Ang batas ng konserbasyon ng momentum at angular momentum: isang halimbawa ng paglutas ng problema

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Kapag kailangan mong lutasin ang mga problema sa pisika sa paggalaw ng mga bagay, madalas na nagiging kapaki-pakinabang na ilapat ang batas ng konserbasyon ng momentum. Ano ang momentum para sa linear at circular na paggalaw ng katawan, at kung ano ang esensya ng batas ng konserbasyon ng halagang ito, ay tinalakay sa artikulo.

Ang konsepto ng linear momentum

Ipinapakita ng makasaysayang data na sa unang pagkakataon ay isinaalang-alang ang halagang ito sa kanyang mga siyentipikong gawa ni Galileo Galilei sa simula ng ika-17 siglo. Kasunod nito, nagawa ni Isaac Newton na maayos na isama ang konsepto ng momentum (mas tamang pangalan para sa momentum) sa klasikal na teorya ng paggalaw ng mga bagay sa kalawakan.

Ipahiwatig ang momentum bilang p¯, pagkatapos ay isusulat ang formula para sa pagkalkula nito bilang:

p¯=mv¯.

Narito ang m ay ang masa, v¯ ay ang bilis (vector value) ng paggalaw. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapakita na ang dami ng paggalaw ay ang velocity na katangian ng isang bagay, kung saan ang masa ay gumaganap ng papel ng isang multiplication factor. Bilang ng paggalaway isang vector quantity na tumuturo sa parehong direksyon ng bilis.

Intuitively, mas malaki ang bilis ng paggalaw at masa ng katawan, mas mahirap itong pigilan, ibig sabihin, mas malaki ang kinetic energy na taglay nito.

Ang dami ng paggalaw at ang pagbabago nito

Mahuhulaan mo na upang mabago ang p¯ halaga ng katawan, kailangan mong maglapat ng ilang puwersa. Hayaang kumilos ang puwersa F¯ sa pagitan ng oras na Δt, pagkatapos ay pinapayagan tayo ng batas ni Newton na isulat ang pagkakapantay-pantay:

F¯Δt=ma¯Δt; samakatuwid F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

Ang halaga na katumbas ng produkto ng agwat ng oras Δt at ang puwersa F¯ ay tinatawag na impulse ng puwersang ito. Dahil ito ay lumalabas na katumbas ng pagbabago sa momentum, ang huli ay kadalasang tinatawag na simpleng momentum, na nagmumungkahi na ang ilang panlabas na puwersa F¯ ang lumikha nito.

Kaya, ang dahilan ng pagbabago sa momentum ay ang momentum ng panlabas na puwersa. Ang halaga ng Δp¯ ay maaaring humantong sa parehong pagtaas sa halaga ng p¯ kung ang anggulo sa pagitan ng F¯ at p¯ ay talamak, at sa pagbaba sa modulus ng p¯ kung ang anggulong ito ay malabo. Ang pinakasimpleng mga kaso ay ang acceleration ng body (ang anggulo sa pagitan ng F¯ at p¯ ay zero) at ang deceleration nito (ang anggulo sa pagitan ng mga vectors F¯ at p¯ ay 180o).

Kapag napanatili ang momentum: batas

Kung ang sistema ng katawan ay hindikumikilos ang mga panlabas na pwersa, at ang lahat ng mga proseso sa loob nito ay limitado lamang sa pamamagitan ng mekanikal na pakikipag-ugnayan ng mga bahagi nito, kung gayon ang bawat bahagi ng momentum ay nananatiling hindi nagbabago sa loob ng mahabang panahon. Ito ang batas ng konserbasyon ng momentum ng mga katawan, na nakasulat sa matematika gaya ng sumusunod:

p¯=∑_ip_{i¯=const o}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_iz=const.

Ang subscript i ay isang integer na nagsasaad ng object ng system, at inilalarawan ng mga indeks na x, y, z ang mga bahagi ng momentum para sa bawat coordinate axes sa Cartesian rectangular system.

Sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan upang malutas ang isang-dimensional na mga problema para sa banggaan ng mga katawan, kapag alam ang mga paunang kondisyon, at kinakailangan upang matukoy ang estado ng system pagkatapos ng epekto. Sa kasong ito, ang momentum ay palaging pinananatili, na hindi masasabi tungkol sa kinetic energy. Ang huli bago at pagkatapos ng epekto ay hindi magbabago lamang sa isang kaso: kapag mayroong ganap na nababanat na pakikipag-ugnayan. Para sa kasong ito ng banggaan ng dalawang katawan na gumagalaw nang may bilis na v₁ at v_{2, ang formula ng konserbasyon ng momentum ay kukuha ng anyo:}

m₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Dito, ang mga bilis na u₁ at u_{2 ay nagpapakilala sa paggalaw ng mga katawan pagkatapos ng impact. Tandaan na sa form na ito ng batas sa konserbasyon, kinakailangang isaalang-alang ang tanda ng mga bilis: kung sila ay nakadirekta sa isa't isa, kung gayon ang isa ay dapat kuninpositibo at ang iba pang negatibo.}

