ang lahat ng katangian ng vector.
Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng vector sa isang eroplano. Upang gawin ito, gumuhit kami ng dalawang magkaparehong patayo na axes x at y. Markahan natin ang isang arbitrary point P(x, y). Kung ikinonekta natin ang puntong ito sa pinanggalingan (punto O), at pagkatapos ay tukuyin ang direksyon sa P, pagkatapos ay makukuha natin ang vector OP¯ (mamaya sa artikulo, ang bar sa ibabaw ng simbolo ay nagpapahiwatig na isinasaalang-alang natin ang isang vector). Ang vector drawing sa eroplano ay ipinapakita sa ibaba.
Dito, isa pang vector AB¯ ang ipinapakita, at makikita mo na ang mga katangian nito ay eksaktong kapareho ng OP¯, ngunit ito ay nasa ibang bahagi ng coordinate system. Sa pamamagitan ng parallel translation OP¯, maaari kang makakuha ng walang katapusang bilang ng mga vector na may parehong mga katangian.
Vector sa espasyo
Lahat ng totoong bagay na nakapaligid sa atin ay nasa three-dimensional na espasyo. Ang pag-aaral ng mga geometric na katangian ng mga three-dimensional na figure ay tumatalakay sa stereometry, na gumagana sa konsepto ng mga three-dimensional na vector. Naiiba lamang ang mga ito sa mga two-dimensional dahil nangangailangan ang kanilang paglalarawan ng karagdagang coordinate, na sinusukat kasama ang ikatlong perpendicular x at y axis z.
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang vector sa espasyo. Ang mga coordinate ng dulo nito kasama ang bawat axis ay ipinahiwatig ng mga may kulay na mga segment. Ang simula ng vector ay matatagpuan sa intersection point ng lahat ng tatlong coordinate axes, ibig sabihin, mayroon itong mga coordinate (0; 0; 0).
Dahil ang isang vector sa isang eroplano ay isang espesyal na kaso ng isang spatially directed na segment, isang three-dimensional na vector lang ang isasaalang-alang namin sa artikulo.
Mga coordinate ng vector batay sa mga kilalang coordinate ng simula at pagtatapos nito
Ipagpalagay na mayroong dalawang puntos P(x1; y1; z1) at Q(x2; y2; z2). Paano matukoy ang mga coordinate ng vector PQ¯. Una, kinakailangang magkasundo kung alin sa mga punto ang magiging simula at kung alin ang dulo ng vector. Sa matematika, kaugalian na isulat ang bagay na pinag-uusapan sa direksyon nito, iyon ay, P ay ang simula, Q- wakas. Pangalawa, ang mga coordinate ng vector PQ¯ ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa pagitan ng kaukulang mga coordinate ng dulo at simula, iyon ay:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Tandaan na sa pamamagitan ng pagpapalit ng direksyon ng vector, ang mga coordinate nito ay magbabago ng sign, gaya ng sumusunod:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Ibig sabihin ay PQ¯=-QP¯.
Mahalagang maunawaan ang isa pang bagay. Sinabi sa itaas na sa eroplano mayroong isang walang katapusang bilang ng mga vector na katumbas ng ibinigay. Ang katotohanang ito ay may bisa din para sa spatial na kaso. Sa katunayan, nang kalkulahin namin ang mga coordinate ng PQ¯ sa halimbawa sa itaas, isinagawa namin ang pagpapatakbo ng parallel na pagsasalin ng vector na ito sa paraang ang pinagmulan nito ay tumutugma sa pinanggalingan. Ang Vector PQ¯ ay maaaring iguhit bilang nakadirekta na segment mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vector properties
Tulad ng anumang geometry object, ang isang vector ay may ilang likas na katangian na maaaring magamit upang malutas ang mga problema. Ilista natin sila nang maikli.
Ang Vector modulus ay ang haba ng nakadirekta na segment. Alam ang mga coordinate, madaling kalkulahin ito. Para sa vector PQ¯ sa halimbawa sa itaas, ang modulus ay:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vector module na naka-onang eroplano ay kinakalkula sa pamamagitan ng isang katulad na formula, kung wala lang ang partisipasyon ng ikatlong coordinate.
