Ang mundo ay inayos sa paraang ang solusyon ng maraming problema ay bumaba sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation. Ang mga ugat ng mga equation ay mahalaga para sa paglalarawan ng iba't ibang mga pattern. Ito ay kilala maging ng mga surveyor ng sinaunang Babilonya. Napilitan din ang mga astronomo at inhinyero na lutasin ang mga ganitong problema. Noong ika-6 na siglo AD, binuo ng Indian scientist na si Aryabhata ang mga pangunahing kaalaman sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation. Nakumpleto ang mga formula noong ika-19 na siglo.
Mga pangkalahatang konsepto
Iniimbitahan ka naming maging pamilyar sa mga pangunahing regularidad ng mga parisukat na pagkakapantay-pantay. Sa pangkalahatan, ang pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
ax2 + bx + c=0, Ang bilang ng mga ugat ng isang quadratic equation ay maaaring katumbas ng isa o dalawa. Maaaring gumawa ng mabilis na pagsusuri gamit ang konsepto ng discriminant:
D=b2 - 4ac
Depende sa nakalkulang halaga, makakakuha tayo ng:
- Kapag D > 0 mayroong dalawang magkaibang ugat. Ang pangkalahatang formula para sa pagtukoy ng mga ugat ng isang quadratic equation ay mukhang (-b± √D) / (2a).
- D=0, sa kasong ito ang ugat ay isa at tumutugma sa halagang x=-b / (2a)
- D < 0, para sa negatibong halaga ng discriminant, walang solusyon sa equation.
Tandaan: kung ang discriminant ay negatibo, ang equation ay walang mga ugat lamang sa rehiyon ng mga tunay na numero. Kung ang algebra ay pinalawak sa konsepto ng kumplikadong mga ugat, ang equation ay may solusyon.
Magbigay tayo ng isang hanay ng mga aksyon na nagpapatunay sa formula para sa paghahanap ng mga ugat.
Mula sa pangkalahatang anyo ng equation, sumusunod ito:
ax2 + bx=-c
Mini-multiply natin ang kanan at kaliwang bahagi sa 4a at idinaragdag ang b2, makakakuha tayo ng
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Ibahin ang kaliwang bahagi sa parisukat ng polynomial (2ax + b)2. Kinukuha namin ang square root ng magkabilang panig ng equation na 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), ilipat ang coefficient b sa kanang bahagi, nakukuha namin ang:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Mula rito ay sumusunod:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Ano ang kailangang ipakita.
Espesyal na kaso
Sa ilang mga kaso, ang solusyon sa problema ay maaaring gawing simple. Kaya, para sa pantay na koepisyent b nakakakuha tayo ng mas simpleng formula.
Ipahiwatig ang k=1/2b, pagkatapos ay ang formula ng pangkalahatang anyo ng mga ugat ng quadratic equation ay nasa anyo:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Kapag D=0, makukuha natin ang x=-k / a
Ang isa pang espesyal na kaso ay ang solusyon ng equation na may a=1.
Para sa anyong x2 + bx + c=0 ang mga ugat ay magiging x=-k ± √(k2 - c) na may diskriminasyong higit sa 0. Para sa kaso kapag D=0, ang ugat ay tutukuyin sa pamamagitan ng isang simpleng formula: x=-k.
Gumamit ng mga chart
Sinumang tao, nang hindi man lang nalalaman, ay patuloy na nahaharap sa pisikal, kemikal, biyolohikal at maging panlipunang phenomena na mahusay na inilarawan ng isang quadratic function.
Tandaan: ang curve na binuo batay sa isang quadratic function ay tinatawag na parabola.
Narito ang ilang halimbawa.
- Kapag kinakalkula ang trajectory ng projectile, ginagamit ang property ng paggalaw kasama ang isang parabola ng isang katawan na pinaputok sa isang anggulo sa abot-tanaw.
- Ang pag-aari ng isang parabola upang pantay na ipamahagi ang load ay malawakang ginagamit sa arkitektura.
Pag-unawa sa kahalagahan ng parabolic function, alamin natin kung paano gamitin ang graph upang tuklasin ang mga katangian nito, gamit ang mga konsepto ng "discriminant" at "roots of a quadratic equation".
Depende sa value ng coefficients a at b, may anim lang na opsyon para sa posisyon ng curve:
- Ang discriminant ay positibo, ang a at b ay may magkaibang senyales. Ang mga sanga ng parabola ay tumitingin, ang quadratic equation ay may dalawang solusyon.
- Discriminant at coefficient b ay katumbas ng zero, coefficient a ay mas malaki sa zero. Ang graph ay nasa positive zone, ang equation ay may 1 root.
- Ang discriminant at lahat ng coefficient ay positibo. Walang solusyon ang quadratic equation.
- Discriminant at coefficient a ay negatibo, ang b ay mas malaki sa zero. Ang mga sanga ng graph ay nakadirekta pababa, ang equation ay may dalawang ugat.
- Discriminant atang coefficient b ay katumbas ng zero, ang coefficient a ay negatibo. Ang parabola ay tumitingin sa ibaba, ang equation ay may isang ugat.
- Ang mga halaga ng discriminant at lahat ng coefficient ay negatibo. Walang mga solusyon, ang mga halaga ng function ay ganap na nasa negatibong sona.
Tandaan: ang opsyon a=0 ay hindi isinasaalang-alang, dahil sa kasong ito ang parabola ay bumababa sa isang tuwid na linya.
Lahat ng nasa itaas ay mahusay na inilalarawan ng figure sa ibaba.
Mga halimbawa ng paglutas ng problema
Kondisyon: gamit ang mga pangkalahatang katangian, gumawa ng quadratic equation na ang mga ugat ay katumbas ng isa't isa.
Solusyon:
ayon sa kondisyon ng problema x1 =x2, o -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Pinasimple ang notasyon:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad na termino. Ang equation ay nagiging 2√(b2 - 4ac)=0. Totoo ang pahayag na ito kapag b2 - 4ac=0, kaya b 2=4ac, pagkatapos ay ang value b=2√(ac) ay inihahalili sa equation
ax2 + 2√(ac)x + c=0, sa pinababang anyo ay makakakuha tayo ng x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Sagot:
para sa hindi katumbas ng 0 at anumang c, mayroon lamang isang solusyon kung b=2√(c / a).
Ang Quadric equation, para sa lahat ng kanilang pagiging simple, ay napakahalaga sa mga kalkulasyon ng engineering. Halos anumang pisikal na proseso ay maaaring ilarawan gamit ang ilang pagtatantyakapangyarihan function ng order n. Ang quadratic equation ang magiging unang tulad ng approximation.
