Ang tatsulok ay isang polygon na may tatlong gilid (tatlong sulok). Kadalasan, ang mga gilid ay tinutukoy ng maliliit na titik, na tumutugma sa mga malalaking titik na nagpapahiwatig ng kabaligtaran ng mga vertices. Sa artikulong ito, makikilala natin ang mga uri ng mga geometric na hugis na ito, ang theorem na tumutukoy kung ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok.
Mga view ayon sa mga anggulo
Ang mga sumusunod na uri ng polygon na may tatlong vertices ay nakikilala:
- acute-angled, kung saan matalim ang lahat ng sulok;
- parihaba, may isang tamang anggulo, habang ang mga gilid na bumubuo dito ay tinatawag na mga binti, at ang gilid na nakalagay sa tapat ng kanang anggulo ay tinatawag na hypotenuse;
- mahina kapag ang isang sulok ay malabo;
- isosceles, kung saan magkapantay ang dalawang panig, at tinatawag silang lateral, at ang pangatlo ay ang base ng tatsulok;
- equilateral, na mayroong tatlong magkapantay na panig.
Properties
Hina-highlight nila ang mga pangunahing katangian na katangian ng bawat uri ng tatsulok:
- sa tapat ng mas malaking bahagi ay palaging may mas malaking anggulo, at vice versa;
- magkatapat na gilid ng magkaparehong laki ay magkapantay na anggulo, at kabaliktaran;
- anumang tatsulok ay may dalawang matinding anggulo;
- isang sulok sa labas ay mas malaki kaysa sa alinmang sulok sa loob na hindi katabi nito;
- ang kabuuan ng alinmang dalawang anggulo ay palaging mas mababa sa 180 degrees;
- panlabas na sulok ay katumbas ng kabuuan ng iba pang dalawang sulok na hindi nagsalubong dito.
Triangle sum of angles theorem
Ang theorem ay nagsasaad na kung susumahin mo ang lahat ng mga anggulo ng isang ibinigay na geometric figure, na matatagpuan sa Euclidean plane, ang kanilang kabuuan ay magiging 180 degrees. Subukan nating patunayan ang theorem na ito.
Magkaroon tayo ng arbitrary triangle na may vertices ng KMN.
Sa pamamagitan ng vertex M gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa tuwid na linya na KN (tinatawag din itong linyang ito na Euclidean straight line). Minarkahan namin ang punto A dito sa paraang ang mga puntong K at A ay matatagpuan sa magkaibang panig ng tuwid na linya MN. Nakukuha namin ang pantay na mga anggulo na AMN at KNM, na, tulad ng mga panloob, ay nakahiga sa crosswise at nabuo ng secant MN kasama ng mga tuwid na linya na KN at MA, na parallel. Mula dito sumusunod na ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok na matatagpuan sa mga vertices M at H ay katumbas ng laki ng anggulong KMA. Ang lahat ng tatlong anggulo ay bumubuo sa kabuuan, na katumbas ng kabuuan ng mga anggulo na KMA at MKN. Dahil ang mga anggulong ito ay panloob na isang panig na may paggalang saparallel straight lines KN at MA na may secant KM, ang kanilang kabuuan ay 180 degrees. Napatunayan ang teorama.
Konsekuwensya
Ang sumusunod na corollary ay sumusunod mula sa theorem na pinatunayan sa itaas: anumang tatsulok ay may dalawang acute na anggulo. Upang patunayan ito, ipagpalagay natin na ang isang ibinigay na geometric na pigura ay may isang matinding anggulo lamang. Maaari ding ipagpalagay na wala sa mga anggulo ang talamak. Sa kasong ito, dapat mayroong hindi bababa sa dalawang anggulo na katumbas o higit sa 90 degrees. Ngunit pagkatapos ay ang kabuuan ng mga anggulo ay mas malaki kaysa sa 180 degrees. Ngunit hindi ito maaaring mangyari, dahil ayon sa teorama, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180 ° - hindi hihigit at hindi bababa. Ito ang kailangang patunayan.
Property sa sulok sa labas
Ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok na panlabas? Ang tanong na ito ay masasagot sa isa sa dalawang paraan. Ang una ay kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng mga anggulo, na kinukuha ng isa sa bawat tuktok, iyon ay, tatlong anggulo. Ang pangalawa ay nagpapahiwatig na kailangan mong hanapin ang kabuuan ng lahat ng anim na anggulo sa vertices. Una, harapin natin ang unang pagpipilian. Kaya, ang tatsulok ay naglalaman ng anim na panlabas na sulok - dalawa sa bawat vertex.
May pantay na anggulo ang bawat pares dahil patayo ang mga ito:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Bukod dito, alam na ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng dalawang panloob na anggulo na hindi nagsasalubong dito. Samakatuwid, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Mula dito lumalabas na ang kabuuan ng panlabasang mga sulok, na kinukuha ng isa sa bawat vertex, ay magiging katumbas ng:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Dahil ang kabuuan ng mga anggulo ay 180 degrees, maaari itong pagtalunan na ∟A + ∟B + ∟C=180°. At nangangahulugan ito na ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Kung ang pangalawang opsyon ay ginamit, ang kabuuan ng anim na anggulo ay, ayon sa pagkakabanggit, dalawang beses na mas malaki. Ibig sabihin, ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng tatsulok ay magiging:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Kanang tatsulok
Ano ang kabuuan ng mga acute angle ng right triangle? Ang sagot sa tanong na ito, muli, ay sumusunod mula sa teorama, na nagsasaad na ang mga anggulo sa isang tatsulok ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees. At ang aming pahayag (pag-aari) ay parang ganito: sa isang tamang tatsulok, ang mga talamak na anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 90 degrees. Patunayan natin ang katotohanan nito.
