Matrices: Gauss method. Pagkalkula ng Gauss Matrix: Mga Halimbawa

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Linear algebra, na itinuturo sa mga unibersidad sa iba't ibang speci alty, ay pinagsasama ang maraming kumplikadong paksa. Ang ilan sa mga ito ay nauugnay sa mga matrice, gayundin sa solusyon ng mga sistema ng mga linear na equation ng Gauss at Gauss-Jordan na pamamaraan. Hindi lahat ng estudyante ay nakakaunawa sa mga paksang ito, mga algorithm para sa paglutas ng iba't ibang problema. Sabay-sabay nating unawain ang mga matrice at pamamaraan ng Gauss at Gauss-Jordan.

Mga pangunahing konsepto

Ang isang matrix sa linear algebra ay isang hugis-parihaba na hanay ng mga elemento (talahanayan). Nasa ibaba ang mga hanay ng mga elemento na nakapaloob sa mga panaklong. Ito ay mga matrice. Mula sa halimbawa sa itaas, makikita na ang mga elemento sa mga parihabang hanay ay hindi lamang mga numero. Ang matrix ay maaaring binubuo ng mga mathematical function, mga algebraic na simbolo.

Upang maunawaan ang ilang konsepto, gumawa tayo ng matrix A mula sa mga elementong a_ij. Ang mga index ay hindi lamang mga titik: ang i ay ang bilang ng row sa talahanayan, at ang j ay ang numero ng column, sa lugar ng intersection kung saan matatagpuan ang elemento.a_ij. Kaya, nakikita natin na mayroon tayong matrix ng mga elemento gaya ng a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ at iba pa. Ang titik n ay tumutukoy sa bilang ng mga column, at ang titik m ay tumutukoy sa bilang ng mga row. Ang simbolo na m × n ay nagsasaad ng dimensyon ng matrix. Ito ang konsepto na tumutukoy sa bilang ng mga row at column sa isang parihabang hanay ng mga elemento.

Opsyonal, ang matrix ay dapat may ilang column at row. Sa dimensyon na 1 × n, ang array ng mga elemento ay single-row, at may dimensyon na m × 1, ito ay isang single-column array. Kapag ang bilang ng mga hilera at ang bilang ng mga haligi ay pantay, ang matrix ay tinatawag na parisukat. Ang bawat square matrix ay may determinant (det A). Ang terminong ito ay tumutukoy sa numerong itinalaga sa matrix A.

Ang ilan pang mahahalagang konsepto na dapat tandaan upang matagumpay na malutas ang mga matrice ay ang pangunahin at pangalawang diagonal. Ang pangunahing dayagonal ng isang matrix ay ang dayagonal na bumababa sa kanang sulok ng talahanayan mula sa kaliwang sulok sa itaas. Ang gilid na dayagonal ay papunta sa kanang sulok pataas mula sa kaliwang sulok mula sa ibaba.

Stepped matrix view

Tingnan ang larawan sa ibaba. Dito makikita mo ang isang matrix at isang diagram. Harapin muna natin ang matrix. Sa linear algebra, ang isang matrix ng ganitong uri ay tinatawag na isang step matrix. Mayroon itong isang property: kung ang a_ij ang unang hindi zero na elemento sa i-th row, ang lahat ng iba pang elemento mula sa matrix sa ibaba at sa kaliwa ng a_ij , ay null (ibig sabihin, lahat ng elementong iyon na maaaring bigyan ng pagtatalaga ng titik a_kl, kung saan ang k>i atl<j).

Ngayon isaalang-alang ang diagram. Sinasalamin nito ang stepped form ng matrix. Ang scheme ay nagpapakita ng 3 uri ng mga cell. Ang bawat uri ay tumutukoy sa ilang partikular na elemento:

• walang laman na mga cell - zero na elemento ng matrix;

Ang

• shaded na mga cell ay mga arbitrary na elemento na maaaring maging zero at hindi zero;

Ang

• itim na parisukat ay mga hindi zero na elemento, na tinatawag na mga elemento ng sulok, "mga hakbang" (sa matrix na ipinapakita sa tabi ng mga ito, ang mga naturang elemento ay ang mga numero -1, 5, 3, 8).

