Sa paghusga sa kasikatan ng kahilingang "Fermat's theorem - isang maikling patunay", ang problemang ito sa matematika ay talagang interesado sa marami. Ang theorem na ito ay unang sinabi ni Pierre de Fermat noong 1637 sa gilid ng isang kopya ng Arithmetic, kung saan inaangkin niya na mayroon siyang solusyon na masyadong malaki upang magkasya sa gilid.
Ang unang matagumpay na patunay ay nai-publish noong 1995 - ito ang kumpletong patunay ng Fermat's Theorem ni Andrew Wiles. Ito ay inilarawan bilang "nakakagulat na pag-unlad" at pinangunahan si Wiles na tumanggap ng Abel Prize noong 2016. Bagama't inilarawan nang medyo maikli, ang patunay ng teorama ni Fermat ay nagpatunay din ng marami sa modularity theorem at nagbukas ng mga bagong diskarte sa maraming iba pang mga problema at epektibong pamamaraan para sa pag-angat ng modularity. Ang mga tagumpay na ito ay may advanced na matematika 100 taon sa hinaharap. Ang patunay ng maliit na teorama ni Fermat ngayon ay hindiay isang bagay na kakaiba.
Ang hindi nalutas na problema ay nagpasigla sa pagbuo ng algebraic number theory noong ika-19 na siglo at ang paghahanap ng patunay ng modularity theorem noong ika-20 siglo. Ito ay isa sa mga pinaka-kilalang theorems sa kasaysayan ng matematika, at hanggang sa ang buong dibisyon na patunay ng Fermat's Last Theorem, ito ay nasa Guinness Book of Records bilang "ang pinakamahirap na problema sa matematika", isa sa mga tampok nito ay iyon. ito ang may pinakamalaking bilang ng mga hindi matagumpay na patunay.
Makasaysayang background
Pythagorean equation x2 + y2=z2 ay may walang katapusang bilang ng positibo mga integer na solusyon para sa x, y at z. Ang mga solusyong ito ay kilala bilang Pythagorean trinities. Noong 1637, isinulat ni Fermat sa gilid ng aklat na ang mas pangkalahatang equation na a + b =cay walang mga solusyon sa natural na mga numero kung ang n ay isang integer na mas malaki sa 2. Bagama't si Fermat mismo ay nag-claim na may solusyon sa kanyang problema, hindi siya nag-iwan ng anumang mga detalye tungkol sa patunay nito. Ang elementarya na patunay ng teorama ni Fermat, na inaangkin ng lumikha nito, ay sa halip ay ang kanyang mapagmataas na imbensyon. Ang aklat ng mahusay na Pranses na matematiko ay natuklasan 30 taon pagkatapos ng kanyang kamatayan. Ang equation na ito, na tinatawag na Fermat's Last Theorem, ay nanatiling hindi nalutas sa matematika sa loob ng tatlo at kalahating siglo.
Ang theorem ay naging isa sa pinakakilalang hindi nalutas na mga problema sa matematika. Ang mga pagtatangka na patunayan ito ay nagdulot ng makabuluhang pag-unlad ng teorya ng numero, at kasama ang sipipanahon, ang huling teorama ni Fermat ay naging kilala bilang isang hindi nalutas na problema sa matematika.
Isang Maikling Kasaysayan ng Katibayan
Kung n=4, tulad ng pinatunayan mismo ni Fermat, sapat na upang patunayan ang theorem para sa mga indeks n na mga prime number. Sa susunod na dalawang siglo (1637-1839) ang haka-haka ay napatunayan lamang para sa mga primes 3, 5 at 7, bagaman si Sophie Germain ay nag-update at nagpatunay ng isang diskarte na nalalapat sa buong klase ng mga prima. Noong kalagitnaan ng ika-19 na siglo, pinalawak ito ni Ernst Kummer at pinatunayan ang teorama para sa lahat ng regular na prime, kung saan ang mga hindi regular na prime ay indibidwal na nasuri. Batay sa trabaho ni Kummer at paggamit ng sopistikadong pagsasaliksik sa computer, nagawa ng ibang mga mathematician na palawigin ang solusyon ng theorem, na may layuning masakop ang lahat ng pangunahing exponents hanggang apat na milyon, ngunit ang patunay para sa lahat ng exponents ay hindi pa rin magagamit (ibig sabihin, ang mga mathematician karaniwang itinuturing na imposible ang solusyon ng theorem, lubhang mahirap, o hindi matamo sa kasalukuyang kaalaman).
