Kapag pinag-aaralan ang mga katangian ng isang quadratic equation, isang paghihigpit ang itinakda - para sa isang discriminant na mas mababa sa zero, walang solusyon. Kaagad na itinakda na pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang hanay ng mga tunay na numero. Magiging interesado ang matanong na isip ng isang mathematician - ano ang sikreto na nilalaman ng sugnay tungkol sa mga tunay na halaga?
Sa paglipas ng panahon, ipinakilala ng mga mathematician ang konsepto ng mga kumplikadong numero, kung saan ang conditional value ng pangalawang ugat ng minus one ay kinuha bilang isang unit.
Makasaysayang background
Ang teorya ng matematika ay nabuo nang sunud-sunod, mula sa simple hanggang sa kumplikado. Alamin natin kung paano lumitaw ang konseptong tinatawag na "complex number" at kung bakit ito kailangan.
Mula noong una, ang batayan ng matematika ay ang karaniwang account. Alam lamang ng mga mananaliksik ang natural na hanay ng mga halaga. Ang pagdaragdag at pagbabawas ay simple. Habang ang mga relasyon sa ekonomiya ay naging mas kumplikado, ang pagpaparami ay nagsimulang gamitin sa halip na magdagdag ng parehong mga halaga. May reverse operation tomultiplikasyon - paghahati.
Nilimitahan ng konsepto ng natural na numero ang paggamit ng mga operasyong aritmetika. Imposibleng malutas ang lahat ng mga problema sa paghahati sa hanay ng mga halaga ng integer. Ang paggawa ng mga fraction ay unang humantong sa konsepto ng mga makatwirang halaga, at pagkatapos ay sa mga hindi makatwirang halaga. Kung para sa makatwiran posible na ipahiwatig ang eksaktong lokasyon ng punto sa linya, kung gayon para sa hindi makatwiran imposibleng ipahiwatig ang gayong punto. Maaari mo lamang tantiyahin ang pagitan. Ang unyon ng mga makatwiran at hindi makatwiran na mga numero ay nabuo ng isang tunay na hanay, na maaaring kinakatawan bilang isang tiyak na linya na may isang naibigay na sukat. Ang bawat hakbang sa linya ay isang natural na numero, at sa pagitan ng mga ito ay mga makatwiran at hindi makatwiran na mga halaga.
Nagsimula na ang panahon ng theoretical mathematics. Ang pag-unlad ng astronomiya, mekanika, pisika ay nangangailangan ng solusyon ng higit at mas kumplikadong mga equation. Sa pangkalahatan, natagpuan ang mga ugat ng quadratic equation. Kapag nilutas ang isang mas kumplikadong kubiko polynomial, ang mga siyentipiko ay tumakbo sa isang kontradiksyon. Ang konsepto ng isang cube root mula sa isang negatibo ay may katuturan, ngunit para sa isang square root, ang kawalan ng katiyakan ay nakuha. Bukod dito, ang quadratic equation ay isang espesyal na kaso lamang ng cubic one.
Noong 1545, iminungkahi ng Italyano na si J. Cardano na ipakilala ang konsepto ng isang haka-haka na numero.
Ang numerong ito ay ang pangalawang ugat ng minus one. Ang terminong kumplikadong numero ay sa wakas ay nabuo lamang pagkaraan ng tatlong daang taon, sa mga gawa ng sikat na matematiko na si Gauss. Iminungkahi niyang pormal na palawigin ang lahat ng mga batas ng algebra sa haka-haka na numero. Ang tunay na linya ay pinalawig samga eroplano. Mas malaki ang mundo.
Mga pangunahing konsepto
Alalahanin ang ilang mga function na may mga paghihigpit sa totoong set:
- y=arcsin(x), tinukoy sa pagitan ng negatibo at positibo 1.
- y=ln(x), ang decimal logarithm ay may katuturan sa mga positibong argumento.
- square root y=√x, kinakalkula lamang para sa x ≧ 0.
Na tumutukoy sa i=√(-1), ipinakilala namin ang gayong konsepto bilang isang haka-haka na numero, aalisin nito ang lahat ng mga paghihigpit mula sa domain ng kahulugan ng mga function sa itaas. Ang mga ekspresyong tulad ng y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) ay may katuturan sa ilang espasyo ng mga kumplikadong numero.
