Ang lugar ng lateral surface at ang volume ng truncated pyramid: mga formula at isang halimbawa ng paglutas ng karaniwang problema

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Kapag pinag-aaralan ang mga katangian ng mga figure sa three-dimensional na espasyo sa loob ng balangkas ng stereometry, kadalasang kailangang lutasin ng isang tao ang mga problema upang matukoy ang volume at surface area. Sa artikulong ito, ipapakita namin kung paano kalkulahin ang volume at lateral surface area para sa isang pinutol na pyramid gamit ang mga kilalang formula.

Pyramid sa geometry

Sa geometry, ang ordinaryong pyramid ay isang pigura sa kalawakan, na itinayo sa ilang flat n-gon. Ang lahat ng mga vertice nito ay konektado sa isang punto na matatagpuan sa labas ng eroplano ng polygon. Halimbawa, narito ang isang larawang nagpapakita ng pentagonal pyramid.

Ang figure na ito ay nabuo sa pamamagitan ng mga mukha, vertices at mga gilid. Ang pentagonal na mukha ay tinatawag na base. Ang natitirang mga tatsulok na mukha ay bumubuo sa gilid na ibabaw. Ang intersection point ng lahat ng triangles ay ang pangunahing vertex ng pyramid. Kung ang isang patayo ay ibababa mula dito patungo sa base, ang dalawang opsyon para sa posisyon ng intersection point ay posible:

• sa geometric center, pagkatapos ay tinatawag na tuwid na linya ang pyramid;
• not ingeometric center, kung gayon ang figure ay magiging pahilig.

Higit pa, isasaalang-alang lamang namin ang mga straight figure na may regular na n-gonal base.

Ano ang figure na ito - isang pinutol na pyramid?

Upang matukoy ang dami ng naputol na pyramid, kailangang malinaw na maunawaan kung aling figure ang partikular na pinag-uusapan. Linawin natin ang isyung ito.

Ipagpalagay na kukuha tayo ng isang cutting plane na parallel sa base ng isang ordinaryong pyramid at pinutol ang isang bahagi ng side surface kasama nito. Kung ang operasyong ito ay ginawa gamit ang pentagonal pyramid na ipinapakita sa itaas, makakakuha ka ng figure tulad ng nasa figure sa ibaba.

Mula sa larawan ay makikita na ang pyramid na ito ay mayroon nang dalawang base, at ang itaas ay katulad ng nasa ibaba, ngunit ito ay mas maliit sa laki. Ang lateral surface ay hindi na kinakatawan ng mga tatsulok, ngunit ng mga trapezoid. Ang mga ito ay isosceles, at ang kanilang numero ay tumutugma sa bilang ng mga gilid ng base. Ang pinutol na figure ay walang pangunahing vertex, tulad ng isang regular na pyramid, at ang taas nito ay tinutukoy ng distansya sa pagitan ng mga parallel na base.

Sa pangkalahatang kaso, kung ang figure na isinasaalang-alang ay nabuo ng mga n-gonal na base, mayroon itong n+2 na mukha o gilid, 2n vertices at 3n gilid. Ibig sabihin, ang pinutol na pyramid ay isang polyhedron.

Formula para sa dami ng naputol na pyramid

Tandaan na ang volume ng isang ordinaryong pyramid ay 1/3 ng produkto ng taas at base area nito. Ang formula na ito ay hindi angkop para sa isang pinutol na pyramid, dahil mayroon itong dalawang base. At ang dami nitoay palaging mas mababa kaysa sa parehong halaga para sa regular na figure kung saan ito hinango.

Nang hindi pumunta sa matematikal na mga detalye ng pagkuha ng expression, ipinapakita namin ang panghuling formula para sa volume ng isang pinutol na pyramid. Ito ay nakasulat tulad ng sumusunod:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Narito ang S₁ at S_{2 ang mga lugar ng lower at upper base, ayon sa pagkakabanggit, h ang taas ng figure. Ang nakasulat na expression ay wasto hindi lamang para sa isang tuwid na regular na pinutol na pyramid, kundi pati na rin para sa anumang pigura ng klase na ito. Bukod dito, anuman ang uri ng base polygons. Ang tanging kundisyon na naglilimita sa paggamit ng expression para sa V ay ang pangangailangan para sa mga base ng pyramid na maging parallel sa isa't isa.}

Maraming mahahalagang konklusyon ang maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga katangian ng formula na ito. Kaya, kung ang lugar ng itaas na base ay zero, pagkatapos ay dumating tayo sa formula para sa V ng isang ordinaryong pyramid. Kung ang mga lugar ng mga base ay pantay sa isa't isa, makukuha natin ang formula para sa volume ng prisma.

Paano matukoy ang lateral surface area?

Ang pag-alam sa mga katangian ng isang pinutol na pyramid ay nangangailangan hindi lamang ng kakayahang kalkulahin ang volume nito, ngunit upang malaman din kung paano matukoy ang lugar ng lateral surface.

Truncated pyramid ay binubuo ng dalawang uri ng mukha:

• isosceles trapezoids;
• polygonal base.

Kung mayroong isang regular na polygon sa mga base, kung gayon ang pagkalkula ng lugar nito ay hindi kumakatawan sa malakikahirapan. Para magawa ito, kailangan mo lang malaman ang haba ng gilid a at ang kanilang numero n.

Sa kaso ng isang lateral surface, ang pagkalkula ng lugar nito ay kinabibilangan ng pagtukoy sa halagang ito para sa bawat isa sa mga n trapezoid. Kung tama ang n-gon, ang formula para sa lateral surface area ay magiging:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Dito ang h_b ay ang taas ng trapezoid, na tinatawag na apoteme ng pigura. Ang mga dami ng a₁ at a_{2ay ang mga haba ng mga gilid ng mga regular na n-gonal na base.}

Para sa bawat regular na n-gonal truncated pyramid, ang apotema h_b ay maaaring natatanging tukuyin sa pamamagitan ng mga parameter na a₁ at a _{2at ang taas h ng hugis.}

Ang gawain ng pagkalkula ng volume at area ng isang figure

Binigyan ng regular na triangular na pinutol na pyramid. Alam na ang taas nito h ay 10 cm, at ang haba ng mga gilid ng mga base ay 5 cm at 3 cm. Ano ang volume ng pinutol na pyramid at ang lugar ng lateral surface nito?

Una, kalkulahin natin ang halagang V. Upang gawin ito, hanapin ang mga lugar ng equilateral triangle na matatagpuan sa mga base ng figure. Mayroon kaming:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 cm²

I-substitute ang data sa formula para sa V, makuha namin ang gustong volume:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70.72 cm3

Para matukoy ang side surface, dapat mong malamanhaba ng apothem h_{b. Isinasaalang-alang ang katumbas na right-angled triangle sa loob ng pyramid, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay para dito:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 cm}

Ang halaga ng apothem at ang mga gilid ng triangular na base ay inihahalili sa expression para sa S_{b at makukuha natin ang sagot:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2cm²

Kaya, sinagot namin ang lahat ng tanong ng problema: V ≈ 70.72 cm³, S_b ≈ 120.2 cm2^.