Ang gawa nina Shimura at Taniyama
Noong 1955, hinala ng Japanese mathematician na sina Goro Shimura at Yutaka Taniyama na may koneksyon sa pagitan ng elliptic curve at modular forms, dalawang magkaibang sangay ng matematika. Kilala noong panahong iyon bilang ang Taniyama-Shimura-Weyl na haka-haka at (sa huli) bilang ang modularity theorem, ito ay umiral sa sarili nitong, na walang maliwanag na koneksyon sa huling teorama ni Fermat. Ito mismo ay malawak na itinuturing bilang isang mahalagang teorama sa matematika, ngunit ito ay itinuturing (tulad ng teorama ni Fermat) na imposibleng patunayan. Sa ganyanKasabay nito, ang patunay ng Fermat's Last Theorem (sa pamamagitan ng paghahati at paglalapat ng mga kumplikadong mathematical formula) ay natupad lamang makalipas ang kalahating siglo.
Noong 1984, napansin ni Gerhard Frey ang isang malinaw na koneksyon sa pagitan ng dalawang dating walang kaugnayan at hindi nalutas na mga problema. Isang kumpletong kumpirmasyon na ang dalawang theorems ay malapit na nauugnay ay inilathala noong 1986 ni Ken Ribet, na batay sa isang bahagyang patunay ni Jean-Pierre Serra, na nagpatunay sa lahat maliban sa isang bahagi, na kilala bilang "epsilon hypothesis". Sa madaling salita, ipinakita ng mga gawang ito nina Frey, Serra, at Ribe na kung mapapatunayan ang modularity theorem, kahit man lang para sa isang semistable na klase ng elliptic curves, kung gayon ang patunay ng huling theorem ni Fermat ay matutuklasan din sa malao't madali. Anumang solusyon na maaaring sumalungat sa huling teorama ni Fermat ay maaari ding gamitin upang sumalungat sa modularity theorem. Samakatuwid, kung ang modularity theorem ay naging totoo, kung gayon sa kahulugan ay hindi maaaring magkaroon ng solusyon na sumasalungat sa huling theorem ni Fermat, na nangangahulugan na dapat itong napatunayan sa lalong madaling panahon.
Bagaman ang parehong theorems ay mahirap na problema sa matematika, na itinuturing na hindi malulutas, ang gawain ng dalawang Japanese ang unang mungkahi kung paano mapalawak at mapatunayan ang huling theorem ni Fermat para sa lahat ng numero, hindi lamang sa ilan. Mahalaga para sa mga mananaliksik na pumili ng paksa ng pag-aaral ay ang katotohanan na, sa kaibahan sa huling teorama ni Fermat, ang modularity theorem ay ang pangunahing aktibong lugar ng pananaliksik, kung saanang ebidensya ay binuo, at hindi lamang makasaysayang kakaiba, kaya ang oras na ginugol sa kanyang trabaho ay maaaring makatwiran mula sa isang propesyonal na pananaw. Gayunpaman, ang pangkalahatang pinagkasunduan ay ang paglutas sa haka-haka ng Taniyama-Shimura ay napatunayang hindi naaangkop.
Farm's Last Theorem: Wiles' proof
Nalaman na napatunayan ni Ribet na tama ang teorya ni Frey, ang English mathematician na si Andrew Wiles, na naging interesado sa Fermat's Last Theorem mula pagkabata at may karanasan sa pagtatrabaho sa mga elliptic curve at katabing domain, ay nagpasya na subukang patunayan ang Taniyama-Shimura Ang haka-haka bilang isang paraan upang patunayan ang Huling Teorama ni Fermat. Noong 1993, anim na taon pagkatapos ipahayag ang kanyang layunin, habang lihim na nagtatrabaho sa problema ng paglutas ng teorama, nagawa ni Wiles na patunayan ang isang kaugnay na haka-haka, na siya namang makakatulong sa kanya na patunayan ang huling teorama ni Fermat. Malaki ang sukat at saklaw ng dokumento ni Wiles.
