Sa artikulong ito, ang pamamaraan ay itinuturing bilang isang paraan upang malutas ang mga sistema ng linear equation (SLAE). Ang pamamaraan ay analytical, iyon ay, pinapayagan ka nitong magsulat ng isang pangkalahatang algorithm ng solusyon, at pagkatapos ay palitan ang mga halaga mula sa mga tiyak na halimbawa doon. Hindi tulad ng pamamaraan ng matrix o mga formula ng Cramer, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang pamamaraang Gauss, maaari ka ring makipagtulungan sa mga may walang katapusang maraming solusyon. O wala talaga.
Ano ang ibig sabihin ng paglutas sa pamamaraang Gauss?
Una, kailangan nating isulat ang ating sistema ng mga equation bilang isang matrix. Parang ganito. Kinuha ang system:
Ang mga coefficient ay nakasulat sa anyo ng isang talahanayan, at sa kanan sa isang hiwalay na column - mga libreng miyembro. Ang column na may mga libreng miyembro ay pinaghihiwalay para sa kaginhawahan ng isang vertical bar. Ang isang matrix na kinabibilangan ng column na ito ay tinatawag na extended.
Susunod, ang pangunahing matrix na may mga coefficient ay dapat na bawasan sa itaas na hugis na tatsulok. Ito ang pangunahing punto ng paglutas ng sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss. Sa madaling salita, pagkatapos ng ilang partikular na pagmamanipula, ang matrix ay dapat magmukhang ganito, upang magkaroon lamang ng mga zero sa ibabang kaliwang bahagi nito:
Pagkatapos, kung isusulat mo muli ang bagong matrix bilang isang sistema ng mga equation, mapapansin mo na ang huling linya ay naglalaman na ng halaga ng isa sa mga ugat, na pagkatapos ay inihahalili sa equation sa itaas, isa pang ugat ang makikita, at iba pa.
Ito ay isang paglalarawan ng solusyong Gaussian sa mga pinaka-pangkalahatang termino. At ano ang mangyayari kung biglang walang solusyon ang sistema? O mayroon bang walang katapusang bilang ng mga ito? Upang masagot ang mga ito at marami pang tanong, kinakailangang isaalang-alang nang hiwalay ang lahat ng elementong ginamit sa solusyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss.
Matrics, ang kanilang mga pag-aari
Walang nakatagong kahulugan sa matrix. Isa lang itong maginhawang paraan para mag-record ng data para sa mga operasyon sa ibang pagkakataon. Kahit ang mga mag-aaral ay hindi dapat matakot sa kanila.
Palaging hugis-parihaba ang matrix dahil mas maginhawa ito. Kahit na sa paraan ng Gauss, kung saan ang lahat ay bumababa sa pagbuo ng isang tatsulok na matrix, isang parihaba ang lilitaw sa entry, na may mga zero lamang sa lugar kung saan walang mga numero. Maaaring tanggalin ang mga zero, ngunit ipinahiwatig ang mga ito.
May sukat ang Matrix. Ang "lapad" nito ay ang bilang ng mga hilera (m), ang "haba" nito ay ang bilang ng mga hanay (n). Pagkatapos, ang laki ng matrix A (kadalasang ginagamit ang malalaking letrang Latin para sa kanilang pagtatalaga) ay tutukuyin bilang Am×n. Kung m=n, kung gayon ang matrix na ito ay parisukat, atm=n - ayos nito. Alinsunod dito, ang anumang elemento ng matrix A ay maaaring tukuyin ng bilang ng row at column nito: axy; x - row number, palitan [1, m], y - column number, palitan [1, n].
Sa pamamaraang Gaussian, ang mga matrice ay hindi ang pangunahing punto ng solusyon. Sa prinsipyo, ang lahat ng mga operasyon ay maaaring isagawa nang direkta gamit ang mga equation mismo, gayunpaman, ang notasyon ay magiging mas masalimuot, at magiging mas madaling malito dito.
