Isa sa mga karaniwang problema sa stereometry ay ang mga gawain ng pagtawid sa mga tuwid na linya at eroplano at pagkalkula ng mga anggulo sa pagitan ng mga ito. Isaalang-alang natin sa artikulong ito nang mas detalyado ang tinatawag na coordinate method at ang mga anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano.
Linya at eroplano sa geometry
Bago isaalang-alang ang paraan ng coordinate at ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano, dapat mong kilalanin ang mga pinangalanang geometric na bagay.
Ang isang linya ay isang koleksyon ng mga punto sa kalawakan o sa isang eroplano, bawat isa ay maaaring makuha sa pamamagitan ng linear na paglilipat ng nauna sa isang partikular na vector. Sa mga sumusunod, tinutukoy namin ang vector na ito sa pamamagitan ng simbolo na u¯. Kung ang vector na ito ay pinarami ng anumang numero na hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang vector na kahanay sa u. Ang linya ay isang linear na walang katapusan na bagay.
Ang eroplano ay isa ring koleksyon ng mga punto na matatagpuan sa paraang kung gagawa ka ng mga di-makatwirang vector mula sa kanila, lahat ng mga ito ay magiging patayo sa ilang vector n¯. Ang huli ay tinatawag na normal o simpleng normal. Ang eroplano, hindi tulad ng isang tuwid na linya, ay isang dalawang-dimensional na walang katapusan na bagay.
Paraan ng coordinate para sa paglutas ng mga problema sa geometry
Batay sa pangalan ng mismong pamamaraan, maaari nating tapusin na pinag-uusapan natin ang isang paraan para sa paglutas ng mga problema, na batay sa pagganap ng analytical sequential calculations. Sa madaling salita, binibigyang-daan ka ng coordinate method na lutasin ang mga geometric na problema gamit ang mga universal algebra tool, na ang pangunahin ay mga equation.
Dapat tandaan na ang paraang isinasaalang-alang ay lumitaw sa bukang-liwayway ng modernong geometry at algebra. Malaking kontribusyon sa pag-unlad nito ang ginawa nina Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton at Leibniz noong ika-17-18 siglo.
Ang esensya ng pamamaraan ay upang kalkulahin ang mga distansya, anggulo, lugar at dami ng mga geometric na elemento batay sa mga coordinate ng mga kilalang puntos. Tandaan na ang anyo ng mga huling equation na nakuha ay depende sa coordinate system. Kadalasan, ang rectangular na Cartesian system ay ginagamit sa mga problema, dahil ito ay pinaka-maginhawang gamitin.
Line Equation
Isinasaalang-alang ang paraan ng coordinate at ang mga anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano, magsimula tayo sa pagtatakda ng equation ng linya. Mayroong ilang mga paraan upang kumatawan sa mga linya sa algebraic form. Dito ay isinasaalang-alang lamang namin ang vector equation, dahil madali itong makuha mula dito sa anumang iba pang anyo at madaling gamitin.
Ipagpalagay na mayroong dalawang puntos: P at Q. Alam na ang isang linya ay maaaring gumuhit sa pamamagitan ng mga ito, at itomagiging isa lang. Ang katumbas na mathematical na representasyon ng elemento ay ganito ang hitsura:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Kung saan ang PQ¯ ay isang vector na ang mga coordinate ay nakuha tulad ng sumusunod:
PQ¯=Q - P.
Ang simbolo na λ ay tumutukoy sa isang parameter na maaaring tumagal ng anumang numero.
Sa nakasulat na expression, maaari mong baguhin ang direksyon ng vector, at palitan din ang mga coordinate Q sa halip na ang point P. Ang lahat ng pagbabagong ito ay hindi hahantong sa pagbabago sa geometric na lokasyon ng linya.
Tandaan na kapag nilulutas ang mga problema, kung minsan ay kinakailangan na katawanin ang nakasulat na vector equation sa isang tahasang (parametric) na anyo.
Pagtatakda ng eroplano sa kalawakan
Gayundin para sa isang tuwid na linya, mayroon ding ilang mga anyo ng mathematical equation para sa isang eroplano. Kabilang sa mga ito, tandaan namin ang vector, ang equation sa mga segment at ang pangkalahatang anyo. Sa artikulong ito, bibigyan namin ng espesyal na pansin ang huling form.
Ang isang pangkalahatang equation para sa isang arbitrary plane ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
Ax + By + Cz + D=0.
Ang malalaking titik ng Latin ay ilang partikular na numero na tumutukoy sa isang eroplano.
Ang kaginhawahan ng notasyong ito ay tahasang naglalaman ito ng vector na normal sa eroplano. Ito ay katumbas ng:
n¯=(A, B, C).