Kapag nag-solve ng mga matrice, minsan ang resulta ay ang "haba" ng hakbang ay higit sa 1. Ito ay pinapayagan. Ang "taas" lamang ng mga hakbang ang mahalaga. Sa isang step matrix, dapat palaging katumbas ng isa ang parameter na ito.

Pagbabawas ng matrix sa step form

Anumang rectangular matrix ay maaaring i-convert sa isang stepped form. Ginagawa ito sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago. Kabilang sa mga ito ang:

• muling pag-aayos ng mga string;
• Pagdaragdag ng isa pang linya sa isang linya, kung kinakailangan na i-multiply sa ilang numero (maaari ka ring magsagawa ng operasyon ng pagbabawas).

Isaalang-alang natin ang mga elementarya na pagbabago sa paglutas ng isang partikular na problema. Ipinapakita ng figure sa ibaba ang matrix A, na kailangang gawing stepped form.

Upang malutas ang problema, susundin namin ang algorithm:

• Maginhawang magsagawa ng mga pagbabago sa isang matrix gamit angang unang elemento sa kaliwang sulok sa itaas (ibig sabihin, ang "nangungunang" elemento) ay 1 o -1. Sa aming kaso, ang unang elemento sa itaas na row ay 2, kaya palitan natin ang una at pangalawang row.
• Magsagawa tayo ng mga pagpapatakbo ng pagbabawas, na nakakaapekto sa mga row 2, 3 at 4. Dapat tayong makakuha ng mga zero sa unang column sa ilalim ng "nangunguna" na elemento. Upang makamit ang resultang ito: mula sa mga elemento ng linya No. 2, sunud-sunod nating ibawas ang mga elemento ng linya No. 1, na pinarami ng 2; mula sa mga elemento ng linya No. 3 ay sunud-sunod nating ibawas ang mga elemento ng linya No. 1, na pinarami ng 4; mula sa mga elemento ng linya No. 4 ay sunud-sunod nating ibawas ang mga elemento ng linya No. 1.
• Susunod, gagawa kami ng pinutol na matrix (walang column 1 at walang row 1). Ang bagong "nangungunang" elemento, na nakatayo sa intersection ng ikalawang hanay at ang pangalawang hilera, ay katumbas ng -1. Hindi na kailangang muling ayusin ang mga linya, kaya't muling isinulat namin ang unang hanay at ang una at pangalawang hanay nang walang pagbabago. Magsagawa tayo ng mga operasyon ng pagbabawas upang makakuha ng mga zero sa pangalawang hanay sa ilalim ng elementong "nangunguna": mula sa mga elemento ng ikatlong linya ay sunud-sunod nating ibawas ang mga elemento ng pangalawang linya, na pinarami ng 3; ibawas ang mga elemento ng pangalawang linya na pinarami ng 2 sa mga elemento ng ikaapat na linya.
• Nananatili itong baguhin ang huling linya. Mula sa mga elemento nito ay sunud-sunod nating binabawasan ang mga elemento ng ikatlong hilera. Kaya, nakakuha kami ng stepped matrix.

Ang pagbabawas ng mga matrice sa isang step form ay ginagamit sa paglutas ng mga sistema ng linear equation (SLE) sa pamamagitan ng Gauss method. Bago tingnan ang paraang ito, unawain natin ang ilan sa mga terminong nauugnay sa SLN.

Mga matrice at system ng mga linear equation

Ang mga matrice ay ginagamit sa iba't ibang agham. Gamit ang mga talahanayan ng mga numero, maaari mong, halimbawa, lutasin ang mga linear na equation na pinagsama sa isang sistema gamit ang Gauss method. Una, kilalanin natin ang ilang termino at ang mga kahulugan ng mga ito, at tingnan din kung paano nabuo ang isang matrix mula sa isang system na pinagsasama ang ilang mga linear na equation.

SLU – ilang pinagsamang algebraic equation na may unang power na hindi alam at walang termino ng produkto.

Solusyon sa SLE – nakahanap ng mga halaga ng mga hindi alam, pinapalitan kung aling mga equation sa system ang nagiging pagkakakilanlan.

Ang magkasanib na SLE ay isang sistema ng mga equation na mayroong kahit isang solusyon.

Inconsistent SLE ay isang sistema ng mga equation na walang mga solusyon.