Nadiskubre ang isang depekto sa isang bahagi ng kanyang orihinal na papel sa panahon ng peer review at nangangailangan ng isa pang taon ng pakikipagtulungan kay Richard Taylor upang magkasamang malutas ang theorem. Bilang isang resulta, ang huling patunay ni Wiles ng Huling Teorem ni Fermat ay hindi nagtagal. Noong 1995, nai-publish ito sa mas maliit na sukat kaysa sa nakaraang gawaing matematika ni Wiles, na naglalarawan na hindi siya nagkamali sa kanyang mga nakaraang konklusyon tungkol sa posibilidad na patunayan ang teorama. Ang tagumpay ni Wiles ay malawak na inihayag sa sikat na pamamahayag at pinasikat sa mga libro at programa sa telebisyon. Ang natitirang bahagi ng haka-haka ng Taniyama-Shimura-Weil, na ngayon ay napatunayan na atna kilala bilang modularity theorem, ay kasunod na napatunayan ng ibang mga mathematician na binuo sa gawa ni Wiles sa pagitan ng 1996 at 2001. Para sa kanyang tagumpay, pinarangalan at nakatanggap si Wiles ng maraming parangal, kabilang ang 2016 Abel Prize.
Ang patunay ni Wiles ng huling theorem ni Fermat ay isang espesyal na kaso ng paglutas ng modularity theorem para sa mga elliptic curve. Gayunpaman, ito ang pinakatanyag na kaso ng tulad ng isang malakihang pagpapatakbo ng matematika. Kasama ng paglutas ng teorama ni Ribe, ang British mathematician ay nakakuha din ng patunay ng huling teorama ni Fermat. Ang Huling Theorem at Modularity Theorem ni Fermat ay halos itinuturing na hindi mapapatunayan ng mga modernong matematiko, ngunit nagawang patunayan ni Andrew Wiles sa daigdig ng siyentipiko na kahit ang mga eksperto ay maaaring magkamali.
Wyles unang inihayag ang kanyang pagtuklas noong Miyerkules 23 Hunyo 1993 sa isang panayam sa Cambridge na pinamagatang "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". Gayunpaman, noong Setyembre 1993, natagpuan na ang kanyang mga kalkulasyon ay naglalaman ng isang error. Pagkaraan ng isang taon, noong Setyembre 19, 1994, sa tinatawag niyang "ang pinakamahalagang sandali ng kanyang buhay sa pagtatrabaho," natisod ni Wiles ang isang paghahayag na nagpapahintulot sa kanya na ayusin ang solusyon sa problema hanggang sa punto kung saan masisiyahan nito ang matematika. komunidad.
Paglalarawan sa trabaho
Katunayan ng Fermat's Theorem ni Andrew Wiles ay gumagamit ng maraming pamamaraan mula sa algebraic geometry at number theory at may maraming ramifications sa mga itomga larangan ng matematika. Ginagamit din niya ang mga karaniwang konstruksyon ng modernong algebraic geometry, tulad ng kategorya ng mga scheme at teorya ng Iwasawa, pati na rin ang iba pang mga pamamaraan ng ika-20 siglo na hindi magagamit ni Pierre de Fermat.
Ang dalawang artikulong naglalaman ng ebidensya ay 129 na pahina ang haba at isinulat sa loob ng pitong taon. Inilarawan ni John Coates ang pagtuklas na ito bilang isa sa mga pinakamalaking tagumpay ng teorya ng numero, at tinawag ito ni John Conway na pangunahing tagumpay sa matematika noong ika-20 siglo. Wiles, upang patunayan ang huling theorem ni Fermat sa pamamagitan ng pagpapatunay ng modularity theorem para sa espesyal na kaso ng semistable elliptic curves, bumuo ng mga makapangyarihang pamamaraan para sa pag-angat ng modularity at nagbukas ng mga bagong diskarte sa maraming iba pang mga problema. Para sa paglutas ng huling teorama ni Fermat, siya ay naging kabalyero at nakatanggap ng iba pang mga parangal. Nang malaman na si Wiles ay nanalo ng Abel Prize, inilarawan ng Norwegian Academy of Sciences ang kanyang tagumpay bilang "isang kasiya-siya at elementarya na patunay ng huling teorama ni Fermat."