Qualifier
May determinant din ang matrix. Ito ay isang napakahalagang tampok. Ang paghahanap ng kahulugan nito ngayon ay hindi katumbas ng halaga, maaari mo lamang ipakita kung paano ito kinakalkula, at pagkatapos ay sabihin kung anong mga katangian ng matrix ang tinutukoy nito. Ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang determinant ay sa pamamagitan ng mga diagonal. Ang mga haka-haka na diagonal ay iginuhit sa matrix; ang mga elementong matatagpuan sa bawat isa sa kanila ay pinarami, at pagkatapos ay idinagdag ang mga resultang produkto: mga dayagonal na may slope sa kanan - na may "plus" na tanda, na may slope sa kaliwa - na may "minus" na tanda.
Napakahalagang tandaan na ang determinant ay maaari lamang kalkulahin para sa isang square matrix. Para sa isang parihabang matrix, magagawa mo ang sumusunod: piliin ang pinakamaliit sa bilang ng mga row at ang bilang ng mga column (hayaan itong k), at pagkatapos ay random na markahan ang k column at k row sa matrix. Ang mga elementong matatagpuan sa intersection ng mga napiling column at row ay bubuo ng bagong square matrix. Kung ang determinant ng naturang matrix ay isang numero maliban sa zero, kung gayon ito ay tatawaging basic minor ng orihinal na rectangular matrix.
Noonkung paano simulan ang paglutas ng isang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, hindi masakit na kalkulahin ang determinant. Kung ito ay naging zero, pagkatapos ay maaari nating agad na sabihin na ang matrix ay may alinman sa isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, o wala sa lahat. Sa ganitong malungkot na kaso, kailangan mong pumunta pa at alamin ang tungkol sa ranggo ng matrix.
Pag-uuri ng mga system
May isang bagay tulad ng ranggo ng isang matrix. Ito ang maximum na pagkakasunud-sunod ng non-zero determinant nito (pag-alala sa batayang minor, masasabi nating ang ranggo ng isang matrix ay ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor).
Kung paano ang mga bagay ay may ranggo, ang SLOW ay maaaring hatiin sa:
- Pinagsanib. Para sa magkasanib na mga sistema, ang ranggo ng pangunahing matrix (na binubuo lamang ng mga coefficient) ay tumutugma sa ranggo ng pinalawig (na may isang haligi ng mga libreng termino). Ang ganitong mga sistema ay may isang solusyon, ngunit hindi kinakailangang isa, samakatuwid, ang magkasanib na mga sistema ay karagdagang nahahati sa:
- - tiyak - pagkakaroon ng natatanging solusyon. Sa ilang partikular na system, ang ranggo ng matrix at ang bilang ng mga hindi alam ay pantay (o ang bilang ng mga column, na parehong bagay);
- - indefinite - na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang ranggo ng mga matrice sa naturang mga sistema ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam.
- Incompatible. Para sa mga naturang sistema, ang mga ranggo ng pangunahing at pinahabang matrice ay hindi tumutugma. Walang solusyon ang mga hindi tugmang system.
Ang Gauss method ay mabuti dahil binibigyang-daan ka nitong makakuha ng alinman sa hindi malabong patunay ng hindi pagkakapare-pareho ng system (nang hindi kinakalkula ang mga determinant ng malalaking matrice) o isang pangkalahatang solusyon para sa isang system na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Mga elementarya na pagbabago
Noonkung paano magpatuloy nang direkta sa solusyon ng system, maaari mong gawin itong mas mahirap at mas maginhawa para sa mga kalkulasyon. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago - na ang kanilang pagpapatupad ay hindi nagbabago sa panghuling sagot sa anumang paraan. Dapat pansinin na ang ilan sa mga pagbabagong elementarya sa itaas ay may bisa lamang para sa mga matrice, ang pinagmulan nito ay ang SLAE. Narito ang isang listahan ng mga pagbabagong ito:
- Baguhin ang mga string. Malinaw na kung babaguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga equation sa talaan ng system, hindi ito makakaapekto sa solusyon sa anumang paraan. Samakatuwid, posible ring magpalit ng mga hilera sa matrix ng system na ito, nang hindi nakakalimutan, siyempre, ang tungkol sa column ng mga libreng miyembro.
- Pag-multiply ng lahat ng elemento ng isang string sa ilang kadahilanan. Napaka-kapaki-pakinabang! Gamit ito, maaari mong bawasan ang malalaking numero sa matrix o alisin ang mga zero. Ang hanay ng mga solusyon, gaya ng dati, ay hindi magbabago, at magiging mas maginhawang magsagawa ng karagdagang mga operasyon. Ang pangunahing bagay ay ang coefficient ay hindi dapat katumbas ng zero.