Paano nabuo ang isang matrix batay sa isang sistema na pinagsasama ang mga linear na equation? Mayroong mga konsepto tulad ng pangunahing at pinahabang matrice ng system. Upang makuha ang pangunahing matrix ng system, kinakailangang ilagay sa talahanayan ang lahat ng mga coefficient para sa mga hindi alam. Ang pinalawak na matrix ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang hanay ng mga libreng termino sa pangunahing matrix (kabilang dito ang mga kilalang elemento kung saan ang bawat equation sa system ay equated). Maiintindihan mo ang buong prosesong ito sa pamamagitan ng pag-aaral sa larawan sa ibaba.

Ang unang bagay na nakikita natin sa larawan ay isang sistema na may kasamang mga linear na equation. Ang mga elemento nito: a_ij – mga numerical coefficient, x_j – hindi kilalang mga halaga, b_i – mga pare-parehong termino (kung saan i=1, 2, …, m, at j=1, 2, …, n). Ang pangalawang elemento sa larawan ay ang pangunahing matrix ng mga coefficient. Mula sa bawat equation, ang mga coefficient ay nakasulat sa isang hilera. Bilang resulta, mayroong kasing daming row sa matrix gaya ng mga equation sa system. Ang bilang ng mga column ay katumbas ng pinakamalaking bilang ng mga coefficient sa anumang equation. Ang ikatlong elemento sa larawan ay isang augmented matrix na may column ng mga libreng termino.

Pangkalahatang impormasyon tungkol sa Gauss method

Sa linear algebra, ang Gauss method ay ang klasikal na paraan ng paglutas ng SLE. Taglay nito ang pangalan ni Carl Friedrich Gauss, na nabuhay noong ika-18-19 na siglo. Ito ang isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon. Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay ang magsagawa ng mga elementarya na pagbabago sa isang sistema ng mga linear algebraic equation. Sa tulong ng mga pagbabagong-anyo, ang SLE ay binabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang triangular (step) na anyo, kung saan makikita ang lahat ng mga variable.

Nararapat tandaan na si Carl Friedrich Gauss ay hindi ang nakatuklas ng klasikal na paraan ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation. Ang pamamaraan ay naimbento nang mas maaga. Ang unang paglalarawan nito ay matatagpuan sa encyclopedia ng kaalaman ng mga sinaunang Chinese mathematician, na tinatawag na "Mathematics in 9 books".

Isang halimbawa ng paglutas ng SLE sa pamamagitan ng Gauss method

Ating isaalang-alang ang solusyon ng mga system sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss sa isang partikular na halimbawa. Makikipagtulungan kami sa SLU na ipinapakita sa larawan.

Algoritmo sa paglutas:

1. Bawasan namin ang system sa isang hakbang na form sa pamamagitan ng direktang paglipat ng pamamaraang Gauss, ngunit unabubuo kami ng pinalawak na matrix ng mga numerical coefficient at libreng miyembro.
2. Upang lutasin ang matrix gamit ang Gaussian method (ibig sabihin, dalhin ito sa stepped form), mula sa mga elemento ng ikalawa at ikatlong row, sunud-sunod nating ibinabawas ang mga elemento ng unang row. Nakukuha namin ang mga zero sa unang column sa ilalim ng "nangungunang" elemento. Susunod, babaguhin namin ang pangalawa at pangatlong linya sa mga lugar para sa kaginhawahan. Sa mga elemento ng huling row, idagdag nang sunud-sunod ang mga elemento ng pangalawang row, na i-multiply sa 3.
3. Bilang resulta ng pagkalkula ng matrix sa pamamaraang Gauss, nakakuha kami ng stepped array ng mga elemento. Batay dito, bubuo kami ng isang bagong sistema ng mga linear na equation. Sa pamamagitan ng baligtad na kurso ng pamamaraang Gauss, nakita namin ang mga halaga ng mga hindi kilalang termino. Makikita mula sa huling linear equation na ang x₃ ay katumbas ng 1. Pinapalitan namin ang value na ito sa pangalawang linya ng system. Makukuha mo ang equation na x₂ – 4=–4. Kasunod nito na ang x₂ ay katumbas ng 0. Palitan ang x₂ at x₃ sa unang equation ng system: x1 _{+ 0 +3=2. Ang hindi kilalang termino ay -1.}

Sagot: gamit ang matrix, ang Gaussian method, natagpuan namin ang mga halaga ng mga hindi alam; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan method

Sa linear algebra mayroon ding isang bagay tulad ng Gauss-Jordan method. Ito ay itinuturing na pagbabago ng Gaussian method at ginagamit upang mahanap ang inverse matrix, kalkulahin ang mga hindi kilalang termino ng mga square system ng algebraic linear equation. Ang pamamaraang Gauss-Jordan ay maginhawa dahil pinapayagan nito ang paglutas ng SLE sa isang hakbang (nang walang paggamit ng direkta at kabaligtarangumagalaw).

