Projection ng puwersa sa axis at sa eroplano. Physics

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Ang

Power ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa physics. Nagdudulot ito ng pagbabago sa estado ng anumang bagay. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin kung ano ang halagang ito, kung anong mga puwersa ang mayroon, at ipapakita din kung paano hanapin ang projection ng puwersa sa axis at sa eroplano.

Kapangyarihan at ang pisikal na kahulugan nito

Sa physics, ang puwersa ay isang vector quantity na nagpapakita ng pagbabago sa momentum ng isang katawan sa bawat unit ng oras. Itinuturing ng kahulugang ito ang puwersa bilang isang dinamikong katangian. Mula sa punto ng view ng statics, ang puwersa sa physics ay isang sukatan ng elastic o plastic deformation ng mga katawan.

Ang internasyonal na sistema ng SI ay nagpapahayag ng puwersa sa newtons (N). Ano ang 1 newton, ang pinakamadaling paraan upang maunawaan ang halimbawa ng pangalawang batas ng klasikal na mekanika. Ang mathematical notation nito ay ang sumusunod:

F¯=ma¯

Narito ang F¯ ay ilang panlabas na puwersa na kumikilos sa isang katawan na may mass m at nagreresulta sa acceleration a¯. Ang quantitative definition ng isang newton ay sumusunod mula sa formula: 1 N ay isang puwersa na humahantong sa isang pagbabago sa bilis ng isang katawan na may mass na 1 kg ng 1 m / s para sa bawat segundo.

Mga halimbawa ng dynamicAng mga pagpapakita ng puwersa ay ang pagbilis ng isang kotse o isang malayang pagbagsak ng katawan sa gravitational field ng lupa.

Ang static na pagpapakita ng puwersa, gaya ng nabanggit, ay nauugnay sa mga deformation phenomena. Ang mga sumusunod na formula ay dapat ibigay dito:

F=PS

F=-kx

Inuugnay ng unang expression ang puwersa F sa pressure P na ginagawa nito sa ilang lugar S. Sa pamamagitan ng formula na ito, ang 1 N ay maaaring tukuyin bilang isang presyon ng 1 pascal na inilapat sa isang lugar na 1 m 2^{. Halimbawa, ang isang hanay ng hangin sa atmospera sa antas ng dagat ay pumipindot sa isang lugar na 1 m}2^{na may lakas na 10}5^N!

Ang pangalawang ekspresyon ay ang klasikal na anyo ng batas ni Hooke. Halimbawa, ang pag-stretch o pag-compress ng spring sa pamamagitan ng linear value na x ay humahantong sa paglitaw ng magkasalungat na puwersa F (sa expression na k ay ang proportionality factor).

Anong mga puwersa ang mayroon

Naipakita na sa itaas na ang mga puwersa ay maaaring maging static at dynamic. Dito sinasabi namin na bilang karagdagan sa tampok na ito, maaari silang maging contact o long-range na pwersa. Halimbawa, ang friction force, support reactions ay mga contact force. Ang dahilan ng kanilang paglitaw ay ang bisa ng prinsipyong Pauli. Ang huli ay nagsasaad na ang dalawang electron ay hindi maaaring sakupin ang parehong estado. Kaya naman ang pagdampi ng dalawang atomo ay humahantong sa kanilang pagtataboy.

Lumalabas ang mga puwersang pangmalayuan bilang resulta ng pakikipag-ugnayan ng mga katawan sa pamamagitan ng isang partikular na field ng carrier. Halimbawa, ganito ang puwersa ng gravity o electromagnetic na pakikipag-ugnayan. Ang parehong kapangyarihan ay may walang katapusang saklaw,gayunpaman, bumababa ang kanilang intensity bilang parisukat ng distansya (mga batas at gravity ng Coulomb).

Ang kapangyarihan ay isang vector quantity

Napag-usapan ang kahulugan ng itinuturing na pisikal na dami, maaari tayong magpatuloy sa pag-aaral ng isyu ng force projection sa axis. Una sa lahat, tandaan namin na ang dami na ito ay isang vector, iyon ay, ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang module at direksyon. Ipapakita namin kung paano kalkulahin ang force modulus at ang direksyon nito.

Alam na ang anumang vector ay maaaring tukuyin nang natatangi sa isang ibinigay na sistema ng coordinate kung ang mga halaga ng mga coordinate ng simula at pagtatapos nito ay kilala. Ipagpalagay na mayroong ilang nakadirekta na segment na MN¯. Pagkatapos ay matutukoy ang direksyon at module nito gamit ang mga sumusunod na expression:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Dito, ang mga coordinate na may mga indeks 2 ay tumutugma sa punto N, ang mga may mga indeks na 1 ay tumutugma sa puntong M. Ang vector MN¯ ay nakadirekta mula M hanggang N.

Para sa kapakanan ng pangkalahatan, ipinakita namin kung paano hanapin ang modulus at mga coordinate (direksyon) ng isang vector sa three-dimensional na espasyo. Ang mga katulad na formula na walang ikatlong coordinate ay may bisa para sa kaso sa eroplano.