Bigyan tayo ng tatsulok na KMN, kung saan ∟Н=90°. Kinakailangang patunayan na ∟K + ∟M=90°.
Kaya, ayon sa angle sum theorem ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Sinasabi ng aming kondisyon na ∟Н=90°. Kaya lumalabas, ∟K + ∟M + 90°=180°. Ibig sabihin, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Iyan ang kailangan naming patunayan.
Bilang karagdagan sa mga katangian sa itaas ng right triangle, maaari mong idagdag ang sumusunod:
- matalim ang mga anggulo na nakaharap sa mga binti;
- ang hypotenuse ay tatsulok na higit sa alinman sa mga binti;
- ang kabuuan ng mga binti ay mas malaki kaysa sa hypotenuse;
- bintiang isang tatsulok na nasa tapat ng isang anggulo na 30 degrees ay kalahati ng hypotenuse, ibig sabihin, katumbas ng kalahati nito.
Bilang isa pang katangian ng geometric figure na ito, ang Pythagorean theorem ay maaaring makilala. Sinabi niya na sa isang tatsulok na may anggulong 90 degrees (parihaba), ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse.
Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang isosceles triangle
Nauna naming sinabi na ang isosceles ay isang polygon na may tatlong vertices, na naglalaman ng dalawang magkapantay na gilid. Ang pag-aari na ito ng isang ibinigay na geometric figure ay kilala: ang mga anggulo sa base nito ay pantay. Patunayan natin.
Kunin ang tatsulok na KMN, na isosceles, KN ang base nito.
Kailangan nating patunayan na ∟К=∟Н. Kaya, sabihin natin na ang MA ay ang bisector ng ating tatsulok na KMN. Ang tatsulok ng MCA, na isinasaalang-alang ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay, ay katumbas ng tatsulok ng MCA. Ibig sabihin, sa pamamagitan ng kundisyon ay ibinibigay na ang KM=NM, MA ay isang karaniwang panig, ∟1=∟2, dahil ang MA ay isang bisector. Gamit ang katotohanan na ang dalawang tatsulok na ito ay pantay, maaari nating sabihin na ∟K=∟Н. Kaya napatunayan ang theorem.
Ngunit kami ay interesado sa kung ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok (isosceles). Dahil sa paggalang na ito ay wala itong sariling mga kakaiba, magsisimula tayo mula sa teorama na isinasaalang-alang nang mas maaga. Ibig sabihin, masasabi natin na ∟K + ∟M + ∟H=180°, o 2 x ∟K + ∟M=180° (dahil ∟K=∟H). Hindi namin papatunayan ang property na ito, dahil ang triangle sum theorem mismo ay napatunayan nang mas maaga.
Maliban sa tinalakaymga katangian tungkol sa mga anggulo ng isang tatsulok, mayroon ding mga mahahalagang pahayag:
- sa isang isosceles triangle, ang taas na ibinaba sa base ay parehong median, ang bisector ng anggulo na nasa pagitan ng magkapantay na gilid, pati na rin ang axis ng symmetry ng base nito;
- medians (bisectors, heights) na iginuhit sa mga gilid ng naturang geometric figure ay pantay.
Equilateral triangle
Tinatawag din itong tama, ito ang tatsulok na pantay ang lahat ng panig. Samakatuwid, ang mga anggulo ay pantay din. Ang bawat isa ay 60 degrees. Patunayan natin ang property na ito.
Ipagpalagay na mayroon tayong tatsulok na KMN. Alam natin na KM=NM=KN. At nangangahulugan ito na ayon sa pag-aari ng mga anggulo na matatagpuan sa base sa isang isosceles triangle, ∟К=∟М=∟Н. Dahil, ayon sa theorem, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay ∟К + ∟М + ∟Н=180°, pagkatapos ay 3 x ∟К=180° o ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Kaya, napatunayan ang pahayag.
Tulad ng makikita mo mula sa itaas na patunay batay sa theorem, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang equilateral triangle, tulad ng kabuuan ng mga anggulo ng anumang iba pang tatsulok, ay 180 degrees. Hindi na kailangang patunayan muli ang theorem na ito.
Mayroon ding mga katangiang katangian ng isang equilateral triangle:
- median, bisector, taas sa naturang geometric figure ay pareho, at ang kanilang haba ay kinakalkula bilang (a x √3): 2;
- kung ilalarawan mo ang isang bilog sa paligid ng isang partikular na polygon, ang radius nito ay magigingkatumbas ng (a x √3): 3;
- kung ilalagay mo ang isang bilog sa isang equilateral triangle, ang radius nito ay magiging (a x √3): 6;
- ang lugar ng geometric figure na ito ay kinakalkula ng formula: (a2 x √3): 4.
Obt-angled triangle
Ayon sa kahulugan ng obtuse triangle, ang isa sa mga anggulo nito ay nasa pagitan ng 90 at 180 degrees. Ngunit dahil ang iba pang dalawang anggulo ng geometric figure na ito ay talamak, maaari nating tapusin na hindi sila lalampas sa 90 degrees. Samakatuwid, gumagana ang tatsulok na kabuuan ng theorem ng mga anggulo kapag kinakalkula ang kabuuan ng mga anggulo sa isang mahinang tatsulok. Lumalabas na ligtas nating masasabi, batay sa nabanggit na teorama, na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang obtuse triangle ay 180 degrees. Muli, ang theorem na ito ay hindi kailangang muling patunayan.