Maaaring isulat ang algebraic form bilang isang expression na z=x + i×y sa set ng tunay na x at y value, at i2 =-1.
Ang bagong konsepto ay nag-aalis ng lahat ng mga paghihigpit sa paggamit ng anumang algebraic function at kahawig ng isang graph ng isang tuwid na linya sa mga coordinate ng tunay at haka-haka na mga halaga.
Kumplikadong eroplano
Ang geometric na anyo ng mga kumplikadong numero ay biswal na nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang marami sa kanilang mga katangian. Sa Re(z) axis ay minarkahan namin ang totoong x value, sa Im(z) - ang mga haka-haka na value ng y, pagkatapos ay ipapakita ng z point sa eroplano ang kinakailangang complex value.
Mga Depinisyon:
- Re(z) - totoong axis.
- Im(z) - nangangahulugang ang imaginary axis.
- z - conditional point ng isang complex number.
- Ang numerical value ng haba ng vector mula zero hanggang z ay tinatawagmodule.
- Ang mga tunay at haka-haka na palakol ay naghahati sa eroplano sa apat na bahagi. Na may positibong halaga ng mga coordinate - I quarter. Kapag ang argumento ng totoong axis ay mas mababa sa 0, at ang haka-haka na axis ay mas malaki sa 0 - II quarter. Kapag negatibo ang mga coordinate - III quarter. Ang huling, ikaapat na quarter ay naglalaman ng maraming positibong tunay na halaga at negatibong haka-haka na halaga.
Kaya, sa isang eroplano na may mga halaga ng x at y coordinate, palaging makikita ng isa ang isang punto ng isang kumplikadong numero. Ang karakter na i ay ipinakilala upang paghiwalayin ang tunay na bahagi mula sa haka-haka.
Properties
- Kapag ang halaga ng haka-haka na argumento ay zero, makakakuha lang tayo ng isang numero (z=x), na matatagpuan sa totoong axis at kabilang sa totoong set.
- Espesyal na kaso kapag ang halaga ng tunay na argumento ay naging zero, ang expression na z=i×y ay tumutugma sa lokasyon ng punto sa imaginary axis.
- Ang pangkalahatang anyo ng z=x + i×y ay para sa mga hindi zero na halaga ng mga argumento. Isinasaad ang lokasyon ng puntong nagpapakilala sa complex number sa isa sa mga quarter.
Trigonometric notation
Alalahanin ang polar coordinate system at ang kahulugan ng trigonometric function na sin at cos. Malinaw na sa tulong ng mga pag-andar na ito ay posible na ilarawan ang lokasyon ng anumang punto sa eroplano. Upang gawin ito, sapat na malaman ang haba ng polar beam at ang anggulo ng pagkahilig sa totoong axis.
Kahulugan. Ang isang entry ng form na ∣z ∣ na pinarami ng kabuuan ng trigonometric functions cos(ϴ) at ang haka-haka na bahagi i ×sin(ϴ) ay tinatawag na trigonometric complex number. Narito ang pagtatalaga ay ang anggulo ng pagkahilig sa tunay na aksis
ϴ=arg(z) at r=∣z∣, haba ng beam.
Mula sa kahulugan at mga katangian ng trigonometric function, isang napakahalagang formula ng Moivre ang sumusunod:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Gamit ang formula na ito, ito ay maginhawa upang malutas ang maraming mga sistema ng mga equation na naglalaman ng mga trigonometric function. Lalo na kapag lumitaw ang problema sa pagtaas ng kapangyarihan.
Module at phase
Upang makumpleto ang paglalarawan ng isang kumplikadong hanay, nagmumungkahi kami ng dalawang mahahalagang kahulugan.
Alam ang Pythagorean theorem, madaling kalkulahin ang haba ng beam sa polar coordinate system.
r=∣z∣=√(x2 + y2), ang gayong notasyon sa isang kumplikadong espasyo ay tinatawag na " module" at tinutukoy ang distansya mula 0 hanggang sa isang punto sa eroplano.
Ang anggulo ng inclination ng complex beam sa totoong linya ϴ ay karaniwang tinatawag na phase.
Ang kahulugan ay nagpapakita na ang tunay at haka-haka na mga bahagi ay inilalarawan gamit ang cyclic function. Namely:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Kabaligtaran, ang bahagi ay nauugnay sa mga algebraic na halaga sa pamamagitan ng formula:
ϴ=arctan(x / y) + µ, ang pagwawasto µ ay ipinakilala upang isaalang-alang ang periodicity ng mga geometric na function.