Kaya, ang modulus ng puwersa ay ang ganap na halaga nito, na ipinahayag sa mga newton. Mula sa punto ng view ng geometry, ang modulus ay ang haba ng nakadirekta na segment.

Ano ang projection ng puwersa saaxis?

Pinakamaginhawang pag-usapan ang tungkol sa mga projection ng nakadirekta na mga segment sa mga coordinate axes at eroplano kung una mong ilalagay ang kaukulang vector sa pinanggalingan, iyon ay, sa punto (0; 0; 0). Ipagpalagay na mayroon tayong ilang force vector F¯. Ilagay natin ang simula nito sa punto (0; 0; 0), pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Ang

Vector F¯ ay nagpapakita ng direksyon ng puwersa sa espasyo sa ibinigay na coordinate system. Ngayon, gumuhit tayo ng mga perpendikular na segment mula sa dulo ng F¯ sa bawat isa sa mga axes. Ang distansya mula sa punto ng intersection ng patayo na may kaukulang axis hanggang sa pinagmulan ay tinatawag na projection ng puwersa sa axis. Hindi mahirap hulaan na sa kaso ng puwersa F¯, ang mga projection nito sa x, y at z axes ay magiging x₁, y_{1at z 1}, ayon sa pagkakabanggit. Tandaan na ang mga coordinate na ito ay nagpapakita ng mga module ng force projection (ang haba ng mga segment).

Anggulo sa pagitan ng puwersa at mga projection nito sa mga coordinate axes

Ang pagkalkula ng mga anggulong ito ay hindi mahirap. Ang kailangan lang para malutas ito ay kaalaman sa mga katangian ng trigonometriko function at ang kakayahang ilapat ang Pythagorean theorem.

Halimbawa, tukuyin natin ang anggulo sa pagitan ng direksyon ng puwersa at projection nito sa x-axis. Ang katumbas na right triangle ay mabubuo ng hypotenuse (vector F¯) at leg (segment x₁). Ang pangalawang binti ay ang distansya mula sa dulo ng vector F¯ hanggang sa x-axis. Ang anggulong α sa pagitan ng F¯ at ng x-axis ay kinakalkula ng formula:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

Tulad ng nakikita mo, upang matukoy ang anggulo sa pagitan ng axis at ng vector, kinakailangan at sapat na malaman ang mga coordinate ng dulo ng nakadirekta na segment.

Para sa mga anggulo na may iba pang mga axes (y at z), maaari kang sumulat ng mga katulad na expression:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Tandaan na sa lahat ng mga formula ay may mga module sa mga numerator, na nag-aalis ng hitsura ng mga obtuse na sulok. Sa pagitan ng puwersa at mga axial projection nito, ang mga anggulo ay palaging mas mababa o katumbas ng 90^o.

Force at ang mga projection nito sa coordinate plane

Ang kahulugan ng force projection papunta sa eroplano ay kapareho ng para sa axis, tanging sa kasong ito ang patayo ay hindi dapat ibaba sa axis, ngunit sa eroplano.

Sa kaso ng spatial rectangular coordinate system, mayroon kaming tatlong magkaparehong perpendicular na eroplano xy (horizontal), yz (frontal vertical), xz (lateral vertical). Ang mga punto ng intersection ng mga perpendicular na ibinaba mula sa dulo ng vector patungo sa pinangalanang mga eroplano ay:

(x₁; y₁; 0) para sa xy;

(x₁; 0; z₁) para sa xz;

(0; y₁; z₁) para kay zy.

Kung ang bawat isa sa mga minarkahang punto ay konektado sa pinanggalingan, pagkatapos ay makukuha natin ang projection ng puwersa F¯ papunta sa kaukulang eroplano. Ano ang modulus ng puwersa, alam natin. Upang mahanap ang modulus ng bawat projection, kailangan mong ilapat ang Pythagorean theorem. Tukuyin natin ang mga projection sa eroplano bilang F_xy, F_xz at F_zy. Pagkatapos ang mga pagkakapantay-pantay ay magiging wasto para sa kanilang mga module:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Anggulo sa pagitan ng mga projection papunta sa eroplano at force vector

Sa talata sa itaas, ibinigay ang mga formula para sa mga module ng projection papunta sa eroplano ng itinuturing na vector F¯. Ang mga projection na ito, kasama ang segment na F¯ at ang distansya mula sa dulo nito hanggang sa eroplano, ay bumubuo ng mga right-angled triangles. Samakatuwid, tulad ng sa kaso ng mga projection sa axis, maaari mong gamitin ang kahulugan ng trigonometriko function upang kalkulahin ang mga anggulo na pinag-uusapan. Maaari mong isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Mahalagang maunawaan na ang anggulo sa pagitan ng direksyon ng puwersa F¯ at ang katumbas na projection nito sa eroplano ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng F¯ at ng eroplanong ito. Kung isasaalang-alang natin ang problemang ito mula sa punto ng view ng geometry, maaari nating sabihin na ang nakadirekta na segment na F¯ ay nakakiling sa mga eroplanong xy, xz at zy.

