Lateral na ibabaw ng isang regular at pinutol na kono. Mga pormula at isang halimbawa ng paglutas ng problema

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Kapag isinasaalang-alang ang mga figure sa kalawakan, madalas na lumitaw ang mga problema sa pagtukoy ng kanilang surface area. Ang isang tulad na figure ay ang kono. Isaalang-alang sa artikulo kung ano ang gilid na ibabaw ng isang kono na may bilog na base, pati na rin ang pinutol na kono.

Cone na may bilog na base

Bago magpatuloy upang isaalang-alang ang lateral surface ng cone, ipakita natin kung anong uri ito ng figure at kung paano ito makukuha gamit ang mga geometric na pamamaraan.

Kumuha ng right-angled triangle ABC, kung saan ang AB at AC ay mga binti. Ilagay natin ang tatsulok na ito sa binti AC at paikutin ito sa paligid ng binti AB. Bilang resulta, inilalarawan ng panig AC at BC ang dalawang surface ng figure na ipinapakita sa ibaba.

Ang figure na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ay tinatawag na round straight cone. Ito ay bilog dahil ang base nito ay isang bilog, at ito ay tuwid dahil ang patayo na iginuhit mula sa tuktok ng figure (punto B) ay nagsalubong sa bilog sa gitna nito. Ang haba ng patayo na ito ay tinatawag na taas. Malinaw, ito ay katumbas ng binti AB. Ang taas ay karaniwang tinutukoy ng letrang h.

Bukod sa taas, ang itinuturing na cone ay inilalarawan ng dalawa pang linear na katangian:

• generating, o generatrix (hypotenuse BC);
• base radius (leg AC).

Ang radius ay ilalarawan ng letrang r, at ang generatoratrix ng g. Pagkatapos, isinasaalang-alang ang Pythagorean theorem, maaari tayong sumulat ng isang pagkakapantay-pantay na mahalaga para sa figure na isinasaalang-alang:

g²=h²+ r²

Conical surface

Ang kabuuan ng lahat ng generatrice ay bumubuo ng conical o lateral surface ng isang cone. Sa hitsura, mahirap sabihin kung aling flat figure ang katumbas nito. Ang huli ay mahalagang malaman kapag tinutukoy ang lugar ng isang conical na ibabaw. Upang malutas ang problemang ito, ginagamit ang paraan ng sweep. Binubuo ito sa mga sumusunod: ang isang ibabaw ay pinutol sa pag-iisip kasama ang isang di-makatwirang generatoratrix, at pagkatapos ay inilalahad ito sa isang eroplano. Sa ganitong paraan ng pagkuha ng sweep, nabuo ang sumusunod na flat figure.

Tulad ng maaari mong hulaan, ang bilog ay tumutugma sa base, ngunit ang pabilog na sektor ay isang conical surface, ang lugar kung saan kami interesado. Ang sektor ay bounded sa pamamagitan ng dalawang generatrices at isang arko. Ang haba ng huli ay eksaktong katumbas ng perimeter (haba) ng circumference ng base. Ang mga katangiang ito ay natatanging tinutukoy ang lahat ng mga katangian ng pabilog na sektor. Hindi kami magbibigay ng mga intermediate na kalkulasyon sa matematika, ngunit agad na isulat ang pangwakas na formula, gamit kung saan maaari mong kalkulahin ang lugar ng lateral surface ng kono. Ang formula ay:

S_b=pigr

Ang lugar ng isang conical surface S_bay katumbas ng produkto ng dalawang parameter at Pi.

Truncated cone at ang ibabaw nito

Kung kukuha tayo ng ordinaryong cone at putulin ang tuktok nito gamit ang parallel plane, ang natitirang figure ay magiging truncated cone. Ang lateral surface nito ay nililimitahan ng dalawang bilog na base. Tukuyin natin ang kanilang radii bilang R at r. Tinutukoy namin ang taas ng figure sa pamamagitan ng h, at ang generatrix sa pamamagitan ng g. Nasa ibaba ang isang ginupit na papel para sa figure na ito.

Makikita na ang gilid na ibabaw ay hindi na isang pabilog na sektor, ito ay mas maliit sa lugar, dahil ang gitnang bahagi ay naputol mula dito. Ang pag-develop ay limitado sa apat na linya, dalawa sa mga ito ay straight line segments-generators, ang dalawa pa ay mga arko na may mga haba ng katumbas na bilog ng mga base ng pinutol na kono.

Side surface S_bkinakalkula gaya ng sumusunod:

S_b=pig(r + R)

Generatrix, radii at taas ay nauugnay sa sumusunod na pagkakapantay-pantay:

g²=h²+ (R - r)²

Ang problema sa pagkakapantay-pantay ng mga bahagi ng mga numero

Binigyan ng isang kono na may taas na 20 cm at isang base radius na 8 cm. Kinakailangang hanapin ang taas ng isang pinutol na kono na ang lateral surface ay magkakaroon ng parehong lugar sa kono na ito. Ang pinutol na pigura ay itinayo sa parehong base, at ang radius ng itaas na base ay 3 cm.

Una sa lahat, isulat natin ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng kono at ng pinutol na pigura. Mayroon kaming:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Ngayon, isulat natin ang mga expression para sa mga generatrice ng bawat figure:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Palitan ang g₁ at g₂ sa formula para sa pantay na mga lugar at parisukat ang kaliwa at kanang bahagi, makuha natin ang:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Kung saan natin nakukuha ang expression para sa h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Hindi namin sisimplehin ang pagkakapantay-pantay na ito, ngunit papalitan lang ang data na alam mula sa kundisyong:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14.85 cm}

Kaya, upang mapantayan ang mga lugar ng mga gilid na ibabaw ng mga figure, ang pinutol na kono ay dapat magkaroon ng mga parameter: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm.