Bawat mag-aaral ay nakarinig ng isang bilog na kono at iniisip kung ano ang hitsura ng tatlong-dimensional na pigurang ito. Tinutukoy ng artikulong ito ang pagbuo ng isang kono, nagbibigay ng mga formula na naglalarawan sa mga katangian nito, at naglalarawan kung paano ito gagawin gamit ang isang compass, protractor at straightedge.
Circular cone sa geometry
Magbigay tayo ng geometric na kahulugan ng figure na ito. Ang isang bilog na kono ay isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng mga tuwid na mga segment ng linya na nagkokonekta sa lahat ng mga punto ng isang tiyak na bilog na may isang solong punto sa espasyo. Ang nag-iisang puntong ito ay hindi dapat kabilang sa eroplano kung saan matatagpuan ang bilog. Kung kukuha tayo ng isang bilog sa halip na isang bilog, ang paraang ito ay hahantong din sa isang kono.
Ang bilog ay tinatawag na base ng pigura, ang circumference nito ay ang directrix. Ang mga segment na nag-uugnay sa punto sa directrix ay tinatawag na mga generatrice o generator, at ang punto kung saan sila nag-intersect ay ang vertex ng cone.
Ang bilog na kono ay maaaring tuwid at pahilig. Ang parehong figure ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Ang pagkakaiba sa pagitan nila ay ito: kung ang patayo mula sa tuktok ng kono ay eksaktong bumagsak sa gitna ng bilog, kung gayon ang kono ay magiging tuwid. Para sa kanya, ang patayo, na tinatawag na taas ng pigura, ay bahagi ng kanyang axis. Sa kaso ng isang oblique cone, ang taas at ang axis ay bumubuo ng isang matinding anggulo.
Dahil sa pagiging simple at simetriya ng figure, higit pang isasaalang-alang namin ang mga katangian ng isang tamang kono lamang na may bilog na base.
Pagkuha ng hugis gamit ang pag-ikot
Bago magpatuloy upang isaalang-alang ang pagbuo ng ibabaw ng isang kono, kapaki-pakinabang na malaman kung paano makukuha ang spatial figure na ito gamit ang pag-ikot.
Ipagpalagay na mayroon tayong tamang tatsulok na may mga gilid na a, b, c. Ang unang dalawa sa kanila ay mga binti, c ay ang hypotenuse. Lagyan natin ng tatsulok ang binti a at simulan itong paikutin sa binti b. Ang hypotenuse c ay maglalarawan ng isang korteng kono na ibabaw. Ang simpleng cone technique na ito ay ipinapakita sa diagram sa ibaba.
Malinaw na ang binti a ang magiging radius ng base ng figure, ang binti b ang taas nito, at ang hypotenuse c ay tumutugma sa generatrix ng isang bilog na kanang kono.
Tingnan ang pagbuo ng kono
As you might guess, ang cone ay nabuo ng dalawang uri ng surface. Ang isa sa mga ito ay isang flat base na bilog. Ipagpalagay na mayroon itong radius r. Ang pangalawang ibabaw ay lateral at tinatawag na conical. Hayaang ang generator nito ay katumbas ng g.
Kung mayroon tayong papel na kono, maaari tayong kumuha ng gunting at putulin ang base mula dito. Pagkatapos, ang korteng kono na ibabaw ay dapat putulinkasama ang anumang generatrix at i-deploy ito sa eroplano. Sa ganitong paraan, nakuha namin ang pag-unlad ng lateral surface ng kono. Ang dalawang surface, kasama ang orihinal na cone, ay ipinapakita sa diagram sa ibaba.
Ang base na bilog ay inilalarawan sa kanang ibaba. Ang nakabukas na korteng ibabaw ay ipinapakita sa gitna. Lumalabas na tumutugma ito sa ilang pabilog na sektor ng bilog, ang radius nito ay katumbas ng haba ng generatrix g.
Anggulo at area sweep
Ngayon ay nakakakuha kami ng mga formula na, gamit ang mga kilalang parameter na g at r, ay nagbibigay-daan sa aming kalkulahin ang lugar at anggulo ng cone.