Paano ito noon
Isa sa mga taong nagrepaso sa orihinal na manuskrito ni Wiles na may solusyon sa theorem ay si Nick Katz. Sa kurso ng kanyang pagrepaso, tinanong niya ang Briton ng ilang mga paglilinaw na tanong na humantong kay Wiles na aminin na ang kanyang trabaho ay malinaw na naglalaman ng isang puwang. Sa isang kritikal na bahagi ng patunay, nagkaroon ng pagkakamali na nagbigay ng pagtatantya para sa pagkakasunud-sunod ng isang partikular na grupo: hindi kumpleto ang sistema ng Euler na ginamit upang palawigin ang paraan ng Kolyvagin at Flach. Ang pagkakamali, gayunpaman, ay hindi ginawang walang silbi ang kanyang trabaho - ang bawat piraso ng gawa ni Wiles ay napakahalaga at makabago sa sarili nito, tulad ng marami.mga pag-unlad at pamamaraan na nilikha niya sa kurso ng kanyang trabaho at naapektuhan lamang ang isang bahagi ng manuskrito. Gayunpaman, ang orihinal na akdang ito, na inilathala noong 1993, ay walang tunay na patunay ng Huling Teorem ni Fermat.
Wyles ay gumugol ng halos isang taon sa pagsubok na muling tuklasin ang isang solusyon sa theorem, una nang mag-isa at pagkatapos ay sa pakikipagtulungan sa kanyang dating estudyante na si Richard Taylor, ngunit ang lahat ay tila walang kabuluhan. Sa pagtatapos ng 1993, kumalat ang mga alingawngaw na ang patunay ni Wiles ay nabigo sa pagsubok, ngunit kung gaano kalubha ang pagkabigo na iyon ay hindi alam. Sinimulan ng mga mathematician na bigyan ng pressure si Wiles na ihayag ang mga detalye ng kanyang trabaho, kung ito ay tapos na o hindi, upang ang mas malawak na komunidad ng mga mathematician ay maaaring galugarin at magamit ang anumang kanyang nagawang makamit. Sa halip na mabilis na itama ang kanyang pagkakamali, natuklasan lamang ni Wiles ang mga karagdagang mahihirap na aspeto sa patunay ng Huling Theorem ni Fermat, at sa wakas ay natanto kung gaano ito kahirap.
Sinabi ni Wyles na noong umaga ng Setyembre 19, 1994, malapit na siyang sumuko at sumuko, at muntik nang bumitiw sa pagkabigo. Handa siyang i-publish ang kanyang hindi natapos na gawain upang ang iba ay makapagtayo dito at mahanap kung saan siya nagkamali. Nagpasya ang English mathematician na bigyan ang kanyang sarili ng isang huling pagkakataon at sinuri ang teorama sa huling pagkakataon upang subukang maunawaan ang mga pangunahing dahilan kung bakit hindi gumagana ang kanyang diskarte, nang bigla niyang napagtanto na ang Kolyvagin-Flac na diskarte ay hindi gagana hanggang sa siya ayisasama rin ang teorya ni Iwasawa sa proseso ng patunay, na ginagawa itong gumagana.
Noong Oktubre 6, hiniling ni Wiles ang tatlong kasamahan (kabilang ang F altins) na suriin ang kanyang bagong gawa, at noong Oktubre 24, 1994, nagsumite siya ng dalawang manuskrito - "Modular elliptic curves at Fermat's last theorem" at "Theoretical properties of the singsing ng ilang Hecke algebras", ang pangalawa ay sumulat si Wiles kasama si Taylor at pinatunayan na ang ilang mga kundisyon ay natugunan upang bigyang-katwiran ang naitama na hakbang sa pangunahing artikulo.
Ang dalawang papel na ito ay nasuri at sa wakas ay nai-publish bilang isang buong tekstong edisyon sa May 1995 Annals of Mathematics. Ang mga bagong kalkulasyon ni Andrew ay malawakang nasuri at kalaunan ay tinanggap ng komunidad ng siyensya. Sa mga papel na ito, ang modularity theorem para sa semistable elliptic curves ay naitatag - ang huling hakbang patungo sa pagpapatunay ng Fermat's Last Theorem, 358 taon matapos itong malikha.
History of the Great Problem
Ang paglutas sa theorem na ito ay itinuturing na pinakamalaking problema sa matematika sa loob ng maraming siglo. Noong 1816 at noong 1850 ang French Academy of Sciences ay nag-alok ng premyo para sa pangkalahatang patunay ng Huling Teorama ni Fermat. Noong 1857, iginawad ng Academy ang 3,000 francs at isang gintong medalya kay Kummer para sa kanyang pananaliksik sa mga ideal na numero, kahit na hindi siya nag-aplay para sa premyo. Isa pang premyo ang inaalok sa kanya noong 1883 ng Brussels Academy.
