Ang
Quadric equation ay madalas na lumilitaw sa ilang mga problema sa matematika at pisika, kaya dapat kayang lutasin ng bawat mag-aaral ang mga ito. Idinetalye ng artikulong ito ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation, at nagbibigay din ng mga halimbawa ng paggamit ng mga ito.
Anong equation ang tinatawag na quadratic
Una sa lahat, sasagutin namin ang tanong ng talatang ito upang mas maunawaan kung tungkol saan ang artikulo. Kaya, ang quadratic equation ay may sumusunod na pangkalahatang anyo: c + bx+ax2=0, kung saan ang a, b, c ay ilang mga numero, na tinatawag na coefficients. Narito ang a≠0 ay isang ipinag-uutos na kondisyon, kung hindi, ang ipinahiwatig na equation ay bumababa sa isang linear. Ang natitirang mga coefficient (b, c) ay maaaring tumagal ng ganap na anumang halaga, kabilang ang zero. Kaya, ang mga expression tulad ng ax2=0, kung saan b=0 at c=0, o c+ax2=0, kung saan b=0, o bx+ax2=0, kung saan ang c=0 ay mga quadratic equation din, na tinatawag na hindi kumpleto, dahil alinman sa linear coefficient b sa mga ito ay zero o zeroay isang libreng termino c, o pareho silang mawawala.
Isang equation kung saan ang a=1 ay tinatawag na reduced, ibig sabihin, mayroon itong anyo: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Ang solusyon ng isang quadratic equation ay ang paghahanap ng mga x value na makakatugon sa pagkakapantay-pantay nito. Ang mga halagang ito ay tinatawag na mga ugat. Dahil ang equation na isinasaalang-alang ay isang expression ng pangalawang degree, nangangahulugan ito na ang maximum na bilang ng mga ugat nito ay hindi maaaring lumampas sa dalawa.
Anong mga paraan para sa paglutas ng mga square equation ang umiiral
Sa pangkalahatan, mayroong 4 na paraan ng solusyon. Ang kanilang mga pangalan ay nakalista sa ibaba:
- Factoring.
- Dagdag sa parisukat.
- Paggamit ng kilalang formula (sa pamamagitan ng discriminant).
- Ang paraan ng solusyon ay geometric.
Tulad ng makikita mo mula sa listahan sa itaas, ang unang tatlong pamamaraan ay algebraic, kaya mas madalas silang ginagamit kaysa sa huli, na kinabibilangan ng pag-plot ng isang function.
May isa pang paraan upang malutas ang mga square equation gamit ang Vieta theorem. Maaari itong maisama sa ika-5 sa listahan sa itaas, gayunpaman, hindi ito nagawa, dahil ang theorem ni Vieta ay isang simpleng resulta ng ika-3 paraan.
Mamaya sa artikulo ay isasaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga pinangalanang paraan ng solusyon, at magbibigay din ng mga halimbawa ng kanilang paggamit upang mahanap ang mga ugat ng mga partikular na equation.
Paraan 1. Factoring
Para sa pamamaraang ito sa matematika ng mga quadratic equation, mayroong magandangpangalan: factorization. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay ang mga sumusunod: kinakailangang ipakita ang quadratic equation bilang isang produkto ng dalawang termino (mga expression), na dapat katumbas ng zero. Pagkatapos ng naturang representasyon, maaari mong gamitin ang property ng produkto, na magiging katumbas lang ng zero kapag zero ang isa o higit pa (lahat) ng mga miyembro nito.
Ngayon isaalang-alang ang pagkakasunod-sunod ng mga partikular na aksyon na kailangang isagawa upang mahanap ang mga ugat ng equation:
- Ilipat ang lahat ng miyembro sa isang bahagi ng expression (halimbawa, sa kaliwa) para 0 na lang ang natitira sa kabilang bahagi nito (kanan).
- Kinatawan ang kabuuan ng mga termino sa isang bahagi ng equation bilang produkto ng dalawang linear equation.
- Itakda ang bawat isa sa mga linear na expression sa zero at lutasin ang mga ito.
