Ano ito - isang kono? Kahulugan, mga katangian, mga formula at isang halimbawa ng paglutas ng problema

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Ang cone ay isa sa mga spatial figure ng pag-ikot, ang mga katangian at katangian nito ay pinag-aaralan ng stereometry. Sa artikulong ito, tutukuyin natin ang figure na ito at isasaalang-alang ang mga pangunahing formula na nagkokonekta sa mga linear na parameter ng isang cone kasama ang surface area at volume nito.

Ano ang kono?

Mula sa punto ng view ng geometry, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang spatial figure, na nabuo sa pamamagitan ng isang hanay ng mga tuwid na segment na nagkokonekta sa isang tiyak na punto sa espasyo sa lahat ng mga punto ng isang makinis na flat curve. Ang kurba na ito ay maaaring isang bilog o isang ellipse. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang cone.

Ang ipinakitang figure ay walang volume, dahil ang mga dingding ng ibabaw nito ay may napakaliit na kapal. Gayunpaman, kung ito ay napuno ng isang sangkap at nalilimitahan mula sa itaas hindi ng isang kurba, ngunit ng isang patag na pigura, halimbawa, isang bilog, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang solidong volumetric na katawan, na karaniwang tinatawag ding kono.

Ang hugis ng kono ay kadalasang makikita sa buhay. Kaya, mayroon itong ice cream cone o striped black at orange na traffic cone na inilalagay sa kalsada upang maakit ang atensyon ng mga kalahok sa trapiko.

Mga elemento ng cone at mga uri nito

Dahil ang cone ay hindi polyhedron, ang bilang ng mga elementong bumubuo dito ay hindi kasing laki ng para sa polyhedra. Sa geometry, ang isang pangkalahatang kono ay binubuo ng mga sumusunod na elemento:

• base, ang bounding curve na tinatawag na directrix, o generatrix;
• ng lateral surface, na siyang koleksyon ng lahat ng punto ng mga straight line segment (generatrices) na nagkokonekta sa vertex at mga punto ng guide curve;
• vertex, na siyang intersection point ng mga generatrice.

Tandaan na ang vertex ay hindi dapat nakahiga sa eroplano ng base, dahil sa kasong ito ang cone ay bumababa sa isang flat figure.

Kung gumuhit tayo ng perpendicular segment mula sa itaas hanggang sa base, makukuha natin ang taas ng figure. Kung ang huling base ay bumalandra sa geometric center, kung gayon ito ay isang tuwid na kono. Kung ang patayo ay hindi tumutugma sa geometric na sentro ng base, kung gayon ang figure ay magiging inclined.

Ang mga straight at oblique cone ay ipinapakita sa figure. Dito, ang taas at radius ng base ng kono ay tinutukoy ng h at r, ayon sa pagkakabanggit. Ang linya na nag-uugnay sa tuktok ng figure at ang geometric na sentro ng base ay ang axis ng kono. Makikita mula sa pigura na para sa isang tuwid na pigura, ang taas ay namamalagi sa axis na ito, at para sa isang hilig na pigura, ang taas ay bumubuo ng isang anggulo sa axis. Ang axis ng kono ay ipinahiwatig ng titik a.

Tuwid na kono na may bilog na base

Marahil, ang cone na ito ang pinakakaraniwan sa itinuturing na klase ng mga figure. Ito ay binubuo ng isang bilog at isang gilidibabaw. Hindi mahirap makuha ito sa pamamagitan ng mga geometric na pamamaraan. Upang gawin ito, kumuha ng isang tamang tatsulok at iikot ito sa paligid ng isang axis na tumutugma sa isa sa mga binti. Malinaw, ang binti na ito ay magiging taas ng pigura, at ang haba ng pangalawang binti ng tatsulok ay bumubuo sa radius ng base ng kono. Ang diagram sa ibaba ay nagpapakita ng inilarawang scheme para sa pagkuha ng rotation figure na pinag-uusapan.

Ang inilalarawan na tatsulok ay maaaring iikot sa isa pang binti, na magreresulta sa isang kono na may mas malaking base radius at mas mababang taas kaysa sa una.

Upang malinaw na matukoy ang lahat ng mga parameter ng isang round straight cone, dapat malaman ng isa ang alinman sa dalawa sa mga linear na katangian nito. Kabilang sa mga ito, ang radius r, ang taas h o ang haba ng generatrix g ay nakikilala. Ang lahat ng mga dami na ito ay ang mga haba ng mga gilid ng itinuturing na right-angled triangle, samakatuwid, ang Pythagorean theorem ay wasto para sa kanilang koneksyon:

g²=r²+ h^2.

Lugar sa ibabaw

Kapag pinag-aaralan ang ibabaw ng anumang three-dimensional na pigura, maginhawang gamitin ang pagbuo nito sa isang eroplano. Ang kono ay walang pagbubukod. Para sa isang bilog na kono, ang pagbuo ay ipinapakita sa ibaba.

Nakikita namin na ang paglalahad ng pigura ay binubuo ng dalawang bahagi:

1. Ang bilog na bumubuo sa base ng kono.
2. Ang sektor ng bilog, na siyang conical na ibabaw ng figure.

Ang lugar ng isang bilog ay madaling mahanap, at ang kaukulang formula ay alam ng bawat mag-aaral. Sa pagsasalita tungkol sa pabilog na sektor, tandaan namin na itoay bahagi ng isang bilog na may radius g (ang haba ng generatrix ng kono). Ang haba ng arko ng sektor na ito ay katumbas ng circumference ng base. Ginagawang posible ng mga parameter na ito na malinaw na matukoy ang lugar nito. Ang kaukulang formula ay:

S=pir2+ pirg.

Ang una at ikalawang termino sa expression ay ang kono ng base at ang gilid na ibabaw ng lugar, ayon sa pagkakabanggit.

Kung ang haba ng generator g ay hindi alam, ngunit ang taas h ng figure ay ibinigay, ang formula ay maaaring muling isulat bilang:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Ang dami ng figure

Kung kukuha tayo ng isang tuwid na pyramid at dagdagan ang bilang ng mga gilid ng base nito sa infinity, ang hugis ng base ay magiging bilog, at ang gilid na ibabaw ng pyramid ay lalapit sa conical na ibabaw. Ang mga pagsasaalang-alang na ito ay nagpapahintulot sa amin na gamitin ang formula para sa dami ng isang pyramid kapag nagkalkula ng katulad na halaga para sa isang kono. Ang volume ng isang cone ay makikita gamit ang formula:

V=1/3hS_o.

Ang formula na ito ay palaging totoo, anuman ang base ng cone, na may lugar na S_{o. Bukod dito, nalalapat din ang formula sa oblique cone.}

Dahil pinag-aaralan natin ang mga katangian ng isang straight figure na may bilog na base, magagamit natin ang sumusunod na expression upang matukoy ang volume nito:

V=1/3hpir2.

Halata ang formula.

Ang problema sa paghahanap ng surface area at volume

Hayaan ang isang kono, ang radius nito ay 10 cm, at ang haba ng generatrix ay 20tingnan ang Kailangang tukuyin ang volume at surface area para sa hugis na ito.

Upang kalkulahin ang lugar S, maaari mong agad na gamitin ang formula na nakasulat sa itaas. Mayroon kaming:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Upang matukoy ang volume, kailangan mong malaman ang taas h ng figure. Kinakalkula namin ito gamit ang ugnayan sa pagitan ng mga linear na parameter ng kono. Nakukuha namin ang:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Magagamit mo na ngayon ang formula para sa V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Tandaan na ang volume ng isang bilog na kono ay 1/3 ng silindro kung saan ito nakasulat.