Ang pag-alam sa vector na ito ay ginagawang posible, sa pamamagitan ng panandaliang pagtingin sa equation ng eroplano, na isipin ang lokasyon ng huli sa coordinate system.
Mutual arrangement inespasyo ng linya at eroplano
Sa susunod na talata ng artikulo ay magpapatuloy tayo sa pagsasaalang-alang ng paraan ng coordinate at ang anggulo sa pagitan ng linya at ng eroplano. Dito ay sasagutin natin ang tanong kung paano matatagpuan ang itinuturing na mga geometric na elemento sa espasyo. May tatlong paraan:
- Ang tuwid na linya ay nag-intersect sa eroplano. Gamit ang paraan ng coordinate, maaari mong kalkulahin kung saang punto mag-intersect ang linya at ang eroplano.
- Ang eroplano ng isang tuwid na linya ay parallel. Sa kasong ito, ang sistema ng mga equation ng mga geometric na elemento ay walang solusyon. Upang patunayan ang parallelism, kadalasang ginagamit ang property ng scalar product ng directing vector ng straight line at ang normal ng plane.
- Ang eroplano ay naglalaman ng isang linya. Ang paglutas ng sistema ng mga equation sa kasong ito, makakarating tayo sa konklusyon na para sa anumang halaga ng parameter na λ, ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.
Sa pangalawa at pangatlong kaso, ang anggulo sa pagitan ng tinukoy na mga geometric na bagay ay katumbas ng zero. Sa unang kaso, nasa pagitan ito ng 0 at 90o.
Pagkalkula ng mga anggulo sa pagitan ng mga linya at eroplano
Ngayon, dumiretso tayo sa paksa ng artikulo. Ang anumang intersection ng isang linya at isang eroplano ay nangyayari sa ilang anggulo. Ang anggulong ito ay nabuo ng mismong tuwid na linya at ang projection nito sa eroplano. Ang isang projection ay maaaring makuha kung mula sa anumang punto ng isang tuwid na linya ang isang patayo ay ibinaba papunta sa eroplano, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng nakuha na punto ng intersection ng eroplano at ang patayo at ang punto ng intersection ng eroplano at ang orihinal na linya, gumuhit ng isang tuwid na linya na magiging projection.
Ang pagkalkula ng mga anggulo sa pagitan ng mga linya at eroplano ay hindi isang mahirap na gawain. Upang malutas ito, sapat na malaman ang mga equation ng kaukulang mga geometric na bagay. Sabihin nating ganito ang hitsura ng mga equation na ito:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Ang gustong anggulo ay madaling mahanap gamit ang property ng produkto ng scalar vectors u¯ at n¯. Ganito ang hitsura ng huling formula:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Sinasabi ng formula na ito na ang sine ng anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay katumbas ng ratio ng modulus ng scalar product ng mga minarkahang vector sa produkto ng kanilang mga haba. Upang maunawaan kung bakit lumabas ang sine sa halip na cosine, buksan natin ang figure sa ibaba.
Makikita na kung ilalapat natin ang cosine function, makukuha natin ang anggulo sa pagitan ng mga vector u¯ at n¯. Ang nais na anggulo θ (α sa figure) ay nakuha tulad ng sumusunod:
θ=90o- β.
Lumilitaw ang sine bilang resulta ng paglalapat ng mga formula ng pagbabawas.
Halimbawang problema
Tuloy tayo sa praktikal na paggamit ng nakuhang kaalaman. Lutasin natin ang isang karaniwang problema sa anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Ang mga sumusunod na coordinate ng apat na puntos ay ibinigay:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Alam na sa pamamagitan ng mga puntos ay PQMisang eroplano ang dumadaan dito, at isang tuwid na linya ang dumadaan sa MN. Gamit ang paraan ng coordinate, dapat kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng eroplano at linya.
Una, isulat natin ang mga equation ng tuwid na linya at ng eroplano. Para sa isang tuwid na linya, madali itong buuin:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Upang gawin ang equation ng eroplano, hahanapin muna natin ang normal dito. Ang mga coordinate nito ay katumbas ng produkto ng vector ng dalawang vector na nakahiga sa ibinigay na eroplano. Mayroon kaming:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Ngayon ay palitan natin ang mga coordinate ng anumang puntong nasa loob nito sa equation ng pangkalahatang eroplano upang makuha ang halaga ng libreng termino D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Ang plane equation ay:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Nananatili itong ilapat ang formula para sa anggulo na nabuo sa intersection ng isang tuwid na linya at isang eroplano upang makuha ang sagot sa problema. Mayroon kaming:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Gamit ang problemang ito bilang halimbawa, ipinakita namin kung paano gamitin ang coordinate method para malutas ang mga geometric na problema.