- Tanggalin ang mga linyang may proporsyonal na coefficient. Ito ay bahagyang sumusunod mula sa nakaraang talata. Kung ang dalawa o higit pang mga hilera sa matrix ay may proporsyonal na mga koepisyent, kung gayon kapag ang pag-multiply / paghahati ng isa sa mga hilera sa pamamagitan ng koepisyent ng proporsyonalidad, dalawa (o, muli, higit pa) ganap na magkaparehong mga hilera ay nakuha, at maaari mong alisin ang mga dagdag, na naiwan lamang isa.
- Tanggalin ang null line. Kung sa kurso ng mga pagbabagong-anyo, isang string ay nakuha sa isang lugar kung saan ang lahat ng mga elemento, kabilang ang libreng miyembro, ay zero, kung gayon ang naturang string ay maaaring tawaging zero at itapon sa labas ng matrix.
- Pagdaragdag sa mga elemento ng isang hilera ng mga elemento ng isa pa (ayon sakaukulang mga column) na pinarami ng ilang coefficient. Ang pinaka malabo at pinakamahalagang pagbabago sa lahat. Ito ay nagkakahalaga na pag-isipan ito nang mas detalyado.
Pagdaragdag ng string na na-multiply sa isang factor
Para sa madaling pag-unawa, sulit na i-disassemble ang prosesong ito nang sunud-sunod. Dalawang row ang kinuha mula sa matrix:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Ipagpalagay nating kailangan mong idagdag ang una na na-multiply sa coefficient na "-2" sa pangalawa.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Pagkatapos, ang pangalawang row sa matrix ay papalitan ng bago, habang ang una ay nananatiling hindi nagbabago.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Dapat tandaan na ang multiplication factor ay maaaring piliin sa paraang, bilang resulta ng pagdaragdag ng dalawang string, ang isa sa mga elemento ng bagong string ay katumbas ng zero. Samakatuwid, posibleng makakuha ng equation sa system, kung saan magkakaroon ng hindi gaanong kilala. At kung makakakuha ka ng dalawang tulad na mga equation, pagkatapos ay ang operasyon ay maaaring gawin muli at makakuha ng isang equation na naglalaman na ng dalawang mas kaunting hindi alam. At kung sa bawat oras na lumiko tayo sa zero isang koepisyent para sa lahat ng mga hilera na mas mababa kaysa sa orihinal, maaari tayong, tulad ng mga hakbang, bumaba sa pinakailalim ng matrix at makakuha ng isang equation na may isang hindi alam. Ito ay tinatawag nalutasin ang system gamit ang Gauss method.
Sa pangkalahatan
Magkaroon ng sistema. Mayroon itong m equation at n hindi kilalang ugat. Maaari mo itong isulat nang ganito:
Ang pangunahing matrix ay pinagsama-sama mula sa mga coefficient ng system. Isang column ng mga libreng miyembro ang idinaragdag sa pinalawak na matrix at pinaghihiwalay ng bar para sa kaginhawahan.
Susunod:
- ang unang hilera ng matrix ay pinarami ng coefficient k=(-a21/a11);
- ang unang binagong row at ang pangalawang row ng matrix ay idinagdag;
- sa halip na ang pangalawang hilera, ang resulta ng pagdaragdag mula sa nakaraang talata ay ipinasok sa matrix;
- ngayon ang unang coefficient sa bagong pangalawang linya ay 11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Ngayon ang parehong serye ng mga pagbabagong-anyo ay ginaganap, ang una at pangatlong linya lamang ang kasangkot. Alinsunod dito, sa bawat hakbang ng algorithm, ang elementong a21 ay pinapalitan ng isang31. Pagkatapos ay mauulit ang lahat para sa isang41, … isangm1. Ang resulta ay isang matrix kung saan ang unang elemento sa mga hilera [2, m] ay katumbas ng zero. Ngayon ay kailangan mong kalimutan ang tungkol sa numero unong linya at gawin ang parehong algorithm simula sa pangalawang linya:
- k coefficient=(-a32/a22);
- ang pangalawang binagong linya ay idinagdag sa "kasalukuyang" linya;
- ang resulta ng karagdagan ay pinapalitan sa ikatlo, ikaapat at iba pa na mga linya, habang ang una at pangalawa ay nananatiling hindi nagbabago;
- sa mga row [3, m] ng matrix, ang unang dalawang elemento ay katumbas na ng zero.