Euler formula
Mathematicians madalas gamitin ang exponential form. Ang mga kumplikadong numero ng eroplano ay isinusulat bilang mga expression
z=r × ei×ϴ , na sumusunod mula sa Euler formula.
Ang talaang ito ay malawakang ginagamit para sa praktikal na pagkalkula ng mga pisikal na dami. Anyo ng presentasyon sa anyoAng mga exponential complex na numero ay lalong maginhawa para sa mga kalkulasyon ng engineering, kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang mga circuit na may sinusoidal na alon at kinakailangang malaman ang halaga ng mga integral ng mga function na may isang naibigay na panahon. Ang mga kalkulasyon mismo ay nagsisilbing kasangkapan sa disenyo ng iba't ibang makina at mekanismo.
Tukuyin ang mga pagpapatakbo
Tulad ng nabanggit na, lahat ng algebraic na batas ng pagtatrabaho sa mga pangunahing mathematical function ay nalalapat sa mga kumplikadong numero.
Sum operation
Kapag nagdaragdag ng mga kumplikadong halaga, idinaragdag din ang mga tunay at haka-haka na bahagi ng mga ito.
z=z1 + z2 kung saan ang z1 at z2 - pangkalahatang kumplikadong mga numero. Pagbabago ng expression, pagkatapos buksan ang mga bracket at pasimplehin ang notasyon, makukuha natin ang tunay na argumento x=(x1 + x2), ang haka-haka na argumento y=(y 1 + y2).
Sa graph, mukhang pagdaragdag ng dalawang vector, ayon sa kilalang parallelogram rule.
Pagpapatakbo ng pagbabawas
Itinuturing bilang isang espesyal na kaso ng karagdagan, kapag ang isang numero ay positibo, ang isa ay negatibo, iyon ay, matatagpuan sa mirror quarter. Ang algebraic notation ay mukhang pagkakaiba sa pagitan ng tunay at haka-haka na mga bahagi.
z=z1 - z2, o, isinasaalang-alang ang mga halaga ng mga argumento, katulad ng karagdagan operasyon, nakukuha namin para sa mga tunay na halaga x=(x1 - x2) at haka-haka y=(y1- y2).
Multiplikasyon sa kumplikadong eroplano
Gamit ang mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga polynomial, nakukuha namin ang formulaupang malutas ang mga kumplikadong numero.
Pagsunod sa mga pangkalahatang tuntunin sa algebraic z=z1×z2, ilarawan ang bawat argumento at ilista ang mga katulad. Ang tunay at haka-haka na mga bahagi ay maaaring isulat ng ganito:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Mukhang mas maganda kung gagamit tayo ng mga exponential complex number.
Mukhang ganito ang expression: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Sa madaling salita, ang mga module ay pinarami at ang mga phase ay idinaragdag.
Dibisyon
Kapag isinasaalang-alang ang operasyon ng paghahati bilang kabaligtaran ng multiplikasyon, nakakakuha tayo ng simpleng expression sa exponential notation. Ang paghahati ng value na z1 sa z2 ay ang resulta ng paghahati ng kanilang mga module at phase difference. Sa pormal, kapag gumagamit ng exponential form ng mga kumplikadong numero, ganito ang hitsura:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Sa anyo ng algebraic notation, ang operasyon ng paghahati ng mga numero ng complex plane ay isinulat nang medyo mas kumplikado:
z=z1 / z2.
Paglalarawan ng mga argumento at pagsasagawa ng polynomial transformations, madaling makakuha ng mga valuex=x1 × x2 + y1 × y2, ayon sa pagkakabanggit y=x2 × y1 - x1 × y2 , gayunpaman, sa loob ng inilarawang espasyo, may katuturan ang expression na ito kung z2 ≠ 0.
I-extract ang ugat
Maaaring ilapat ang lahat ng nasa itaas kapag tinutukoy ang mas kumplikadong algebraic function - pagtaas sa anumang kapangyarihan at kabaligtaran dito - pag-extract ng ugat.
Gamit ang pangkalahatang konsepto ng pagtaas sa kapangyarihan n, makukuha natin ang kahulugan:
zn =(r × eiϴ).
Gamit ang mga karaniwang katangian, muling isulat bilang:
zn =rn × eiϴ.
