Upang matukoy ang parallelism at perpendicularity ng mga eroplano, gayundin upang kalkulahin ang mga distansya sa pagitan ng mga geometric na bagay na ito, maginhawang gumamit ng isa o ibang uri ng mga numerical function. Para sa anong mga problema ito ay maginhawa upang gamitin ang equation ng isang eroplano sa mga segment? Sa artikulong ito, titingnan natin kung ano ito at kung paano ito gamitin sa mga praktikal na gawain.
Ano ang equation sa mga line segment?
Maaaring tukuyin ang isang eroplano sa 3D space sa maraming paraan. Sa artikulong ito, ibibigay ang ilan sa mga ito habang nilulutas ang mga problema ng iba't ibang uri. Dito nagbibigay kami ng isang detalyadong paglalarawan ng equation sa mga segment ng eroplano. Ito ay karaniwang may sumusunod na anyo:
x/p + y/q + z/r=1.
Kung saan ang mga simbolo na p, q, r ay tumutukoy sa ilang partikular na numero. Ang equation na ito ay madaling maisalin sa isang pangkalahatang expression at sa iba pang mga anyo ng numerical function para sa eroplano.
Ang kaginhawahan ng pagsulat ng equation sa mga segment ay nakasalalay sa katotohanang naglalaman ito ng tahasang mga coordinate ng intersection ng eroplano na may mga perpendicular coordinate axes. Sa x-axiskaugnay sa pinanggalingan, pinuputol ng eroplano ang isang segment ng haba p, sa y axis - katumbas ng q, sa z - ng haba r.
Kung ang alinman sa tatlong variable ay hindi nakapaloob sa equation, nangangahulugan ito na ang eroplano ay hindi dumaan sa katumbas na axis (sinasabi ng mga mathematician na tumatawid ito sa infinity).
Susunod, narito ang ilang problema kung saan ipapakita namin kung paano gamitin ang equation na ito.
Komunikasyon ng pangkalahatan at sa mga segment ng mga equation
Alam na ang eroplano ay ibinibigay sa pamamagitan ng sumusunod na pagkakapantay-pantay:
2x - 3y + z - 6=0.
Kailangang isulat ang pangkalahatang equation na ito ng eroplano sa mga segment.
Kapag lumitaw ang isang katulad na problema, kailangan mong sundin ang diskarteng ito: inililipat namin ang libreng termino sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay hinati namin ang buong equation sa terminong ito, sinusubukang ipahayag ito sa form na ibinigay sa nakaraang talata. Mayroon kaming:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Nakuha namin sa mga segment ang equation ng eroplano, na ibinigay sa simula sa isang pangkalahatang anyo. Kapansin-pansin na pinuputol ng eroplano ang mga segment na may haba na 3, 2 at 6 para sa x, y at z axes, ayon sa pagkakabanggit. Bina-intersect ng y-axis ang eroplano sa negative coordinate area.
Kapag gumagawa ng isang equation sa mga segment, mahalagang ang lahat ng mga variable ay nauunahan ng isang "+" sign. Sa kasong ito lamang, ipapakita ng bilang kung saan hinahati ang variable na ito ang coordinate cut off sa axis.
Normal na vector at point sa eroplano
Alam na ang ilang eroplano ay may vector ng direksyon (3; 0; -1). Ito ay kilala rin na ito ay dumadaan sa punto (1; 1; 1). Para sa eroplanong ito, sumulat ng equation sa mga segment.
Upang malutas ang problemang ito, dapat mo munang gamitin ang pangkalahatang hugis para sa two-dimensional na geometric na bagay na ito. Ang pangkalahatang anyo ay isinusulat bilang:
Ax + By + Cz + D=0.
Ang unang tatlong coefficient dito ay ang mga coordinate ng guide vector, na tinukoy sa statement ng problema, iyon ay:
A=3;
B=0;
C=-1.
Nananatili itong hanapin ang libreng termino D. Maaari itong matukoy sa pamamagitan ng sumusunod na formula:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Kung saan ang mga halaga ng coordinate na may index 1 ay tumutugma sa mga coordinate ng isang puntong kabilang sa eroplano. Pinapalitan namin ang kanilang mga halaga mula sa kondisyon ng problema, nakukuha namin ang:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Maaari mo na ngayong isulat ang buong equation:
3x - z - 2=0.
Ang pamamaraan para sa pag-convert ng expression na ito sa isang equation sa mga segment ng eroplano ay naipakita na sa itaas. Ilapat ito:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Natanggap na ang sagot sa problema. Tandaan na ang eroplanong ito ay nag-intersect lamang sa x at z axes. Para sa y ito ay parallel.
Dalawang tuwid na linya na tumutukoy sa isang eroplano
Mula sa kurso ng spatial geometry, alam ng bawat mag-aaral na dalawang arbitrary na linya ang natatanging tumutukoy sa isang eroplano satatlong-dimensional na espasyo. Lutasin natin ang isang katulad na problema.
Dalawang equation ng mga linya ang kilala:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Kailangan na isulat ang equation ng eroplano sa mga segment, na dumadaan sa mga linyang ito.
Dahil ang parehong linya ay dapat nasa eroplano, nangangahulugan ito na ang kanilang mga vectors (gabay) ay dapat na patayo sa vector (gabay) para sa eroplano. Kasabay nito, alam na ang produkto ng vector ng arbitrary na dalawang nakadirekta na mga segment ay nagbibigay ng resulta sa anyo ng mga coordinate ng pangatlo, patayo sa dalawang orihinal. Dahil sa property na ito, nakukuha namin ang mga coordinate ng isang normal na vector sa gustong eroplano:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Dahil maaari itong i-multiply sa isang arbitrary na numero, ito ay bumubuo ng isang bagong nakadirekta na segment na kahanay ng orihinal, maaari nating palitan ang tanda ng nakuha na mga coordinate ng kabaligtaran (multiply sa -1), makakakuha tayo ng:
(1; 2; 1).
Alam namin ang vector ng direksyon. Ito ay nananatiling kumuha ng arbitrary na punto ng isa sa mga tuwid na linya at iguhit ang pangkalahatang equation ng eroplano:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Isinasalin ang pagkakapantay-pantay na ito sa isang expression sa mga segment, makakakuha tayo ng:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Kaya, nag-intersect ang eroplano sa lahat ng tatlong axes sa positibong rehiyon ng coordinate system.
Tatlong puntos at isang eroplano
Tulad ng dalawang tuwid na linya, ang tatlong punto ay tumutukoy sa isang eroplano na kakaiba sa three-dimensional na espasyo. Isinulat namin ang katumbas na equation sa mga segment kung ang mga sumusunod na coordinate ng mga puntos na nakahiga sa eroplano ay kilala:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Gawin natin ang sumusunod: kalkulahin ang mga coordinate ng dalawang arbitrary na vector na nagkokonekta sa mga puntong ito, pagkatapos ay hanapin ang vector n¯ normal sa eroplano sa pamamagitan ng pagkalkula ng produkto ng mga nakitang nakadirekta na mga segment. Nakukuha namin ang:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Kunin ang puntong P bilang halimbawa, buuin ang equation ng eroplano:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 o z=0.
Nakakuha kami ng simpleng expression na tumutugma sa xy plane sa ibinigay na rectangular coordinate system. Hindi ito maaaring isulat sa mga segment, dahil ang x at y axes ay kabilang sa eroplano, at ang haba ng segment na pinutol sa z axis ay zero (ang punto (0; 0; 0) ay kabilang sa eroplano).
