Sa mathematical na paglalarawan ng rotational motion, mahalagang malaman ang moment of inertia ng system tungkol sa axis. Sa pangkalahatang kaso, ang pamamaraan para sa paghahanap ng dami na ito ay nagsasangkot ng pagpapatupad ng proseso ng pagsasama. Ang tinatawag na Steiner theorem ay nagpapadali sa pagkalkula. Isaalang-alang natin ito nang mas detalyado sa artikulo.
Ano ang moment of inertia?
Bago ibigay ang pagbabalangkas ng theorem ni Steiner, kailangang harapin ang mismong konsepto ng moment of inertia. Ipagpalagay na mayroong ilang katawan ng isang tiyak na masa at arbitrary na hugis. Ang katawan na ito ay maaaring maging isang materyal na punto o anumang two-dimensional o three-dimensional na bagay (rod, cylinder, ball, atbp.). Kung ang bagay na pinag-uusapan ay gumagawa ng pabilog na paggalaw sa paligid ng ilang axis na may pare-pareho ang angular acceleration α, kung gayon ang sumusunod na equation ay maaaring isulat:
M=Iα
Dito, ang halagang M ay kumakatawan sa kabuuang sandali ng mga puwersa, na nagbibigay ng acceleration α sa buong system. Ang koepisyent ng proporsyonalidad sa pagitan nila - I, ay tinatawagsandali ng pagkawalang-galaw. Ang pisikal na dami na ito ay kinakalkula gamit ang sumusunod na pangkalahatang formula:
Ako=∫m (r2dm)
Narito r ang distansya sa pagitan ng elementong may mass dm at ng rotation axis. Nangangahulugan ang expression na ito na kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng mga produkto ng mga squared na distansya r2 at ang elementary mass dm. Iyon ay, ang sandali ng pagkawalang-galaw ay hindi isang purong katangian ng katawan, na nakikilala ito mula sa linear inertia. Depende ito sa pamamahagi ng masa sa buong bagay na umiikot, pati na rin sa distansya sa axis at sa oryentasyon ng katawan na may kaugnayan dito. Halimbawa, magkakaroon ng ibang I ang isang baras kung paikutin ito sa gitna ng masa at sa dulo.
Moment of inertia at Steiner's theorem
Pinatunayan ng sikat na Swiss mathematician, Jakob Steiner, ang theorem sa parallel axes at ang moment of inertia, na ngayon ay nagtataglay ng kanyang pangalan. Ang teorem na ito ay nagpopostulate na ang sandali ng pagkawalang-galaw para sa ganap na anumang matibay na katawan ng arbitraryong geometry na may kaugnayan sa ilang axis ng pag-ikot ay katumbas ng kabuuan ng sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis na nagsa-intersect sa gitna ng masa ng katawan at kahanay ng una., at ang produkto ng mass ng katawan ay dimix sa parisukat ng distansya sa pagitan ng mga ax na ito. Sa matematika, ang pormulasyon na ito ay nakasulat bilang mga sumusunod:
IZ=IO + ml2
IZ at IO - mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa Z-axis at ang O-axis na parallel dito, na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan, l - distansya sa pagitan ng mga linyang Z at O.
Ang theorem ay nagbibigay-daan, na nalalaman ang halaga ng IO, upang makalkulaanumang iba pang sandali IZ tungkol sa isang axis na parallel sa O.
Patunay ng theorem
Ang Steiner theorem formula ay madaling makuha nang mag-isa. Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang arbitrary na katawan sa xy plane. Hayaang dumaan ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng masa ng katawan na ito. Kalkulahin natin ang moment of inertia IO na dumadaan sa pinanggalingan patayo sa xy plane. Dahil ang distansya sa anumang punto ng katawan ay ipinahayag ng formula r=√ (x2 + y2), pagkatapos ay makukuha natin ang integral:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) dm)
Ngayon, ilipat natin ang axis parallel sa kahabaan ng x-axis sa layo na l, halimbawa, sa positibong direksyon, pagkatapos ay ang pagkalkula para sa bagong axis ng moment of inertia ay magiging ganito:
IZ=∫m(((x+l)2+y 2)dm)
Palawakin ang buong parisukat sa mga bracket at hatiin ang mga integrand, makakakuha tayo ng:
IZ=∫m ((x2+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2 +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫mdm
Ang una sa mga terminong ito ay ang value IO, ang ikatlong termino, pagkatapos ng pagsasama, ay nagbibigay ng terminong l2m, at dito ang pangalawang termino ay zero. Ang zeroing ng tinukoy na integral ay dahil sa ang katunayan na ito ay kinuha mula sa produkto ng x at mass elements dm, na saang average ay nagbibigay ng zero, dahil ang sentro ng masa ay nasa pinanggalingan. Bilang resulta, nakuha ang formula ng Steiner theorem.
Ang isinasaalang-alang na case sa eroplano ay maaaring gawing pangkalahatan sa isang three-dimensional na katawan.
Pagsusuri sa Steiner formula sa halimbawa ng baras
Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa upang ipakita kung paano gamitin ang teorama sa itaas.
Nalalaman na para sa isang baras na may haba L at mass m, ang moment of inertia IO(ang axis ay dumadaan sa gitna ng mass) ay katumbas ng m L2 /12, at ang sandaling IZ(ang axis ay dumadaan sa dulo ng rod) ay katumbas ng mL 2/3. Suriin natin ang data na ito gamit ang Steiner's theorem. Dahil ang distansya sa pagitan ng dalawang axle ay L/2, makukuha natin ang sandaling IZ:
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
Ibig sabihin, sinuri namin ang Steiner formula at nakuha ang parehong halaga para sa IZ tulad ng sa source.
Maaaring magsagawa ng mga katulad na kalkulasyon para sa iba pang mga katawan (silindro, bola, disk), habang kinukuha ang mga kinakailangang sandali ng pagkawalang-galaw, at nang hindi nagsasagawa ng pagsasama.
Moment of inertia at perpendicular axes
Ang itinuturing na theorem ay may kinalaman sa mga parallel axes. Para sa pagkakumpleto ng impormasyon, kapaki-pakinabang din na magbigay ng teorama para sa mga patayong palakol. Ito ay nabuo bilang mga sumusunod: para sa isang patag na bagay na may di-makatwirang hugis, ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa isang axis na patayo dito ay magiging katumbas ng kabuuan ng dalawang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa dalawang magkaparehong patayo at nakahiga.sa eroplano ng object ng axes, kasama ang lahat ng tatlong axes na dumadaan sa parehong punto. Sa matematika, ito ay nakasulat bilang sumusunod:
Iz=Ix + Iy
Narito ang z, x, y ay tatlong magkaparehong patayong axes ng pag-ikot.
Ang mahahalagang pagkakaiba sa pagitan ng theorem na ito at ng Steiner's theorem ay na ito ay naaangkop lamang sa mga flat (two-dimensional) na solidong bagay. Gayunpaman, sa pagsasagawa ito ay malawakang ginagamit, sa pag-iisip na pinuputol ang katawan sa magkakahiwalay na mga layer, at pagkatapos ay idinaragdag ang nakuhang mga sandali ng pagkawalang-galaw.