Magsimula tayo sa terminong "inverse matrix". Ipagpalagay na mayroon tayong matrix A. Ang kabaligtaran nito ay ang matrix A^-1, habang ang kundisyon ay kinakailangang nasiyahan: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, ibig sabihin, ang produkto ng mga matrice na ito ay katumbas ng identity matrix (ang mga elemento ng pangunahing dayagonal ng identity matrix ay isa, at ang natitirang mga elemento ay zero).}

Isang mahalagang nuance: sa linear algebra mayroong theorem sa pagkakaroon ng inverse matrix. Ang isang sapat at kinakailangang kundisyon para sa pagkakaroon ng matrix A^-1 ay ang matrix A ay nonsingular.

Mga pangunahing hakbang kung saan nakabatay ang pamamaraang Gauss-Jordan:

1. Tingnan ang unang hilera ng isang partikular na matrix. Ang pamamaraang Gauss-Jordan ay maaaring simulan kung ang unang halaga ay hindi katumbas ng zero. Kung ang unang lugar ay 0, pagkatapos ay palitan ang mga row upang ang unang elemento ay may hindi zero na halaga (ito ay kanais-nais na ang numero ay mas malapit sa isa).
2. Hatiin ang lahat ng elemento ng unang row sa unang numero. Magkakaroon ka ng string na magsisimula sa isa.
3. Mula sa pangalawang linya, ibawas ang unang linya na na-multiply sa unang elemento ng pangalawang linya, ibig sabihin, sa huli ay makakakuha ka ng linya na nagsisimula sa zero. Gawin ang parehong para sa natitirang mga linya. Hatiin ang bawat linya sa una nitong hindi zero na elemento upang makakuha ng 1 nang pahilis.
4. Bilang resulta, makukuha mo ang upper triangular matrix gamit ang Gauss - Jordan method. Sa loob nito, ang pangunahing dayagonal ay kinakatawan ng mga yunit. Ang ibabang sulok ay puno ng mga zero, atitaas na sulok - iba't ibang halaga.
5. Mula sa penultimate na linya, ibawas ang huling linya na na-multiply sa kinakailangang coefficient. Dapat kang makakuha ng isang string na may mga zero at isa. Para sa natitirang mga linya, ulitin ang parehong aksyon. Pagkatapos ng lahat ng pagbabago, makukuha ang identity matrix.

Isang halimbawa ng paghahanap ng inverse matrix gamit ang Gauss-Jordan method

Para kalkulahin ang inverse matrix, kailangan mong isulat ang augmented matrix A|E at gawin ang mga kinakailangang pagbabago. Isaalang-alang natin ang isang simpleng halimbawa. Ipinapakita ng figure sa ibaba ang matrix A.

Solusyon:

1. Una, hanapin natin ang matrix determinant gamit ang Gaussian method (det A). Kung ang parameter na ito ay hindi katumbas ng zero, ang matrix ay ituturing na nonsingular. Ito ay magbibigay-daan sa amin na magdesisyon na ang A ay talagang may A^-1. Upang kalkulahin ang determinant, binabago namin ang matrix sa isang sunud-sunod na anyo sa pamamagitan ng mga pagbabagong elementarya. Bilangin natin ang bilang K na katumbas ng bilang ng mga row permutations. 1 beses lang kaming nagpalit ng lines. Kalkulahin natin ang determinant. Ang halaga nito ay magiging katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal, na i-multiply sa (–1)^K. Resulta ng pagkalkula: det A=2.
2. Bumuo ng augmented matrix sa pamamagitan ng pagdaragdag ng identity matrix sa orihinal na matrix. Ang resultang hanay ng mga elemento ay gagamitin upang mahanap ang inverse matrix sa pamamagitan ng Gauss-Jordan method.
3. Ang unang elemento sa unang row ay katumbas ng isa. Nababagay ito sa amin, dahil hindi na kailangang muling ayusin ang mga linya at hatiin ang ibinigay na linya sa ilang numero. Magsimula na tayong magtrabahokasama ang pangalawa at pangatlong linya. Upang gawing 0 ang unang elemento sa pangalawang row, ibawas ang unang row na pinarami ng 3 mula sa pangalawang row. Ibawas ang unang row sa ikatlong row (walang kailangang multiplikasyon).
4. Sa resultang matrix, ang pangalawang elemento ng pangalawang row ay -4, at ang pangalawang elemento ng ikatlong row ay -1. Pagpalitin natin ang mga linya para sa kaginhawahan. Mula sa ikatlong hilera ibawas ang pangalawang hilera na pinarami ng 4. Hatiin ang pangalawang hilera sa -1 at ang ikatlong hilera sa 2. Nakukuha namin ang itaas na tatsulok na matrix.
5. Atin ibawas ang huling linya na pinarami ng 4 mula sa pangalawang linya, at ang huling linya na pinarami ng 5 mula sa unang linya. Susunod, ibawas ang pangalawang linya na pinarami ng 2 mula sa unang linya. Sa kaliwang bahagi nakuha namin ang identity matrix. Sa kanan ay ang inverse matrix.

Isang halimbawa ng paglutas ng SLE sa pamamagitan ng Gauss-Jordan method

Ang figure ay nagpapakita ng isang sistema ng mga linear equation. Kinakailangang hanapin ang mga halaga ng hindi kilalang mga variable gamit ang isang matrix, ang Gauss-Jordan method.

Solusyon:

1. Gumawa tayo ng augmented matrix. Para magawa ito, ilalagay namin ang mga coefficient at libreng termino sa talahanayan.
2. Solve ang matrix gamit ang Gauss-Jordan method. Mula sa linya Blg. 2 ay ibawas natin ang linya Blg. 1. Mula sa linya Blg. 3 ay ibawas natin ang linya Blg. 1, na dating pinarami ng 2.
3. Magpalit ng row 2 at 3.
4. Mula sa linya 3 ibawas ang linya 2 na pinarami ng 2. Hatiin ang resultang ikatlong linya sa –1.
5. Bawasan ang linya 3 sa linya 2.
6. Bawasan ang linya 1 sa linya 12 beses -1. Sa gilid, nakakuha kami ng isang haligi na binubuo ng mga numero 0, 1 at -1. Mula dito, napagpasyahan namin na x₁=0, x₂=1 at x₃ =–1.

Kung gusto mo, maaari mong suriin ang kawastuhan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga kinakalkula na halaga sa mga equation:

• 0 – 1=–1, tama ang unang pagkakakilanlan mula sa system;
• 0 + 1 + (–1)=0, tama ang pangalawang pagkakakilanlan mula sa system;
• 0 – 1 + (–1)=–2, tama ang ikatlong pagkakakilanlan mula sa system.

Konklusyon: gamit ang Gauss-Jordan method, nakita namin ang tamang solusyon sa isang quadratic system na pinagsasama ang linear algebraic equation.

Mga online na calculator

Ang buhay ng mga kabataan ngayon na nag-aaral sa mga unibersidad at nag-aaral ng linear algebra ay lubos na pinasimple. Ilang taon na ang nakalipas, kinailangan naming maghanap ng mga solusyon sa mga system gamit ang Gauss at Gauss-Jordan na pamamaraan nang mag-isa. Ang ilang mga mag-aaral ay matagumpay na nakayanan ang mga gawain, habang ang iba ay nalilito sa solusyon, nagkamali, humingi ng tulong sa mga kaklase. Ngayon, maaari kang gumamit ng mga online na calculator kapag gumagawa ng araling-bahay. Upang malutas ang mga sistema ng mga linear equation, maghanap ng mga inverse matrice, naisulat ang mga programa na nagpapakita hindi lamang ng mga tamang sagot, ngunit nagpapakita rin ng pag-unlad ng paglutas ng isang partikular na problema.

Maraming mapagkukunan sa Internet na may mga built-in na online calculators. Gaussian matrice, mga sistema ng mga equation ay nalutas ng mga programang ito sa loob ng ilang segundo. Kailangan lang tukuyin ng mga mag-aaral ang mga kinakailangang parameter (halimbawa, ang bilang ng mga equation,bilang ng mga variable).