Ang lugar ng isang pinutol na kono. Formula at halimbawa ng problema

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Ang mga pigura ng rebolusyon sa geometry ay binibigyan ng espesyal na atensyon kapag pinag-aaralan ang kanilang mga katangian at katangian. Ang isa sa kanila ay isang pinutol na kono. Nilalayon ng artikulong ito na sagutin ang tanong kung anong formula ang maaaring gamitin upang kalkulahin ang lugar ng isang pinutol na kono.

Aling figure ang pinag-uusapan natin?

Bago ilarawan ang lugar ng isang pinutol na kono, kinakailangang magbigay ng eksaktong geometric na kahulugan ng figure na ito. Ang pinutol ay tulad ng isang kono, na nakuha bilang isang resulta ng pagputol ng vertex ng isang ordinaryong kono ng isang eroplano. Sa kahulugan na ito, dapat bigyang-diin ang isang bilang ng mga nuances. Una, ang eroplano ng seksyon ay dapat na parallel sa eroplano ng base ng kono. Pangalawa, ang orihinal na pigura ay dapat na isang pabilog na kono. Siyempre, maaari itong maging isang elliptical, hyperbolic at iba pang uri ng figure, ngunit sa artikulong ito ay paghigpitan natin ang ating sarili na isaalang-alang lamang ang isang pabilog na kono. Ang huli ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Madaling hulaan na maaari itong makuha hindi lamang sa tulong ng isang seksyon sa pamamagitan ng isang eroplano, kundi pati na rin sa tulong ng isang rotation operation. Para saUpang gawin ito, kailangan mong kumuha ng trapezoid na may dalawang tamang anggulo at paikutin ito sa gilid na katabi ng mga tamang anggulo na ito. Bilang resulta, ang mga base ng trapezoid ay magiging radii ng mga base ng truncated cone, at ang lateral inclined side ng trapezoid ay maglalarawan sa conical surface.

Pagbuo ng hugis

Isinasaalang-alang ang ibabaw na lugar ng isang pinutol na kono, kapaki-pakinabang na dalhin ang pag-unlad nito, iyon ay, ang imahe ng ibabaw ng isang three-dimensional na pigura sa isang eroplano. Nasa ibaba ang isang pag-scan ng pinag-aralan na figure na may mga arbitrary na parameter.

Makikita na ang lugar ng pigura ay binubuo ng tatlong bahagi: dalawang bilog at isang pinutol na bilog na segment. Malinaw, upang matukoy ang kinakailangang lugar, kinakailangan upang magdagdag ng mga lugar ng lahat ng pinangalanang mga numero. Solusyonan natin ang problemang ito sa susunod na talata.

Truncated cone area

Para mas madaling maunawaan ang sumusunod na pangangatwiran, ipinakilala namin ang sumusunod na notasyon:

• r1, r2 - radii ng malaki at maliit na base ayon sa pagkakabanggit;
• h - taas ng pigura;
• g - generatrix ng kono (ang haba ng pahilig na bahagi ng trapezoid).

Ang lugar ng mga base ng isang pinutol na kono ay madaling kalkulahin. Isulat natin ang kaukulang mga expression:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Ang lugar ng isang bahagi ng pabilog na segment ay medyo mas mahirap tukuyin. Kung iniisip natin na ang sentro ng pabilog na sektor na ito ay hindi pinutol, kung gayon ang radius nito ay magiging katumbas ng halaga G. Hindi mahirap kalkulahin ito kung isasaalang-alang natin ang kaukulangmagkatulad na right-angled cone triangles. Ito ay katumbas ng:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Kung gayon ang lugar ng buong pabilog na sektor, na itinayo sa radius G at umaasa sa isang arko na may haba na 2pir₁, ay magiging katumbas sa:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Ngayon, tukuyin natin ang lugar ng maliit na pabilog na sektor na S₂, na kakailanganing ibawas sa S₁. Ito ay katumbas ng:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Ang lugar ng conical truncated surface S_bay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng S₁ at S ₂. Nakukuha namin ang:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Sa kabila ng ilang masalimuot na kalkulasyon, nakakuha kami ng medyo simpleng expression para sa area ng side surface ng figure.

Pagdaragdag ng mga lugar ng mga base at S_b, dumating tayo sa formula para sa lugar ng pinutol na kono:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Kaya, upang kalkulahin ang halaga ng S ng pinag-aralan na figure, kailangan mong malaman ang tatlong linear na parameter nito.

Halimbawang problema

Pabilog na tuwid na konona may radius na 10 cm at taas na 15 cm ay pinutol ng isang eroplano upang ang isang regular na pinutol na kono ay nakuha. Alam na ang distansya sa pagitan ng mga base ng pinutol na figure ay 10 cm, ito ay kinakailangan upang mahanap ang surface area nito.

Para magamit ang formula para sa lugar ng isang pinutol na kono, kailangan mong hanapin ang tatlo sa mga parameter nito. Isang kilala namin:

r₁=10 cm.

Madaling kalkulahin ang dalawa pa kung isasaalang-alang namin ang magkatulad na mga right-angled na triangles, na nakukuha bilang resulta ng axial section ng cone. Isinasaalang-alang ang kalagayan ng problema, makakakuha tayo ng:

r₂=105/15=3.33 cm.

Sa wakas, ang magiging gabay ng pinutol na kono g ay:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12.02 cm.

Ngayon ay maaari mo nang palitan ang mga value na r₁, r₂ at g sa formula para sa S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851.93 cm} 2.

Ang gustong surface area ng figure ay humigit-kumulang 852 cm².