Pythagorean theorem: ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga legs squared

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Alam ng bawat mag-aaral na ang parisukat ng hypotenuse ay palaging katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat. Ang pahayag na ito ay tinatawag na Pythagorean theorem. Ito ay isa sa mga pinakatanyag na teorema sa trigonometrya at matematika sa pangkalahatan. Isaalang-alang ito nang mas detalyado.

Ang konsepto ng right triangle

Bago magpatuloy upang isaalang-alang ang Pythagorean theorem, kung saan ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti na naka-squad, dapat nating isaalang-alang ang konsepto at katangian ng isang right-angled triangle, kung saan ang theorem ay may bisa.

Ang

Triangle ay isang flat figure na may tatlong anggulo at tatlong gilid. Ang tamang tatsulok, gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan nito, ay may isang tamang anggulo, ibig sabihin, ang anggulong ito ay 90o.

Mula sa mga pangkalahatang katangian para sa lahat ng tatsulok, alam na ang kabuuan ng lahat ng tatlong anggulo ng figure na ito ay 180^o, na nangangahulugang para sa isang tamang tatsulok ang kabuuan ng dalawang anggulo na hindi tama, ay 180^o -90^o=90^o. Ang huling katotohanan ay nangangahulugan na ang anumang anggulo sa tamang tatsulok na hindi tamang anggulo ay palaging mas mababa sa 90^o.

Ang panig na nasa tapat ng kanang anggulo ay tinatawag na hypotenuse. Ang iba pang dalawang panig ay ang mga binti ng tatsulok, maaari silang pantay-pantay sa bawat isa, o maaari silang magkaiba. Ito ay kilala mula sa trigonometry na mas malaki ang anggulo kung saan ang isang gilid ay namamalagi sa isang tatsulok, mas malaki ang haba ng panig na ito. Nangangahulugan ito na sa isang tamang tatsulok ang hypotenuse (nakahiga sa tapat ng anggulo 90^o) ay palaging mas malaki kaysa sa alinman sa mga binti (nakahiga sa tapat ng mga anggulo < 90^o).

Mathematical notation ng Pythagorean theorem

Ang theorem na ito ay nagsasabi na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay dating parisukat. Para mathematically isulat ang formulation na ito, isaalang-alang ang isang right triangle kung saan ang mga gilid a, b, at c ay ang dalawang paa at hypotenuse, ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, ang theorem, na nakasaad bilang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, ay maaaring katawanin ng sumusunod na formula: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Mula dito, maaaring makuha ang iba pang mga formula na mahalaga para sa pagsasanay: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) at c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Tandaan na sa kaso ng isang right-angled equilateral triangle, iyon ay, a=b, ang formulation: ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa aysquared, mathematically written as: c²=a² + b²=2a ^{2, na nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay: c=a√2.}

Makasaysayang background

Ang Pythagorean theorem, na nagsasabing ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat, ay kilala na bago pa ito binigyang pansin ng sikat na pilosopong Griyego. Maraming papiro ng sinaunang Ehipto, gayundin ang mga tapyas na luwad ng mga Babylonians, ang nagpapatunay na ginamit ng mga taong ito ang kilalang pag-aari ng mga gilid ng isang right triangle. Halimbawa, ang isa sa mga unang Egyptian pyramids, ang Pyramid of Khafre, na ang pagtatayo ay itinayo noong ika-26 na siglo BC (2000 taon bago ang buhay ni Pythagoras), ay itinayo batay sa kaalaman sa aspect ratio sa isang 3x4x5 right triangle.

Bakit ngayon ang theorem ay ipinangalan sa isang Griyego? Ang sagot ay simple: Si Pythagoras ang unang nagpatunay ng teorem na ito sa matematika. Binanggit lamang ng mga nakaligtas na mga akda ng Babylonian at Egyptian ang paggamit nito, ngunit hindi nagbibigay ng anumang mathematical proof.

Ito ay pinaniniwalaan na pinatunayan ni Pythagoras ang theorem na isinasaalang-alang sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian ng magkatulad na mga tatsulok, na nakuha niya sa pamamagitan ng pagguhit ng taas sa isang right triangle mula sa anggulong 90o hanggang ang hypotenuse.

Isang halimbawa ng paggamit ng Pythagorean theorem

Isaalang-alang ang isang simpleng problema: kinakailangan upang matukoy ang haba ng isang hilig na hagdanan L, kung alam na ito ay may taas H=3metro, at ang distansya mula sa dingding kung saan nakapatong ang hagdan hanggang sa paa nito ay P=2.5 metro.

Sa kasong ito, ang H at P ay ang mga binti, at ang L ay ang hypotenuse. Dahil ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, nakukuha natin ang: L²=H² + P 2^{, saan ang L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 metro o 3 metro at 90.5 cm.}