Nakakuha kami ng isang simpleng formula para sa pagpapataas ng isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan.
Mula sa kahulugan ng antas nakakakuha tayo ng napakahalagang kahihinatnan. Ang pantay na kapangyarihan ng imaginary unit ay palaging 1. Ang anumang kakaibang kapangyarihan ng imaginary unit ay palaging -1.
Ngayon, pag-aralan natin ang inverse function - pag-extract ng ugat.
Para sa kadalian ng notasyon, kunin natin ang n=2. Ang square root w ng complex value na z sa complex plane C ay itinuturing na expression na z=±, valid para sa anumang totoong argument na mas malaki kaysa o katumbas ng sero. Para sa w ≦ 0, walang solusyon.
Tingnan natin ang pinakasimpleng quadratic equation z2 =1. Gamit ang mga complex number formula, muling isulat ang r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Makikita mula sa tala na r2 =1 at ϴ=0, samakatuwid, mayroon tayong natatanging solusyon na katumbas ng 1. Ngunit ito ay sumasalungat sa paniwala na ang z=-1 ay umaangkop din sa kahulugan ng isang square root.
Ating alamin kung ano ang hindi natin isinasaalang-alang. Kung naaalala natin ang trigonometric notation, pagkatapos ay ibabalik natin ang pahayag - na may panaka-nakang pagbabago sa phase ϴ, ang kumplikadong numero ay hindi nagbabago. Hayaang p tukuyin ang halaga ng tuldok, pagkatapos ay mayroon tayong r2 × ei2ϴ =ei(0+p), kung saan 2ϴ=0 + p, o ϴ=p / 2. Samakatuwid, ei0 =1 at eip/2 =-1. Nakuha namin ang pangalawang solusyon, na tumutugma sa pangkalahatang pag-unawa sa square root.
Kaya, upang makahanap ng arbitrary na ugat ng isang kumplikadong numero, susundin namin ang pamamaraan.
- Isulat ang exponential form w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), ang k ay isang arbitrary integer.
- Ang gustong numero ay kinakatawan din sa anyong Euler z=r × eiϴ.
- Gamitin ang pangkalahatang kahulugan ng root extraction function r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Mula sa mga pangkalahatang katangian ng pagkakapantay-pantay ng mga module at argumento, isinusulat namin ang rn =∣w∣ at nϴ=arg (w) + p×k.
- Ang huling talaan ng ugat ng isang kumplikadong numero ay inilalarawan ng formula na z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Tandaan. Ang halaga ng ∣w∣, ayon sa kahulugan,ay isang positibong tunay na numero, kaya ang ugat ng anumang antas ay may katuturan.
Field at conjugation
Sa konklusyon, nagbibigay kami ng dalawang mahahalagang kahulugan na hindi gaanong mahalaga para sa paglutas ng mga inilapat na problema na may kumplikadong mga numero, ngunit mahalaga para sa karagdagang pag-unlad ng teoryang matematika.
Ang mga expression para sa pagdaragdag at pagpaparami ay sinasabing bubuo ng isang field kung natutugunan ng mga ito ang mga axiom para sa anumang mga elemento ng complex plane z:
- Hindi nagbabago ang kumplikadong kabuuan mula sa pagpapalit ng mga lugar ng kumplikadong termino.
- Totoo ang pahayag - sa isang kumplikadong expression, anumang kabuuan ng dalawang numero ay maaaring palitan ng kanilang halaga.
- May neutral value na 0 kung saan totoo ang z + 0=0 + z=z.
- Para sa anumang z mayroong kabaligtaran - z, ang karagdagan na nagbibigay ng zero.
- Kapag nagbabago ang mga lugar ng kumplikadong mga salik, hindi nagbabago ang kumplikadong produkto.
- Ang pagpaparami ng alinmang dalawang numero ay maaaring palitan ng kanilang halaga.
- May neutral na value 1, na ang multiplikasyon ay hindi nagbabago sa complex number.
- Para sa bawat z ≠ 0, mayroong inverse ng z-1, na dumarami sa 1.
- Ang pag-multiply ng kabuuan ng dalawang numero sa isang ikatlo ay katumbas ng operasyon ng pagpaparami ng bawat isa sa kanila sa numerong ito at pagdaragdag ng mga resulta.
- 0 ≠ 1.
Ang mga numerong z1 =x + i×y at z2 =x - i×y ay tinatawag na conjugate.