Tulad ng nakikita mo, medyo simple ang factorization algorithm, gayunpaman, karamihan sa mga mag-aaral ay nahihirapan sa pagpapatupad ng 2nd point, kaya ipapaliwanag namin ito nang mas detalyado.
Upang hulaan kung aling 2 linear na expression, kapag i-multiply sa bawat isa, ang magbibigay ng gustong quadratic equation, kailangan mong tandaan ang dalawang simpleng panuntunan:
- Linear coefficient ng dalawang linear na expression, kapag pinarami sa isa't isa, ay dapat magbigay ng unang coefficient ng quadratic equation, iyon ay, ang numerong a.
- Ang mga libreng termino ng mga linear na expression, kapag pinarami, ay dapat magbigay ng numerong c ng gustong equation.
Pagkatapos mapili ang lahat ng bilang ng mga salik, dapat na i-multiply ang mga ito, at kung ibibigay nila ang nais na equation, pagkatapos ay pumunta sa hakbang 3 saang algorithm sa itaas, kung hindi, dapat mong baguhin ang mga multiplier, ngunit kailangan mong gawin ito upang palaging sundin ang mga panuntunan sa itaas.
Halimbawa ng solusyon sa pamamagitan ng paraan ng factorization
Ipakita natin nang malinaw kung paano ang algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation ay bumuo at maghanap ng hindi kilalang mga ugat. Hayaang magbigay ng arbitrary na expression, halimbawa, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Lumipat tayo sa solusyon nito, na obserbahan ang pagkakasunud-sunod ng mga puntos mula 1 hanggang 3, na itinakda sa nakaraang talata ng artikulo.
Item 1. Ilipat ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga ito sa classical sequence para sa isang quadratic equation. Mayroon kaming sumusunod na pagkakapantay-pantay: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Hinahati namin ito sa isang produkto ng mga linear equation. Dahil a=1, at c=-8, pipiliin natin, halimbawa, ang naturang produkto (x-2)(x+4). Natutugunan nito ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga inaasahang salik na itinakda sa talata sa itaas. Kung bubuksan natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng: -8+2x+x2, ibig sabihin, nakukuha natin ang eksaktong parehong expression tulad ng sa kaliwang bahagi ng equation. Nangangahulugan ito na nahulaan namin nang tama ang mga multiplier, at maaari kaming magpatuloy sa ika-3 hakbang ng algorithm.
Item 3. I-equate ang bawat factor sa zero, makakakuha tayo ng: x=-4 at x=2.
Kung may anumang mga pagdududa tungkol sa resulta, inirerekumenda na suriin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga natagpuang ugat sa orihinal na equation. Sa kasong ito, mayroon kaming: 22+22-8=0 at 2(-4)+(-4)2 -8=0. Nahanap nang tama ang mga ugat.
Kaya, gamit ang paraan ng factorization, nalaman namin na ang ibinigay na equation ay may dalawang ugat ng magkaibangmay: 2 at -4.
Paraan 2. Kumpleto sa buong parisukat
Sa algebra ng mga square equation, ang multiplier na paraan ay hindi palaging magagamit, dahil sa kaso ng mga fractional na halaga ng mga coefficient ng quadratic equation, ang mga paghihirap ay lumitaw sa pagpapatupad ng talata 2 ng algorithm.
Ang buong parisukat na paraan, sa turn, ay pangkalahatan at maaaring ilapat sa mga quadratic na equation ng anumang uri. Ang kakanyahan nito ay gawin ang mga sumusunod na operasyon:
- Ang mga tuntunin ng equation na naglalaman ng mga coefficient a at b ay dapat ilipat sa isang bahagi ng equation, at ang libreng termino c sa isa pa.
- Susunod, ang mga bahagi ng pagkakapantay-pantay (kanan at kaliwa) ay dapat na hatiin sa coefficient a, ibig sabihin, ipakita ang equation sa pinababang anyo (a=1).
- Sum the terms with coefficients a and b to represent as a square of a linear equation. Dahil ang isang \u003d 1, kung gayon ang linear coefficient ay magiging katumbas ng 1, tulad ng para sa libreng termino ng linear equation, pagkatapos ay dapat itong katumbas ng kalahati ng linear coefficient ng pinababang quadratic equation. Matapos mabuo ang parisukat ng linear na expression, kinakailangang idagdag ang katumbas na numero sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, kung saan matatagpuan ang libreng termino, na nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalawak ng parisukat.