Para sa ganap na hindi nababanat na banggaan (dalawang katawan ang magkadikit pagkatapos ng impact), ang batas ng konserbasyon ng momentum ay may anyo:

m₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Solusyon ng problema sa batas ng konserbasyon ng p¯

Ating lutasin ang sumusunod na problema: dalawang bola ang gumulong patungo sa isa't isa. Ang mga masa ng mga bola ay pareho, at ang kanilang mga bilis ay 5 m/s at 3 m/s. Sa pag-aakalang may ganap na nababanat na banggaan, kailangang hanapin ang bilis ng mga bola pagkatapos nito.

Gamit ang batas sa konserbasyon ng momentum para sa one-dimensional na case, at isinasaalang-alang na ang kinetic energy ay natipid pagkatapos ng epekto, isinusulat namin ang:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Dito agad naming binawasan ang masa ng mga bola dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga ito, at isinasaalang-alang din ang katotohanan na ang mga katawan ay gumagalaw patungo sa isa't isa.

Mas madaling ipagpatuloy ang paglutas sa system kung papalitan mo ang kilalang data. Nakukuha namin ang:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Substituting u_{1 sa pangalawang equation, makukuha natin ang:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; kaya naman,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

Nakuha namin ang classic na quadratic equation. Nire-solve namin ito sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha namin ang:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

Mayroon kaming dalawang solusyon. Kung papalitan natin ang mga ito sa unang expression at tutukuyin ang u₁, makukuha natin ang sumusunod na value: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. Ang pangalawang pares ng mga numero ay ibinibigay sa kondisyon ng problema, kaya hindi ito tumutugma sa tunay na distribusyon ng mga bilis pagkatapos ng epekto.}

Kaya, isang solusyon na lang ang natitira: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. Nangangahulugan ang kakaibang resultang ito na sa isang gitnang elastikong banggaan, dalawang bola na magkapareho ang masa ay nagpapalitan lamang ng kanilang mga bilis.}

Sandali ng momentum

Lahat ng sinabi sa itaas ay tumutukoy sa linear na uri ng paggalaw. Gayunpaman, lumalabas na ang mga katulad na dami ay maaari ding ipakilala sa kaso ng pabilog na pag-aalis ng mga katawan sa paligid ng isang tiyak na axis. Ang angular momentum, na tinatawag ding angular momentum, ay kinakalkula bilang produkto ng vector na nagkokonekta sa materyal na punto sa axis ng pag-ikot at sa momentum ng puntong ito. Ibig sabihin, nagaganap ang formula:

L¯=r¯p¯, kung saan p¯=mv¯.

Momentum, tulad ng p¯, ay isang vector na nakadirekta patayo sa eroplanong binuo sa mga vector r¯ at p¯.

Ang halaga ng L¯ ay isang mahalagang katangian ng isang umiikot na sistema, dahil tinutukoy nito ang enerhiya na nakaimbak dito.

Sandali ng momentum at batas sa konserbasyon

Ang angular momentum ay pinananatili kung walang mga panlabas na puwersa na kumikilos sa system (karaniwan ay sinasabi nila na walang sandali ng mga puwersa). Ang expression sa nakaraang talata, sa pamamagitan ng mga simpleng pagbabago, ay maaaring isulat sa isang form na mas maginhawa para sa pagsasanay:

L¯=Iω¯, kung saan ang I=mr2 ay ang moment of inertia ng material point, ω¯ ay ang angular velocity.

Ang sandali ng inertia I, na lumitaw sa expression, ay may eksaktong parehong kahulugan para sa pag-ikot gaya ng karaniwang masa para sa linear na paggalaw.

Kung mayroong anumang panloob na muling pagsasaayos ng system, kung saan ako nagbabago, kung gayon ang ω¯ ay hindi rin mananatiling pare-pareho. Bukod dito, ang pagbabago sa parehong pisikal na dami ay nangyayari sa paraang ang pagkakapantay-pantay sa ibaba ay nananatiling wasto:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

Ito ang batas ng konserbasyon ng angular momentum L¯. Ang pagpapakita nito ay naobserbahan ng bawat tao na kahit minsan ay dumalo sa ballet o figure skating, kung saan gumaganap ang mga atleta ng mga pirouette nang may pag-ikot.