Ang kabuuan at pagkakaiba ng mga vector ay isinasagawa ayon sa tuntuning tatsulok. Ipinapakita ng figure sa ibaba kung paano idagdag at ibawas ang mga bagay na ito.
Para makuha ang sum vector, idagdag ang simula ng pangalawa sa dulo ng unang vector. Magsisimula ang gustong vector sa simula ng una at magtatapos sa dulo ng pangalawang vector.
Isinasagawa ang pagkakaiba na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang ibinawas na vector ay pinapalitan ng kabaligtaran, at pagkatapos ay isinagawa ang operasyon ng pagdaragdag na inilarawan sa itaas.
Bukod sa pagdaragdag at pagbabawas, mahalagang ma-multiply ang isang vector sa isang numero. Kung ang numero ay katumbas ng k, kung gayon ang isang vector ay nakuha na ang modulus ay k beses na naiiba mula sa orihinal, at ang direksyon ay alinman sa pareho (k>0) o kabaligtaran ng orihinal (k<0).
Ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng mga vector sa kanilang mga sarili ay tinukoy din. Mag-iisa kami ng isang hiwalay na talata para dito sa artikulo.
Scalar at vector multiplication
Ipagpalagay na mayroong dalawang vector u¯(x1; y1; z1) at v¯(x2; y2; z2). Maaaring i-multiply ang vector sa pamamagitan ng vector sa dalawang magkaibang paraan:
- Scalar. Sa kasong ito, ang resulta ay isang numero.
- Vector. Ang resulta ay ilang bagong vector.
Ang scalar product ng mga vector u¯ at v¯ ay kinakalkula bilang sumusunod:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Kung saan ang α ang anggulo sa pagitan ng mga ibinigay na vector.
Maaaring ipakita na ang pag-alam sa mga coordinate u¯ at v¯, ang kanilang dot product ay maaaring kalkulahin gamit ang sumusunod na formula:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Ang scalar product ay maginhawang gamitin kapag nagde-decompose ng vector sa dalawang perpendicularly directed na mga segment. Ginagamit din ito para kalkulahin ang parallelism o orthogonality ng mga vector, at para kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga ito.
Ang cross product ng u¯ at v¯ ay nagbibigay ng bagong vector na patayo sa mga orihinal at may modulus:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Ang direksyon pababa o pataas ng bagong vector ay tinutukoy ng panuntunan ng kanang kamay (apat na daliri ng kanang kamay ay nakadirekta mula sa dulo ng unang vector hanggang sa dulo ng pangalawa, at ang hinlalaki ay dumidikit pataas ay nagpapahiwatig ng direksyon ng bagong vector). Ipinapakita ng figure sa ibaba ang resulta ng cross product para sa arbitrary a¯ at b¯.
Ginagamit ang cross product upang kalkulahin ang mga lugar ng mga figure, gayundin upang matukoy ang mga coordinate ng isang vector na patayo sa isang partikular na eroplano.
Ang mga vector at ang kanilang mga katangian ay maginhawang gamitin kapag tinutukoy ang equation ng isang eroplano.
Normal at pangkalahatang equation ng eroplano
May ilang paraan para tukuyin ang isang eroplano. Ang isa sa mga ito ay ang derivation ng pangkalahatang equation ng eroplano, na sumusunod nang direkta mula sa kaalaman ng vector na patayo dito at ilang kilalang punto na kabilang sa eroplano.
Ipagpalagay na mayroong vector n¯ (A; B; C) at isang point P (x0; y0; z 0). Anong kundisyon ang makakatugon sa lahat ng puntong Q(x; y; z) ng eroplano? Ang kundisyong ito ay binubuo sa perpendicularity ng anumang vector PQ¯ sa normal n¯. Para sa dalawang perpendicular vector, ang dot product ay magiging zero (cos(90o)=0), isulat ito:
(n¯PQ¯)=0 o
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Pagbukas ng mga bracket, makakakuha tayo ng:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 o
Ax + By + Cz +D=0 kung saan D=-Ax0-By0-Cz0.