Saan ginagamit ang mga force projection?

Ang mga formula sa itaas para sa mga force projection sa mga coordinate axes at sa eroplano ay hindi lamang sa teoretikal na interes. Madalas itong ginagamit sa paglutas ng mga pisikal na problema. Ang mismong proseso ng paghahanap ng mga projection ay tinatawag na decomposition ng puwersa sa mga bahagi nito. Ang huli ay mga vector, ang kabuuan nito ay dapat magbigay ng orihinal na vector ng puwersa. Sa pangkalahatang kaso, posibleng i-decompose ang puwersa sa mga di-makatwirang bahagi, gayunpaman, para sa paglutas ng mga problema, maginhawang gumamit ng mga projection sa mga patayong ax at eroplano.

Mga problema kung saan inilalapat ang konsepto ng force projection ay maaaring ibang-iba. Halimbawa, ipinapalagay ng parehong pangalawang batas ng Newton na ang panlabas na puwersa na kumikilos sa katawan ay dapat idirekta sa parehong paraan tulad ng bilis ng vector v. Kung ang kanilang mga direksyon ay naiiba sa ilang anggulo, kung gayon, upang ang pagkakapantay-pantay ay manatiling wasto, ang isa ay dapat na palitan dito hindi ang puwersa F¯ mismo, ngunit ang projection nito sa direksyon v¯.

Susunod, magbibigay kami ng ilang halimbawa, kung saan ipapakita namin kung paano gamitin ang naitalamga formula.

Ang gawain ng pagtukoy ng mga force projection sa eroplano at sa mga coordinate axes

Ipagpalagay na mayroong ilang puwersa F¯, na kinakatawan ng isang vector na mayroong sumusunod na dulo at simulang mga coordinate:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Kinakailangan upang matukoy ang modulus ng puwersa, gayundin ang lahat ng projection nito sa mga coordinate axes at eroplano, at ang mga anggulo sa pagitan ng F¯ at ng bawat projection nito.

Simulan nating lutasin ang problema sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga coordinate ng vector F¯. Mayroon kaming:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Kung gayon ang modulus ng puwersa ay magiging:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Projections papunta sa coordinate axes ay katumbas ng kaukulang coordinate ng vector F¯. Kalkulahin natin ang mga anggulo sa pagitan nila at ng direksyon ng F. Mayroon kaming:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Dahil alam ang mga coordinate ng vector F¯, posibleng kalkulahin ang mga module ng force projection sa coordinate plane. Gamit ang mga formula sa itaas, makakakuha tayo ng:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Sa wakas, nananatili pa ring kalkulahin ang mga anggulo sa pagitan ng mga nakitang projection sa eroplano at ng force vector. Mayroon kaming:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Kaya, ang vector F¯ ay pinakamalapit sa xy coordinate plane.

Problema sa isang sliding bar sa isang inclined plane

Ngayon, lutasin natin ang isang pisikal na problema kung saan kakailanganing ilapat ang konsepto ng force projection. Hayaang magbigay ng isang kahoy na hilig na eroplano. Ang anggulo ng pagkahilig nito sa abot-tanaw ay 45^o. Sa eroplano ay isang kahoy na bloke na may bigat na 3 kg. Kinakailangang matukoy kung anong acceleration ang lilipat ng bar na ito pababa ng eroplano kung alam na ang coefficient ng sliding friction ay 0.7.

Una, gawin natin ang equation ng paggalaw ng katawan. Dahil dalawang puwersa lamang ang kikilos dito (ang projection ng gravity sa isang eroplano at ang friction force), ang equation ay magkakaroon ng anyong:

F_g- F_f=ma=>

a=(F_g- F_f)/m.

Dito ang F_g, F_f ay ang projection ng gravity at friction, ayon sa pagkakabanggit. Ibig sabihin, ang gawain ay binabawasan sa pagkalkula ng kanilang mga halaga.

Dahil ang anggulo kung saan nakahilig ang eroplano sa abot-tanaw ay 45^o, madaling ipakita na ang projection ng gravity F_gsa ibabaw ng eroplano ay magiging katumbas ng:

F_g=mgsin(45^o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.

Ang force projection na ito ay naglalayong mabalisakahoy na bloke at bigyan ito ng acceleration.

Ayon sa kahulugan, ang puwersa ng sliding friction ay:

F_f=ΜN

Where Μ=0, 7 (tingnan ang kondisyon ng problema). Ang puwersa ng reaksyon ng suportang N ay katumbas ng projection ng puwersa ng grabidad sa axis na patayo sa inclined plane, iyon ay:

N=mgcos(45^o)

Kung gayon ang friction force ay:

F_f=Μmgcos(45^o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.

I-substitute ang mga natagpuang pwersa sa equation ng paggalaw, makuha natin ang:

a=(F_g- F_f)/m=(20.81 - 14.57)/3=2.08 m/ c².

Kaya, bababa ang block sa inclined plane, tataas ang bilis nito ng 2.08 m/s bawat segundo.