Wolfskell Prize
Noong 1908, ang German industrialist at amateur mathematician na si Paul Wolfskel ay nagpamana ng 100,000 gold marks (malaking halaga para sa panahong iyon)Academy of Sciences of Göttingen, upang ang perang ito ay maging premyo para sa kumpletong patunay ng huling teorama ni Fermat. Noong Hunyo 27, 1908, naglathala ang Academy ng siyam na panuntunan sa paggawad. Sa iba pang mga bagay, ang mga panuntunang ito ay nangangailangan ng patunay na mai-publish sa isang peer-reviewed journal. Ang premyo ay igagawad lamang ng dalawang taon pagkatapos mailathala. Ang kumpetisyon ay dapat mag-expire noong Setyembre 13, 2007 - humigit-kumulang isang siglo matapos itong magsimula. Noong Hunyo 27, 1997, natanggap ni Wiles ang premyong pera ni Wolfschel at pagkatapos ay isa pang $50,000. Noong Marso 2016, nakatanggap siya ng €600,000 mula sa gobyerno ng Norway bilang bahagi ng Abel Prize para sa "isang kamangha-manghang patunay ng huling theorem ni Fermat sa tulong ng modularity conjecture para sa semistable elliptic curves, na nagbubukas ng bagong panahon sa number theory." Ito ang tagumpay sa mundo ng hamak na Englishman.
Bago ang patunay ni Wiles, ang theorem ni Fermat, gaya ng nabanggit kanina, ay itinuturing na ganap na hindi malulutas sa loob ng maraming siglo. Libu-libong maling ebidensya sa iba't ibang panahon ang ipinakita sa komite ng Wolfskell, na humigit-kumulang 10 talampakan (3 metro) ng sulat. Sa unang taon lamang ng pagkakaroon ng premyo (1907-1908) 621 na mga aplikasyon ang isinumite na nag-aangkin upang malutas ang teorama, bagaman noong 1970s ang kanilang bilang ay bumaba sa mga 3-4 na aplikasyon bawat buwan. Ayon kay F. Schlichting, tagasuri ni Wolfschel, karamihan sa mga ebidensya ay batay sa mga pamamaraan sa elementarya na itinuro sa mga paaralan at kadalasang ipinakita bilang "mga taong may teknikal na background ngunit hindi matagumpay na mga karera". Ayon sa mananalaysay ng matematika na si Howard Aves, ang huliAng theorem ni Fermat ay nagtakda ng isang uri ng record - ito ang theorem na may pinakamalaking bilang ng mga maling patunay.
Napunta ang mga tagumpay ng Farm sa mga Hapon
Tulad ng nabanggit kanina, noong mga 1955, natuklasan ng mga Japanese mathematician na sina Goro Shimura at Yutaka Taniyama ang isang posibleng koneksyon sa pagitan ng dalawang tila ganap na magkaibang sangay ng matematika - elliptic curves at modular forms. Ang resultang modularity theorem (na kilala noon bilang ang Taniyama-Shimura conjecture) ay nagsasaad na ang bawat elliptic curve ay modular, ibig sabihin, maaari itong iugnay sa isang natatanging modular form.
Ang teorya ay una nang ibinasura bilang hindi malamang o mataas na haka-haka, ngunit mas sineseryoso nang ang number theorist na si André Weil ay nakahanap ng ebidensya na sumusuporta sa mga konklusyon ng Hapon. Bilang resulta, ang hypothesis ay madalas na tinutukoy bilang ang Taniyama-Shimura-Weil hypothesis. Naging bahagi siya ng Langlands program, na isang listahan ng mahahalagang hypotheses na kailangang patunayan sa hinaharap.
Kahit pagkatapos ng seryosong pagsusuri, ang haka-haka ay kinikilala ng mga modernong mathematician bilang napakahirap, o marahil ay hindi naa-access sa patunay. Ngayon ang partikular na theorem ay naghihintay para sa Andrew Wiles nito, na maaaring sorpresahin ang buong mundo sa solusyon nito.
Fermat's Theorem: Perelman's proof
Sa kabila ng tanyag na alamat, ang Russian mathematician na si Grigory Perelman, sa lahat ng kanyang henyo, ay walang kinalaman sa teorama ni Fermat. Na, gayunpaman, sa anumang paraan ay hindi nakakabawas dito.maraming kontribusyon sa siyentipikong komunidad.
