Ang ilang mga problema sa matematika ay nangangailangan ng kakayahang kalkulahin ang square root. Kasama sa mga problemang ito ang paglutas ng mga second-order equation. Sa artikulong ito, nagpapakita kami ng mabisang paraan para sa pagkalkula ng mga square root at ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation.
Ano ang square root?
Sa matematika, ang konseptong ito ay tumutugma sa simbolo na √. Sinasabi ng makasaysayang data na nagsimula itong gamitin sa unang pagkakataon noong unang kalahati ng ika-16 na siglo sa Germany (ang unang gawaing Aleman sa algebra ni Christoph Rudolf). Naniniwala ang mga siyentipiko na ang simbolo na ito ay isang binagong Latin na letrang r (ang ibig sabihin ng radix ay "ugat" sa Latin).
Ang ugat ng anumang numero ay katumbas ng naturang halaga, ang parisukat nito ay tumutugma sa root expression. Sa wika ng matematika, ang kahulugang ito ay magiging ganito: √x=y kung y2=x.
Ang ugat ng isang positibong numero (x > 0) ayisang positibong numero (y > 0), ngunit kung ang ugat ay kinuha mula sa isang negatibong numero (x < 0), kung gayon ang resulta nito ay magiging isang kumplikadong numero, kasama ang haka-haka na yunit i.
Narito ang dalawang simpleng halimbawa:
√9=3 dahil 32 =9; √(-9)=3i dahil i2=-1.
Ang iterative formula ni Heron para sa paghahanap ng mga square root
Ang mga halimbawa sa itaas ay napakasimple, at ang pagkalkula ng mga ugat sa mga ito ay hindi mahirap. Ang mga paghihirap ay nagsisimula nang lumitaw kapag hinahanap ang mga halaga ng ugat para sa anumang halaga na hindi maaaring kinakatawan bilang isang parisukat ng isang natural na numero, halimbawa √10, √11, √12, √13, hindi banggitin ang katotohanan na sa pagsasanay ito ay kinakailangan upang makahanap ng mga ugat para sa mga hindi integer na numero: halimbawa √(12, 15), √(8, 5) at iba pa.
Sa lahat ng mga kaso sa itaas, isang espesyal na paraan ng pagkalkula ng square root ang dapat gamitin. Sa kasalukuyan, maraming mga ganitong pamamaraan ang kilala: halimbawa, pagpapalawak sa isang serye ng Taylor, paghahati sa isang hanay, at ilang iba pa. Sa lahat ng kilalang pamamaraan, marahil ang pinakasimple at pinakaepektibo ay ang paggamit ng iterative formula ni Heron, na kilala rin bilang Babylonian na paraan para sa pagtukoy ng mga square root (may ebidensya na ginamit ito ng mga sinaunang Babylonians sa kanilang mga praktikal na kalkulasyon).
Hayaan itong kinakailangan upang matukoy ang halaga ng √x. Ang formula para sa paghahanap ng square root ay ang mga sumusunod:
an+1=1/2(a+x/a), where limn->∞(a)=> x.
Decipher itong mathematical notation. Upang kalkulahin ang √x, dapat kang kumuha ng ilang numero na a0 (maaari itong maging arbitrary, ngunit para sa mabilis na resulta, dapat mong piliin ito nang ganoon (a0) 2 ay mas malapit hangga't maaari sa x, pagkatapos ay palitan ito sa tinukoy na square root formula at kumuha ng bagong numero na a1, na magiging mas malapit sa nais na halaga. kinakailangang palitan ang isang1 sa expression at makakuha ng2 Dapat na ulitin ang pamamaraang ito hanggang sa makuha ang kinakailangang katumpakan.
Isang halimbawa ng paglalapat ng iterative formula ni Heron
Ang algorithm na inilarawan sa itaas para sa pagkuha ng square root ng ilang ibinigay na numero ay maaaring mukhang medyo kumplikado at nakakalito para sa marami, ngunit sa katotohanan ang lahat ay nagiging mas simple, dahil ang formula na ito ay mabilis na nagsasama-sama (lalo na kung isang masuwerteng numero ay pinili ng 0).
Kunin natin ang isang simpleng halimbawa: kailangan nating kalkulahin ang √11. Pumili kami ng0=3, dahil 32=9, na mas malapit sa 11 kaysa 42=16. Ang pagpapalit sa formula, makakakuha tayo ng:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Walang saysay ang ipagpatuloy ang mga kalkulasyon, dahil nakuha namin na ang a2 at a3 ay nagsisimulang mag-iba lamang sa ika-5 decimal lugar. Kaya, ito ay sapat na upang ilapat lamang ng 2 beses ang formula sakalkulahin ang √11 hanggang sa loob ng 0.0001.
Sa kasalukuyan, malawakang ginagamit ang mga calculator at computer upang kalkulahin ang mga ugat, gayunpaman, kapaki-pakinabang na tandaan ang minarkahang formula upang magawang manu-manong kalkulahin ang eksaktong halaga ng mga ito.