Teorama. Para sa conjugation, totoo ang pahayag:
- Ang conjugation ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng conjugate elements.
- Ang conjugate ng produkto ayprodukto ng mga conjugations.
- Ang conjugation ng conjugation ay katumbas ng numero mismo.
Sa pangkalahatang algebra, ang mga naturang property ay tinatawag na field automorphism.
Mga Halimbawa
Pagsunod sa mga ibinigay na panuntunan at formula ng mga kumplikadong numero, madali kang makakapag-opera sa kanila.
Isaalang-alang natin ang mga pinakasimpleng halimbawa.
Problema 1. Gamit ang equation na 3y +5 x i=15 - 7i, tukuyin ang x at y.
Desisyon. Alalahanin ang kahulugan ng kumplikadong pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay 3y=15, 5x=-7. Samakatuwid, x=-7 / 5, y=5.
Gawain 2. Kalkulahin ang mga halaga 2 + i28 at 1 + i135.
Desisyon. Malinaw, ang 28 ay isang even na numero, mula sa kinahinatnan ng kahulugan ng isang kumplikadong numero sa kapangyarihan na mayroon tayo i28 =1, na nangangahulugang ang expression na 2 + i 28 =3. Ang pangalawang value, i135 =-1, pagkatapos ay 1 + i135 =0.
Gawain 3. Kalkulahin ang produkto ng mga halaga 2 + 5i at 4 + 3i.
Desisyon. Mula sa mga pangkalahatang katangian ng pagpaparami ng mga kumplikadong numero, nakukuha natin ang (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Ang bagong halaga ay magiging -7 + 26i.
Gawain 4. Kalkulahin ang mga ugat ng equation z3 =-i.
Desisyon. Mayroong ilang mga paraan upang makahanap ng isang kumplikadong numero. Isaalang-alang natin ang isa sa mga posible. Sa pamamagitan ng kahulugan, ∣ - i∣=1, ang phase para sa -i ay -p / 4. Ang orihinal na equation ay maaaring muling isulat bilang r3ei3ϴ =e-p/4+pk, mula sa kung saan ang z=e-p / 12 + pk/3, para sa anumang integer k.
Ang hanay ng solusyon ay may form (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Bakit kailangan natin ng mga kumplikadong numero
Alam ng History ang maraming halimbawa kapag ang mga siyentipiko, na gumagawa ng isang teorya, ay hindi man lang nag-iisip tungkol sa praktikal na aplikasyon ng kanilang mga resulta. Ang matematika ay, una sa lahat, isang laro ng isip, isang mahigpit na pagsunod sa mga ugnayang sanhi-at-bunga. Halos lahat ng mga konstruksyon sa matematika ay nabawasan sa paglutas ng mga integral at differential equation, at ang mga iyon, na may ilang pagtatantya, ay nalutas sa pamamagitan ng paghahanap ng mga ugat ng polynomial. Dito natin unang nahaharap ang kabalintunaan ng mga haka-haka na numero.
Mga siyentipikong naturalista, paglutas ng ganap na praktikal na mga problema, paggamit ng mga solusyon sa iba't ibang equation, tumuklas ng mga mathematical na kabalintunaan. Ang interpretasyon ng mga paradox na ito ay humahantong sa ganap na kamangha-manghang mga pagtuklas. Ang dalawahang katangian ng mga electromagnetic wave ay isang halimbawa. Ang mga kumplikadong numero ay may mahalagang papel sa pag-unawa sa kanilang mga pag-aari.
Ito naman ay nakahanap ng praktikal na aplikasyon sa optika, radio electronics, enerhiya at marami pang teknolohikal na larangan. Isa pang halimbawa, mas mahirap maunawaan ang mga pisikal na phenomena. Ang antimatter ay hinulaang sa dulo ng panulat. At pagkalipas lamang ng maraming taon, nagsimula na ang mga pagtatangka na pisikal na i-synthesize ito.
Huwag isipin na sa physics lang may mga ganitong sitwasyon. Walang gaanong kagiliw-giliw na mga pagtuklas ang ginawa sa wildlife, sa synthesis ng macromolecules, sa panahon ng pag-aaral ng artificial intelligence. At lahat ng ito ay salamat sapagpapalawak ng ating kamalayan, lumalayo sa simpleng pagdaragdag at pagbabawas ng mga natural na halaga.
