Mga equation ng eroplano. Anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Ang isang eroplano, kasama ng isang punto at isang tuwid na linya, ay isang pangunahing geometric na elemento. Sa paggamit nito, maraming figure sa spatial geometry ang binuo. Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin nang mas detalyado ang tanong kung paano maghanap ng anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano.

Konsepto

Bago pag-usapan ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano, dapat mong maunawaang mabuti kung anong elemento sa geometry ang pinag-uusapan natin. Unawain natin ang terminolohiya. Ang eroplano ay isang walang katapusang koleksyon ng mga punto sa kalawakan, na nagkokonekta kung saan nakakakuha tayo ng mga vector. Ang huli ay magiging patayo sa ilang isang vector. Karaniwan itong tinatawag na normal sa eroplano.

Ang figure sa itaas ay nagpapakita ng isang eroplano at dalawang normal na vector dito. Makikita na ang parehong mga vector ay namamalagi sa parehong tuwid na linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 180o.

Equation

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano ay maaaring matukoy kung ang mathematical equation ng itinuturing na geometric na elemento ay kilala. Mayroong ilang mga uri ng naturang mga equation,na ang mga pangalan ay nakalista sa ibaba:

• pangkalahatang uri;
• vector;
• sa mga segment.

Ang tatlong uri na ito ay ang pinaka-maginhawa para sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga problema, kaya ang mga ito ay madalas na ginagamit.

Ang isang pangkalahatang uri ng equation ay ganito ang hitsura:

Ax + By + Cz + D=0.

Narito ang x, y, z ay ang mga coordinate ng isang arbitrary point na kabilang sa ibinigay na eroplano. Ang mga parameter A, B, C at D ay mga numero. Ang kaginhawahan ng notasyong ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga numerong A, B, C ay ang mga coordinate ng isang vector na normal sa eroplano.

Ang vector form ng eroplano ay maaaring katawanin tulad ng sumusunod:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Dito (a₂, b₂, c₂) at (a ₁, b₁, c₁) - mga parameter ng dalawang coordinate vector na kabilang sa itinuturing na eroplano. Ang punto (x₀, y₀, z_{0) ay matatagpuan din sa eroplanong ito. Ang mga parameter na α at β ay maaaring kumuha ng mga independyente at arbitrary na mga halaga.}

Sa wakas, ang equation ng plane sa mga segment ay kinakatawan sa sumusunod na mathematical form:

x/p + y/q + z/l=1.

Narito ang p, q, l ay mga partikular na numero (kabilang ang mga negatibo). Ang ganitong uri ng equation ay kapaki-pakinabang kapag kinakailangan upang ilarawan ang isang eroplano sa isang hugis-parihaba na coordinate system, dahil ang mga numerong p, q, l ay nagpapakita ng mga punto ng intersection sa x, y at z axes.eroplano.

Tandaan na ang bawat uri ng equation ay maaaring i-convert sa anumang iba pa gamit ang mga simpleng mathematical operations.

Formula para sa anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano

Ngayon isaalang-alang ang sumusunod na nuance. Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang dalawang eroplano ay matatagpuan sa dalawang paraan lamang. Alinman sa intersect o parallel. Sa pagitan ng dalawang eroplano, ang anggulo ay kung ano ang matatagpuan sa pagitan ng kanilang mga vector ng gabay (normal). Intersecting, 2 vector ang bumubuo ng 2 anggulo (talamak at mahina sa pangkalahatang kaso). Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay itinuturing na talamak. Isaalang-alang ang equation.

Ang formula para sa anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano ay:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Madaling hulaan na ang expression na ito ay direktang bunga ng scalar product ng mga normal na vectors n₁¯ at n₂ ¯ para sa mga itinuturing na eroplano. Ang modulus ng dot product sa numerator ay nagpapahiwatig na ang anggulo θ ay kukuha lang ng mga value mula 0^o hanggang 90^{o. Ang produkto ng moduli ng mga normal na vector sa denominator ay nangangahulugan ng produkto ng kanilang mga haba.}

Tandaan, kung (n₁¯n_{2¯)=0, ang mga eroplano ay magsalubong sa tamang anggulo.}

Halimbawang problema

Napag-isipan kung ano ang tinatawag na anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano, lulutasin natin ang sumusunod na problema. Bilang halimbawa. Kaya, kinakailangang kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng naturang mga eroplano:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Upang malutas ang problema, kailangan mong malaman ang mga vector ng direksyon ng mga eroplano. Para sa unang eroplano, ang normal na vector ay: n₁¯=(2, -3, 0). Upang mahanap ang pangalawang eroplanong normal na vector, dapat isa paramihin ang mga vector pagkatapos ng mga parameter na α at β. Ang resulta ay isang vector: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Upang matukoy ang anggulo θ, ginagamit namin ang formula mula sa nakaraang talata. Nakukuha namin ang:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0.5455 rad.

Ang nakalkulang anggulo sa radians ay tumutugma sa 31.26^o. Kaya, ang mga eroplano mula sa kondisyon ng problema ay nagsalubong sa isang anggulo na 31, 26^o.