Mga equation ng pangalawang order
Ang pag-unawa sa kung ano ang square root at ang kakayahang kalkulahin ito ay ginagamit sa paglutas ng mga quadratic equation. Ang mga equation na ito ay mga pagkakapantay-pantay sa isang hindi alam, ang pangkalahatang anyo nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Narito ang c, b at a ay ilang mga numero, at ang a ay hindi dapat katumbas ng zero, at ang mga halaga ng c at b ay maaaring maging ganap na arbitrary, kabilang ang zero.
Anumang mga halaga ng x na nakakatugon sa pagkakapantay-pantay na ipinahiwatig sa figure ay tinatawag na mga ugat nito (ang konsepto na ito ay hindi dapat malito sa square root √). Dahil ang equation na isinasaalang-alang ay may 2nd order (x2), kung gayon ay hindi maaaring higit sa dalawang numero para sa mga ugat nito. Tingnan natin kung paano mahahanap ang mga ugat na ito sa ibang pagkakataon sa artikulo.
Paghanap ng mga ugat ng isang quadratic equation (formula)
Ang pamamaraang ito ng paglutas ng itinuturing na uri ng pagkakapantay-pantay ay tinatawag ding unibersal, o ang pamamaraan sa pamamagitan ng discriminant. Maaari itong ilapat sa anumang quadratic equation. Ang formula para sa discriminant at mga ugat ng quadratic equation ay ang mga sumusunod:
Ito ay nagpapakita na ang mga ugat ay nakadepende sa halaga ng bawat isa sa tatlong coefficient ng equation. Bukod dito, ang pagkalkulax1 ay naiiba sa pagkalkula x2 lamang sa pamamagitan ng sign bago ang square root. Ang radikal na ekspresyon, na katumbas ng b2 - 4ac, ay hindi hihigit sa diskriminasyon sa itinuturing na pagkakapantay-pantay. Ang discriminant sa formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation ay gumaganap ng isang mahalagang papel dahil tinutukoy nito ang bilang at uri ng mga solusyon. Kaya, kung ito ay zero, pagkatapos ay magkakaroon lamang ng isang solusyon, kung ito ay positibo, kung gayon ang equation ay may dalawang tunay na ugat, sa wakas, ang negatibong discriminant ay humahantong sa dalawang kumplikadong mga ugat x1 at x 2.
Vieta's theorem o ilang katangian ng mga ugat ng second-order equation
Sa pagtatapos ng ika-16 na siglo, nakuha ng isa sa mga tagapagtatag ng modernong algebra, ang Frenchman na si Francois Viet, na nag-aaral ng mga second-order equation, ang mga katangian ng mga ugat nito. Sa matematika, maaari silang isulat ng ganito:
x1 + x2=-b / a at x1 x 2=c / a.
Ang parehong pagkakapantay-pantay ay madaling makuha ng sinuman, para dito kinakailangan lamang na magsagawa ng naaangkop na mga operasyong matematika na may mga ugat na nakuha sa pamamagitan ng formula na may discriminant.
Ang kumbinasyon ng dalawang expression na ito ay maaaring marapat na tawaging pangalawang formula ng mga ugat ng isang quadratic equation, na ginagawang posible na hulaan ang mga solusyon nito nang hindi ginagamit ang discriminant. Dapat tandaan dito na bagama't ang parehong mga expression ay palaging wasto, ito ay maginhawa upang gamitin ang mga ito upang malutas ang isang equation lamang kung ito ay maaaring i-factor.
Ang gawain ng pagsasama-sama ng nakuhang kaalaman
Let's solve a mathematical problem kung saan ipapakita natin ang lahat ng techniques na tinalakay sa article. Ang mga kondisyon ng problema ay ang mga sumusunod: kailangan mong maghanap ng dalawang numero kung saan ang produkto ay -13, at ang kabuuan ay 4.
Ang kundisyong ito ay agad na nagpapaalala sa teorama ni Vieta, na naglalapat ng mga pormula para sa kabuuan ng mga square root at kanilang produkto, isinusulat namin:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Ipagpalagay na a=1, pagkatapos b=-4 at c=-13. Ang mga coefficient na ito ay nagbibigay-daan sa amin na magsulat ng pangalawang order equation:
x2 - 4x - 13=0.
Gamitin ang formula na may discriminant, makukuha natin ang mga sumusunod na ugat:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Ibig sabihin, ang gawain ay binawasan sa paghahanap ng numerong √68. Tandaan na 68=417, pagkatapos ay gamit ang square root property, makukuha natin ang: √68=2√17.
Ngayon, gamitin natin ang itinuturing na square root formula: a0=4, pagkatapos ay:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Hindi na kailangang kalkulahin ang isang3 dahil ang mga nahanap na value ay 0.02 lang ang pagkakaiba. Kaya, √68=8.246. Pinapalitan ito sa formula para sa x 1, 2, makuha natin ang:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 at x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Sa nakikita mo, ang kabuuan ng mga nahanap na numero ay talagang 4, ngunit kung mahanap mo ang kanilang produkto, ito ay magiging katumbas ng -12,999, na nakakatugon sa kondisyon ng problema na may katumpakan na 0.001.