Ang equation na ito ay tinatawag na pangkalahatan para sa eroplano. Nakikita natin na ang mga coefficient sa harap ng x, y, at z ay ang mga coordinate ng perpendicular vector n¯. Ito ay tinatawag na gabay sa eroplano.
Vector parametric equation ng eroplano
Ang pangalawang paraan upang tukuyin ang isang eroplano ay ang paggamit ng dalawang vector na nakalagay dito.
Ipagpalagay na may mga vector u¯(x1; y1; z1) at v¯(x2; y2; z2). Tulad ng sinabi, ang bawat isa sa kanila sa kalawakan ay maaaring katawanin ng isang walang katapusang bilang ng magkaparehong nakadirekta na mga segment, samakatuwid, kailangan ng isa pang punto upang natatanging matukoy ang eroplano. Hayaang ang puntong ito ay P(x0;y0; z0). Ang anumang puntong Q(x; y; z) ay makikita sa nais na eroplano kung ang vector PQ¯ ay maaaring katawanin bilang kumbinasyon ng u¯ at v¯. Ibig sabihin, mayroon tayong:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Kung saan ang α at β ay ilang totoong numero. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod sa ekspresyong:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Tinatawag itong parametric vector equation ng eroplano na may kinalaman sa 2 vectors u¯ at v¯. Ang pagpapalit ng mga arbitrary na parameter na α at β, mahahanap ng isa ang lahat ng puntos (x; y; z) na kabilang sa eroplanong ito.
Mula sa equation na ito, madaling makuha ang pangkalahatang expression para sa eroplano. Upang gawin ito, sapat na upang mahanap ang vector ng direksyon n¯, na magiging patayo sa parehong mga vector u¯ at v¯, ibig sabihin, dapat ilapat ang kanilang produkto ng vector.
Ang problema sa pagtukoy ng pangkalahatang equation ng eroplano
Ipakita natin kung paano gamitin ang mga formula sa itaas upang malutas ang mga geometric na problema. Ipagpalagay na ang vector ng direksyon ng eroplano ay n¯(5; -3; 1). Dapat mong mahanap ang equation ng eroplano, alam na ang puntong P(2; 0; 0) ay kabilang dito.
Ang pangkalahatang equation ay isinusulat bilang:
Ax + By + Cz +D=0.
Dahil ang vector na patayo sa eroplano ay kilala, ang equation ay magkakaroon ng anyong:
5x - 3y + z +D=0.
Nananatili itong hanapin ang libreng termino D. Kinakalkula namin ito mula sa kaalaman ng mga coordinate P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Kaya, ang gustong equation ng eroplano ay may anyo:
5x - 3y + z -10=0.
Ipinapakita ng figure sa ibaba kung ano ang hitsura ng resultang eroplano.
Ang ipinahiwatig na mga coordinate ng mga punto ay tumutugma sa mga intersection ng eroplano na may mga x, y at z axes.
Ang problema sa pagtukoy ng eroplano sa pamamagitan ng dalawang vector at isang punto
Ngayon ipagpalagay na ang nakaraang eroplano ay tinukoy sa ibang paraan. Dalawang vector u¯(-2; 0; 10) at v¯(-2; -10/3; 0) ang kilala, gayundin ang puntong P(2; 0; 0). Paano isulat ang equation ng eroplano sa vector parametric form? Gamit ang itinuturing na kaukulang formula, makakakuha tayo ng:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Tandaan na ang mga depinisyon ng equation na ito ng eroplano, ang mga vectors u¯ at v¯ ay maaaring kunin ng ganap na anuman, ngunit may isang kundisyon: hindi dapat magkaparehas ang mga ito. Kung hindi man, ang eroplano ay hindi maaaring natatanging matukoy, gayunpaman, ang isa ay makakahanap ng isang equation para sa isang sinag o isang hanay ng mga eroplano.