- Kunin ang square root na may "+" at "-" na mga palatandaan at lutasin ang linear equation na nakuha na.
Ang inilarawang algorithm ay maaaring sa unang tingin ay maipalagay na medyo kumplikado, gayunpaman, sa pagsasagawa, mas madaling ipatupad ito kaysa sa paraan ng factorization.
Isang halimbawa ng solusyon gamit ang full square complement
Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang quadratic equation para sa pagsasanay ng solusyon nito sa pamamagitan ng pamamaraang inilarawan sa nakaraang talata. Hayaang ibigay ang quadratic equation -10 - 6x+5x2=0. Magsisimula kaming lutasin ito kasunod ng algorithm na inilarawan sa itaas.
Item 1. Ginagamit namin ang paraan ng paglipat kapag nilulutas ang mga square equation, nakukuha namin ang: - 6x+5x2=10.
Point 2. Ang pinababang anyo ng equation na ito ay nakukuha sa pamamagitan ng paghahati sa bilang 5 ng bawat miyembro nito (kung ang parehong bahagi ay hinati o i-multiply sa parehong numero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay mapangalagaan). Bilang resulta ng mga pagbabago, nakukuha namin ang: x2 - 6/5x=2.
Item 3. Ang kalahati ng coefficient - 6/5 ay -6/10=-3/5, gamitin ang numerong ito upang kumpletuhin ang parisukat, makuha natin ang: (-3/5+x) 2 . Pinalawak namin ito at ang nagreresultang libreng termino ay dapat ibawas mula sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay upang masiyahan ang orihinal na anyo ng quadratic equation, na katumbas ng pagdaragdag nito sa kanang bahagi. Bilang resulta, makakakuha tayo ng: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Kalkulahin ang square root na may positibo at negatibong mga palatandaan at hanapin ang mga ugat: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Ang dalawang natagpuang ugat ay may mga sumusunod na halaga: x1=(√59+3)/5 at x1=(3-√59)/5.
Dahil ang mga kalkulasyong ginawa ay nauugnay sa mga ugat, malaki ang posibilidad na magkamali. Samakatuwid, inirerekomendang suriin ang kawastuhan ng mga ugat x2 at x1. Nakukuha namin para sa x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Palitan ngayonx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Kaya, ipinakita namin na ang mga natagpuang ugat ng equation ay totoo.
Paraan 3. Paglalapat ng kilalang formula
Ang pamamaraang ito ng paglutas ng mga quadratic equation ay marahil ang pinakasimple, dahil binubuo ito sa pagpapalit ng mga coefficient sa isang kilalang formula. Upang magamit ito, hindi mo kailangang mag-isip tungkol sa pag-compile ng mga algorithm ng solusyon, sapat na upang matandaan lamang ang isang formula. Ito ay ipinapakita sa larawan sa itaas.
Sa formula na ito, ang radical expression (b2-4ac) ay tinatawag na discriminant (D). Mula sa halaga nito ay nakasalalay sa kung anong mga ugat ang nakuha. Mayroong 3 kaso:
- D>0, pagkatapos ang root two equation ay may totoo at magkaiba.
- D=0, pagkatapos ay makukuha ng isa ang ugat, na maaaring kalkulahin mula sa expression na x=-b/(a2).
- D<0, pagkatapos ay makakakuha ka ng dalawang magkaibang haka-haka na mga ugat, na kinakatawan bilang mga kumplikadong numero. Halimbawa, ang bilang na 3-5i ay kumplikado, habang ang imaginary unit na i ay nakakatugon sa property: i2=-1.