Dapat na ulitin ang algorithm hanggang sa lumabas ang coefficient k=(-am, m-1/amm). Nangangahulugan ito na ang algorithm ay huling tumakbo lamang para sa mas mababang equation. Ngayon ang matrix ay mukhang isang tatsulok, o may isang stepped na hugis. Ang ilalim na linya ay naglalaman ng equation na amn × x =bm. Alam ang koepisyent at libreng termino, at ang ugat ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito: x =bm/amn. Ang resultang ugat ay pinapalitan sa itaas na hilera upang mahanap ang xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. At iba pa sa pamamagitan ng pagkakatulad: sa bawat susunod na linya ay mayroong isang bagong ugat, at, nang maabot ang "tuktok" ng system, makakahanap ang isa ng isang hanay ng mga solusyon [x1, … x ]. Ito ay magiging isa lamang.
Kapag walang solusyon
Kung sa isa sa mga matrix row ang lahat ng elemento, maliban sa libreng termino, ay katumbas ng zero, ang equation na naaayon sa row na ito ay mukhang 0=b. Wala itong solusyon. At dahil ang naturang equation ay kasama sa system, kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng buong system ay walang laman, iyon ay, ito ay degenerate.
Kapag mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon
Maaaring lumabas na sa pinababang triangular na matrix ay walang mga hilera na may isang elemento - ang koepisyent ng equation, at isa - isang libreng miyembro. Mayroon lamang mga string na, kapag muling isinulat, ay magmumukhang isang equation na may dalawa o higit pang mga variable. Nangangahulugan ito na ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa kasong ito, ang sagot ay maaaring ibigay sa anyo ng isang pangkalahatang solusyon. Paano ito gagawin?
LahatAng mga variable sa matrix ay nahahati sa basic at libre. Basic - ito ang mga nakatayo "sa gilid" ng mga hilera sa stepped matrix. Ang iba ay libre. Sa pangkalahatang solusyon, ang mga pangunahing variable ay nakasulat sa mga tuntunin ng mga libre.
Para sa kaginhawahan, ang matrix ay unang muling isinulat pabalik sa isang sistema ng mga equation. Pagkatapos sa huli sa kanila, kung saan eksaktong isang pangunahing variable lamang ang natitira, nananatili ito sa isang panig, at lahat ng iba pa ay inilipat sa isa pa. Ginagawa ito para sa bawat equation na may isang pangunahing variable. Pagkatapos, sa iba pang mga equation, kung posible, sa halip na ang pangunahing variable, ang expression na nakuha para dito ay pinapalitan. Kung ang resulta ay muling isang expression na naglalaman lamang ng isang pangunahing variable, ito ay ipinahayag mula doon muli, at iba pa, hanggang sa ang bawat pangunahing variable ay nakasulat bilang isang expression na may mga libreng variable. Ito ang pangkalahatang solusyon ng SLAE.
Maaari mo ring mahanap ang pangunahing solusyon ng system - bigyan ang mga libreng variable ng anumang mga halaga, at pagkatapos ay kalkulahin ang mga halaga ng mga pangunahing variable para sa partikular na kaso. Napakaraming partikular na solusyon.
Solusyon na may mga partikular na halimbawa
Narito ang isang sistema ng mga equation.
Para sa kaginhawahan, mas mabuting gawin kaagad ang matrix nito
Nalalaman na kapag nag-solve sa pamamagitan ng Gauss method, ang equation na tumutugma sa unang row ay mananatiling hindi magbabago sa pagtatapos ng mga transformation. Samakatuwid, ito ay magiging mas kumikita kung ang itaas na kaliwang elemento ng matrix ay ang pinakamaliit - pagkatapos ay ang mga unang elemento.ang natitirang mga hilera pagkatapos ng mga operasyon ay magiging zero. Nangangahulugan ito na sa pinagsama-samang matrix ay magiging kapaki-pakinabang na ilagay ang pangalawang hanay sa lugar ng una.