Malinaw, ang arko ng pabilog na sektor na ipinapakita sa itaas sa figure ay may haba na katumbas ng circumference ng base, iyon ay:
l=2pir.
Kung ang buong bilog na may radius g ay ginawa, ang haba nito ay magiging:
L=2pig.
Dahil ang haba L ay tumutugma sa 2pi radian, kung gayon ang anggulo kung saan nakapatong ang arc l ay maaaring matukoy mula sa kaukulang proporsyon:
L==>2pi;
l==> φ.
Kung gayon ang hindi kilalang anggulo φ ay magiging katumbas ng:
φ=2pil/L.
Pinapalitan ang mga expression para sa mga haba l at L, dumating tayo sa formula para sa anggulo ng pagbuo ng lateral surface ng cone:
φ=2pir/g.
Ang anggulo φ dito ay ipinahayag sa radians.
Upang matukoy ang lugar Sbng isang pabilog na sektor, gagamitin namin ang nahanap na halaga ng φ. Gumawa kami ng isa pang proporsyon, para lamang sa mga lugar. Mayroon kaming:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Mula sa kung saan ipahayag ang Sb, at pagkatapos ay palitan ang halaga ng anggulong φ. Nakukuha namin ang:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Para sa lugar ng isang conical surface, nakakuha kami ng medyo compact na formula. Ang halaga ng Sb ay katumbas ng produkto ng tatlong salik: pi, ang radius ng figure at ang generatrix nito.
Kung gayon ang lugar ng buong ibabaw ng figure ay magiging katumbas ng kabuuan ng Sb at So (pabilog base area). Nakukuha namin ang formula:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Paggawa ng isang sweep ng isang kono sa papel
Upang makumpleto ang gawaing ito kakailanganin mo ng isang pirasong papel, lapis, protractor, ruler at compass.
Una sa lahat, gumuhit tayo ng isang right-angled triangle na may mga gilid na 3 cm, 4 cm at 5 cm. Ang pag-ikot nito sa paligid ng binti na 3 cm ay magbibigay ng nais na kono. Ang figure ay may r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Magsisimula ang paggawa ng sweep sa pamamagitan ng pagguhit ng bilog na may radius r na may compass. Ang haba nito ay magiging katumbas ng 6pi cm Ngayon sa tabi nito ay gumuhit kami ng isa pang bilog, ngunit may radius g. Ang haba nito ay tumutugma sa 10pi cm Ngayon ay kailangan nating putulin ang isang pabilog na sektor mula sa isang malaking bilog. Ang anggulong φ nito ay:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Ngayon ay isinantabi namin ang anggulong ito na may protractor sa isang bilog na may radius g at gumuhit ng dalawang radii na maglilimita sa pabilog na sektor.
KayaKaya, nakagawa kami ng pagbuo ng cone na may tinukoy na mga parameter ng radius, taas at generatrix.
Isang halimbawa ng paglutas ng geometric na problema
Binigyan ng bilog na tuwid na kono. Nabatid na ang anggulo ng lateral sweep nito ay 120o. Kinakailangang hanapin ang radius at generatrix ng figure na ito, kung alam na ang taas h ng cone ay 10 cm.
Hindi mahirap ang gawain kung matatandaan natin na ang bilog na kono ay isang pigura ng pag-ikot ng isang tamang tatsulok. Mula sa tatsulok na ito ay sumusunod sa isang hindi malabo na ugnayan sa pagitan ng taas, radius at generatrix. Isulat natin ang kaukulang formula:
g2=h2+ r2.
Ang pangalawang expression na gagamitin kapag nagso-solve ay ang formula para sa anggulo φ:
φ=2pir/g.
Kaya, mayroon tayong dalawang equation na nauugnay sa dalawang hindi kilalang dami (r at g).
Ipahayag ang g mula sa pangalawang formula at palitan ang resulta sa una, makakakuha tayo ng:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Angle φ=120o sa radians ay 2pi/3. Pinapalitan namin ang halagang ito, nakukuha namin ang mga huling formula para sa r at g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Nananatili itong palitan ang halaga ng taas at makuha ang sagot sa tanong na may problema: r ≈ 3.54 cm, g ≈ 10.61 cm.