Isang halimbawa ng solusyon sa pamamagitan ng pagkalkula ng discriminant
Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang quadratic equation para sanayin gamit ang formula sa itaas. Hanapin ang mga ugat para sa -3x2-6+3x+4x=0. Una, kalkulahin ang halaga ng discriminant, makakakuha tayo ng: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Dahil nakuha ang D<0, nangangahulugan ito na ang mga ugat ng itinuturing na equation ay mga kumplikadong numero. Hanapin natin ang mga ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng nahanap na halaga D sa formula na ibinigay sa nakaraang talata (ito ay ipinapakita din sa larawan sa itaas). Nakukuha namin ang: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Paraan 4. Gamit ang Function Graph
Tinatawag din itong graphical na paraan para sa paglutas ng mga square equation. Dapat sabihin na, bilang panuntunan, ginagamit ito hindi para sa quantitative, ngunit para sa qualitative analysis ng equation na isinasaalang-alang.
Ang esensya ng pamamaraan ay ang pagbalangkas ng isang quadratic function na y=f(x), na isang parabola. Pagkatapos, kinakailangan upang matukoy kung saang mga punto ang parabola ay nag-intersect sa x-axis (X), sila ang magiging mga ugat ng katumbas na equation.
Upang malaman kung ang isang parabola ay magsalubong sa X axis, sapat na upang malaman ang posisyon ng pinakamababa (maximum) nito at ang direksyon ng mga sanga nito (maaari silang tumaas o bumaba). Mayroong dalawang katangian ng curve na ito na dapat tandaan:
- Kung a>0 - ang mga parabola ng sangay ay nakadirekta pataas, sa kabaligtaran, kung a<0, pagkatapos ay bumaba ang mga ito.
- Ang minimum (maximum) coordinate ng isang parabola ay palaging x=-b/(2a).
Halimbawa, kailangan mong tukuyin kung ang equation na -4x+5x2+10=0 ay may mga ugat. Ang katumbas na parabola ay ididirekta pataas, dahil ang isang=5>0. Ang extremum nito ay may mga coordinate: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Since ang minimum ng curve ay nasa itaas ng x-axis (y=9, 2), pagkatapos ay hindi ito bumalandra sa huli para sa anumangx na mga halaga. Ibig sabihin, walang tunay na ugat ang ibinigay na equation.
Vieta's theorem
Tulad ng nabanggit sa itaas, ang theorem na ito ay bunga ng paraan No. 3, na nakabatay sa paggamit ng isang formula na may discriminant. Ang kakanyahan ng Vieta theorem ay nagbibigay-daan sa iyo upang ikonekta ang mga coefficient ng equation at ang mga ugat nito sa pagkakapantay-pantay. Kunin natin ang katumbas na pagkakapantay-pantay.
Gamitin natin ang formula para sa pagkalkula ng mga ugat sa pamamagitan ng discriminant. Magdagdag ng dalawang ugat, makakakuha tayo ng: x1+x2=-b/a. Ngayon, paramihin natin ang mga ugat sa isa't isa: x1x2, pagkatapos ng serye ng mga pagpapasimple ay makukuha natin ang numerong c/a.
Kaya, upang malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng Vieta theorem, maaari mong gamitin ang nakuhang dalawang equalities. Kung ang lahat ng tatlong coefficient ng isang equation ay kilala, kung gayon ang mga ugat ay makikita sa pamamagitan ng paglutas ng naaangkop na sistema ng dalawang equation na ito.
Isang halimbawa ng paggamit ng theorem ni Vieta
Kailangan mong magsulat ng quadratic equation kung alam mong mayroon itong anyong x2+c=-bx at ang mga ugat nito ay 3 at -4.
Dahil a=1 sa equation na isinasaalang-alang, ang mga formula ng Vieta ay magiging ganito: x2+x1=-b at x2x1=p. Ang pagpapalit ng mga kilalang halaga ng mga ugat, nakukuha natin: b=1 at c=-12. Bilang resulta, ang ibinalik na quadratic na pinababang equation ay magiging ganito ang hitsura: x2-12=-1x. Maaari mong palitan ang halaga ng mga ugat dito at tiyaking nananatili ang pagkakapantay-pantay.
Reverse application ng Vieta theorem, iyon ay, ang pagkalkula ng mga ugat sa pamamagitan ngkilalang anyo ng equation, nagbibigay-daan para sa maliliit na integer na a, b at c na mabilis (intuitively) na makahanap ng mga solusyon.