Susunod, kailangan mong baguhin ang pangalawa at pangatlong linya para maging zero ang mga unang elemento. Upang gawin ito, idagdag ang mga ito sa una, na i-multiply sa isang coefficient:
pangalawang linya: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
ikatlong linya: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Ngayon, upang hindi malito, kailangan mong magsulat ng isang matrix na may mga intermediate na resulta ng mga pagbabago.
Malinaw, ang ganitong matrix ay maaaring gawing mas nababasa sa tulong ng ilang operasyon. Halimbawa, maaari mong alisin ang lahat ng "minus" mula sa pangalawang linya sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat elemento sa "-1".
Nararapat ding tandaan na sa ikatlong linya ang lahat ng elemento ay multiple ng tatlo. Pagkatapos ay maaari monggupitin ang string sa numerong ito, na i-multiply ang bawat elemento sa "-1/3" (minus - sabay-sabay para maalis ang mga negatibong value).
Mukhang mas maganda. Ngayon kailangan nating iwanan ang unang linya at magtrabaho kasama ang pangalawa at pangatlo. Ang gawain ay idagdag ang pangalawang row sa ikatlong row, na pinarami ng salik na ang elementong a32 ay nagiging zero.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (kung sa ilang pagbabago sa sagot ay naging hindi isang integer, inirerekumenda na iwanan ito "as is", sa anyo ng isang ordinaryong fraction, at pagkatapos lamang, kapag natanggap ang mga sagot, magpasya kung iikot at i-convert sa ibang anyo ng notasyon)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Isinulat muli ang matrix gamit ang mga bagong value.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Tulad ng nakikita mo, ang resultang matrix ay mayroon nang stepped form. Samakatuwid, ang mga karagdagang pagbabago ng sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay hindi kinakailangan. Ang maaaring gawin dito ay alisin ang kabuuang koepisyent na "-1/7" sa ikatlong linya.
Ngayon lahatmaganda. Ang punto ay maliit - isulat muli ang matrix sa anyo ng isang sistema ng mga equation at kalkulahin ang mga ugat
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Ang algorithm kung saan makikita ngayon ang mga ugat ay tinatawag na reverse move sa Gauss method. Ang equation (3) ay naglalaman ng value na z:
z=61/9
Susunod, bumalik sa pangalawang equation:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
At binibigyang-daan ka ng unang equation na mahanap ang x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Mayroon tayong karapatan na tawagan ang naturang sistemang magkasanib, at maging tiyak, iyon ay, pagkakaroon ng natatanging solusyon. Ang sagot ay nakasulat sa sumusunod na anyo:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Halimbawa ng isang hindi tiyak na sistema
Ang variant ng paglutas ng isang partikular na sistema sa pamamagitan ng Gauss method ay nasuri na, ngayon ay kailangang isaalang-alang ang kaso kung ang system ay hindi tiyak, iyon ay, walang hanggan maraming solusyon ang mahahanap para dito.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Ang mismong anyo ng system ay nakakaalarma na, dahil ang bilang ng mga hindi alam ay n=5, at ang ranggo ng system matrix ay eksaktong mas mababa kaysa sa numerong ito, dahil ang bilang ng mga hilera ay m=4, iyon ay, ang pinakamalaking order ng square determinant ay 4. Kaya,Mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon, at dapat nating hanapin ang pangkalahatang anyo nito. Ang Gauss method para sa mga linear equation ay nagbibigay-daan sa iyong gawin ito.
Una, gaya ng dati, pinagsama-sama ang augmented matrix.
Ikalawang linya: coefficient k=(-a21/a11)=-3. Sa ikatlong linya, ang unang elemento ay bago ang mga pagbabagong-anyo, kaya hindi mo kailangang hawakan ang anumang bagay, kailangan mong iwanan ito bilang ito ay. Ikaapat na linya: k=(-a41/a11)=-5
Pag-multiply ng mga elemento ng unang row sa bawat isa sa kanilang mga coefficient at pagdaragdag ng mga ito sa mga kinakailangang row, makakakuha tayo ng matrix ng sumusunod na form:
Tulad ng nakikita mo, ang ikalawa, ikatlo at ikaapat na row ay binubuo ng mga elementong proporsyonal sa isa't isa. Ang pangalawa at pang-apat ay karaniwang pareho, kaya ang isa sa mga ito ay maaaring maalis kaagad, at ang iba ay i-multiply sa koepisyent na "-1" at makakuha ng numero ng linya 3. At muli, mag-iwan ng isa sa dalawang magkaparehong linya.
Ang resulta ay isang matrix. Ang sistema ay hindi pa naisulat, kinakailangan dito upang matukoy ang mga pangunahing variable - nakatayo sa mga coefficient a11=1 at a22=1, at libre - lahat ng iba pa.
Mayroong isang pangunahing variable lamang sa pangalawang equation - x2. Kaya, maaari itong ipahayag mula doon, pagsulat sa pamamagitan ng mga variable na x3, x4, x5, na ay libre.
Palitan ang resultang expression sa unang equation.
Ito ay naging isang equation kung saanang tanging pangunahing variable ay x1. Gawin din natin ito tulad ng sa x2.
Lahat ng pangunahing variable, kung saan mayroong dalawa, ay ipinahayag sa mga tuntunin ng tatlong libre, maaari mo na ngayong isulat ang sagot sa pangkalahatang anyo.
Maaari mo ring tukuyin ang isa sa mga partikular na solusyon ng system. Para sa mga ganitong kaso, bilang panuntunan, ang mga zero ay pinili bilang mga halaga para sa mga libreng variable. Pagkatapos ang sagot ay:
-16, 23, 0, 0, 0.
Isang halimbawa ng hindi tugmang sistema
Solusyon ng mga hindi tugmang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ang pinakamabilis. Ito ay nagtatapos sa sandaling sa isa sa mga yugto ay nakuha ang isang equation na walang solusyon. Iyon ay, ang yugto na may pagkalkula ng mga ugat, na medyo mahaba at nakakapagod, ay nawawala. Ang sumusunod na sistema ay isinasaalang-alang:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Gaya ng dati, ang matrix ay pinagsama-sama:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
At ginawang stepped form:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Pagkatapos ng unang pagbabago, ang ikatlong linya ay naglalaman ng equation ng form
0=7, walang solusyon. Samakatuwid, ang sistemaay hindi pare-pareho, at ang sagot ay ang walang laman na hanay.
Mga kalamangan at kawalan ng pamamaraan
Kung pipiliin mo kung aling paraan ang magresolba ng SLAE sa papel gamit ang panulat, ang paraan na isinasaalang-alang sa artikulong ito ay mukhang pinakakaakit-akit. Sa elementarya na pagbabago, mas mahirap malito kaysa sa mangyayari kung kailangan mong manual na hanapin ang determinant o ilang nakakalito na inverse matrix. Gayunpaman, kung gumagamit ka ng mga programa para sa pagtatrabaho sa data ng ganitong uri, halimbawa, mga spreadsheet, lumalabas na ang mga naturang programa ay naglalaman na ng mga algorithm para sa pagkalkula ng mga pangunahing parameter ng mga matrice - ang determinant, menor de edad, inverse at transposed matrice, at iba pa. At kung sigurado ka na kakalkulahin mismo ng makina ang mga halagang ito at hindi magkakamali, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang pamamaraan ng matrix o mga formula ng Cramer, dahil ang kanilang aplikasyon ay nagsisimula at nagtatapos sa pagkalkula ng mga determinant at inverse matrice.
Application
Dahil ang Gaussian solution ay isang algorithm, at ang matrix ay, sa katunayan, isang two-dimensional array, maaari itong magamit sa programming. Ngunit dahil inilalagay ng artikulo ang sarili bilang isang gabay "para sa mga dummies", dapat sabihin na ang pinakamadaling lugar upang ilagay ang pamamaraan ay mga spreadsheet, halimbawa, Excel. Muli, ang anumang SLAE na ipinasok sa isang talahanayan sa anyo ng isang matrix ay ituturing ng Excel bilang isang two-dimensional na array. At para sa mga operasyon sa kanila, maraming magagandang utos: karagdagan (maaari kang magdagdag lamang ng mga matrice ng parehong laki!), Pagpaparami sa isang numero, pagpaparami ng matrix (kasama rin sailang mga paghihigpit), paghahanap ng inverse at transposed matrice at, pinaka-mahalaga, pagkalkula ng determinant. Kung ang gawaing nakakaubos ng oras na ito ay papalitan ng iisang command, mas mabilis na matukoy ang ranggo ng isang matrix at, samakatuwid, itatag ang compatibility o inconsistency nito.
