Ang dami ng pag-aaral ng dynamics at kinematics ng rotational motion ay nangangailangan ng kaalaman sa moment of inertia ng isang material point at isang matibay na katawan na nauugnay sa axis ng rotation. Isasaalang-alang namin sa artikulo kung anong parameter ang pinag-uusapan natin, at magbibigay din ng formula para sa pagtukoy nito.
Pangkalahatang impormasyon tungkol sa pisikal na dami
Una, tukuyin natin ang sandali ng inertia ng isang materyal na punto at isang matibay na katawan, at pagkatapos ay ipakita kung paano ito dapat gamitin sa paglutas ng mga praktikal na problema.
Sa ilalim ng ipinahiwatig na pisikal na katangian para sa isang punto na may mass m, na umiikot sa paligid ng axis sa layong r, ang sumusunod na halaga ay sinadya:
I=mr².
Kung saan sumusunod na ang yunit ng pagsukat ng pinag-aralan na parameter ay kilo bawat metro kuwadrado (kgm²).
Kung, sa halip na isang punto sa paligid ng isang axis, ang isang katawan ng kumplikadong hugis ay umiikot, na mayroong arbitrary na distribusyon ng masa sa loob mismo, kung gayon ang moment of inertia nito ay matutukoykaya:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Kung saan ang ρ ay ang density ng katawan. Gamit ang integral formula, matutukoy mo ang halaga ng I para sa ganap na anumang sistema ng pag-ikot.
Moment of inertia ay may eksaktong parehong kahulugan para sa pag-ikot gaya ng mass para sa translational motion. Halimbawa, alam ng lahat na pinakamadaling paikutin ang isang mop sa sahig sa paligid ng isang axis na dumadaan sa hawakan nito kaysa sa isang patayo. Ito ay dahil sa katotohanan na ang moment of inertia sa unang kaso ay mas mababa kaysa sa pangalawa.
Pahalagahan ko ang mga katawan na may iba't ibang hugis
Kapag nilulutas ang mga problema sa pisika para sa pag-ikot, kadalasang kailangang malaman ang sandali ng pagkawalang-galaw para sa katawan ng isang partikular na geometric na hugis, halimbawa, para sa isang silindro, bola o baras. Kung ilalapat natin ang pormula na nakasulat sa itaas para sa I, kung gayon madaling makuha ang kaukulang ekspresyon para sa lahat ng minarkahang katawan. Nasa ibaba ang mga formula para sa ilan sa mga ito:
rod: I=1 / 12ML²;
silindro: I=1 / 2MR²;
sphere: I=2 / 5MR².
Narito ako ay ibinigay para sa axis ng pag-ikot, na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan. Sa kaso ng isang silindro, ang axis ay parallel sa generator ng figure. Ang sandali ng pagkawalang-galaw para sa iba pang mga geometric na katawan at mga pagpipilian para sa lokasyon ng mga axes ng pag-ikot ay matatagpuan sa kaukulang mga talahanayan. Tandaan na upang matukoy ang iba't ibang figure, sapat na malaman lamang ang isang geometric na parameter at ang masa ng katawan.
Steiner's theorem and formula
Moment of inertia ay maaaring matukoy kung ang axis ng pag-ikot ay matatagpuan sa ilang distansya mula sa katawan. Upang gawin ito, dapat mong malaman ang haba ng segment na ito at ang halaga IOng katawan na may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna ng masa nito, na dapat ay parallel sa nasa ilalim pagsasaalang-alang. Ang pagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng parameter na IO at ang hindi kilalang halaga na I ay naayos sa teorem ni Steiner. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang materyal na punto at isang matibay na katawan ay nakasulat sa matematika tulad ng sumusunod:
I=IO+ Mh2.
Dito ang M ay ang masa ng katawan, ang h ay ang distansya mula sa sentro ng masa hanggang sa axis ng pag-ikot, kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang I. Ang expression na ito ay madaling makuha sa iyong sarili kung ikaw gamitin ang integral formula para sa I at isaalang-alang na ang lahat ng mga punto ng katawan ay nasa mga distansya r=r0 + h.
Ang theorem ni Steiner ay lubos na pinasimple ang kahulugan ng I para sa maraming praktikal na sitwasyon. Halimbawa, kung kailangan mong hanapin ang I para sa isang baras na may haba L at mass M na may kinalaman sa isang axis na dumadaan sa dulo nito, kung gayon ang paglalapat ng Steiner theorem ay nagpapahintulot sa iyo na isulat ang:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Maaari kang sumangguni sa kaukulang talahanayan at makitang naglalaman ito ng eksaktong formula na ito para sa isang manipis na baras na may axis ng pag-ikot sa dulo nito.
Moment equation
Sa pisika ng pag-ikot mayroong isang formula na tinatawag na equation ng mga sandali. Mukhang ganito:
M=Akoα.
Dito ang M ay ang sandali ng puwersa, ang α ay ang angular acceleration. Tulad ng nakikita mo, ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang materyal na punto at isang matibay na katawan at ang sandali ng puwersa ay magkakaugnay sa bawat isa. Tinutukoy ng value na M ang posibilidad ng ilang puwersa F na lumikha ng rotational motion na may acceleration α sa system. Upang kalkulahin ang M, gamitin ang sumusunod na simpleng expression:
M=Fd.
Kung saan ang d ay ang balikat ng sandali, na katumbas ng distansya mula sa force vector F hanggang sa axis ng pag-ikot. Kung mas maliit ang braso d, mas mababa ang kakayahan ng puwersa upang lumikha ng pag-ikot ng system.
Ang equation ng mga sandali sa kahulugan nito ay ganap na naaayon sa pangalawang batas ni Newton. Sa kasong ito, ginagampanan ko ang papel ng inertial mass.
Halimbawa ng paglutas ng problema
Isipin natin ang isang sistema na isang cylinder na naayos sa isang vertical axis na may walang timbang na pahalang na baras. Ito ay kilala na ang axis ng pag-ikot at ang pangunahing axis ng silindro ay parallel sa bawat isa, at ang distansya sa pagitan ng mga ito ay 30 cm. Ang mass ng silindro ay 1 kg, at ang radius nito ay 5 cm. Isang puwersa ng 10 Ang N tangent sa tilapon ng pag-ikot ay kumikilos sa figure, ang vector na kung saan ay dumadaan sa pangunahing axis ng silindro. Kinakailangang matukoy ang angular acceleration ng figure, na idudulot ng puwersang ito.
Una, kalkulahin natin ang moment of inertia ng I cylinder. Upang gawin ito, ilapat ang Steiner theorem, mayroon kaming:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210.05² + 10, 3²=0.09125 kgm².
Bago gamitin ang moment equation, kailangan momatukoy ang sandali ng puwersa M. Sa kasong ito, mayroon tayong:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Ngayon matutukoy mo na ang acceleration:
α=M/I=3/0.09125 ≈ 32.9 rad/s².
Ang kinakalkula na angular acceleration ay nagpapahiwatig na bawat segundo ang bilis ng cylinder ay tataas ng 5.2 revolutions bawat segundo.
