Derivation ng formula para sa lugar ng isang kono. Halimbawa ng solusyon sa problema

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Ang pag-aaral ng mga katangian ng spatial figure ay may mahalagang papel sa paglutas ng mga praktikal na problema. Ang agham na tumatalakay sa mga pigura sa kalawakan ay tinatawag na stereometry. Sa artikulong ito, mula sa punto ng view ng solid geometry, isasaalang-alang namin ang isang kono at ipapakita kung paano hanapin ang lugar ng isang kono.

Cone na may bilog na base

Sa pangkalahatang kaso, ang cone ay isang ibabaw na itinayo sa ilang curve ng eroplano, ang lahat ng mga punto ay konektado ng mga segment na may isang punto sa espasyo. Ang huli ay tinatawag na tuktok ng kono.

Mula sa kahulugan sa itaas, malinaw na ang curve ay maaaring magkaroon ng arbitraryong hugis, gaya ng parabolic, hyperbolic, elliptical, at iba pa. Gayunpaman, sa pagsasanay at sa mga problema sa geometry, madalas itong isang bilog na kono na madalas na nakatagpo. Ito ay ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Dito ang simbolo r ay nagsasaad ng radius ng bilog na matatagpuan sa base ng figure, ang h ay ang patayo sa eroplano ng bilog, na iginuhit mula sa tuktok ng figure. Ito ay tinatawag na taas. Ang value na s ay ang generatrix ng cone, o ang generatrix nito.

Makikita na ang mga segment na r, h at sbumuo ng isang tamang tatsulok. Kung ito ay pinaikot sa paligid ng leg h, pagkatapos ay ang hypotenuse s ay ilalarawan ang conical na ibabaw, at ang binti r ay bumubuo ng bilog na base ng figure. Para sa kadahilanang ito, ang kono ay itinuturing na isang pigura ng rebolusyon. Ang tatlong pinangalanang linear na parameter ay magkakaugnay ng pagkakapantay-pantay:

s²=r²+ h²

Tandaan na ang ibinigay na pagkakapantay-pantay ay may bisa lamang para sa isang bilog na tuwid na kono. Ang isang tuwid na figure ay lamang kung ang taas nito ay bumagsak nang eksakto sa gitna ng base na bilog. Kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, kung gayon ang pigura ay tinatawag na pahilig. Ang pagkakaiba sa pagitan ng straight at oblique cone ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Pagbuo ng hugis

Ang pag-aaral sa surface area ng isang cone ay maginhawang gawin, kung isasaalang-alang ito sa isang eroplano. Ang ganitong paraan ng pagre-represent sa ibabaw ng mga figure sa espasyo ay tinatawag na kanilang pag-unlad. Para sa isang kono, ang pag-unlad na ito ay maaaring makuha tulad ng sumusunod: kailangan mong kumuha ng figure na ginawa, halimbawa, mula sa papel. Pagkatapos, gamit ang gunting, putulin ang bilog na base sa paligid ng circumference. Pagkatapos nito, kasama ang generatrix, gumawa ng isang hiwa ng conical surface at i-on ito sa isang eroplano. Ang resulta ng mga simpleng operasyong ito ay ang pagbuo ng cone, na ipinapakita sa figure sa ibaba.

Tulad ng nakikita mo, ang ibabaw ng isang kono ay talagang maipapakita sa isang eroplano. Binubuo ito ng sumusunod na dalawang bahagi:

• circle na may radius r na kumakatawan sa base ng figure;
• circular sector na may radius g, na isang conical surface.

Ang formula para sa lugar ng isang kono ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga bahagi ng parehong nakabukang ibabaw.

Kalkulahin ang surface area ng isang figure

Hatiin natin ang gawain sa dalawang yugto. Una naming mahanap ang lugar ng base ng kono, pagkatapos ay ang lugar ng conical surface.

Ang unang bahagi ng problema ay madaling lutasin. Dahil ang radius r ay ibinigay, sapat na upang maalala ang kaukulang expression para sa lugar ng isang bilog upang makalkula ang lugar ng base. Isulat natin ito:

S_o=pi × r²

Kung hindi alam ang radius, dapat mo munang hanapin ito gamit ang formula ng kaugnayan sa pagitan nito, taas at generator.

Ang pangalawang bahagi ng problema sa paghahanap ng lugar ng isang kono ay medyo mas kumplikado. Tandaan na ang pabilog na sektor ay itinayo sa radius g ng generatrix at nililimitahan ng isang arko na ang haba ay katumbas ng circumference ng bilog. Ang katotohanang ito ay nagpapahintulot sa iyo na isulat ang proporsyon at hanapin ang anggulo ng isinasaalang-alang na sektor. Tukuyin natin ito ng letrang Griyego na φ. Ang anggulong ito ay magiging katumbas ng:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Pag-alam sa gitnang anggulo φ ng isang pabilog na sektor, maaari mong gamitin ang naaangkop na proporsyon upang mahanap ang lugar nito. Tukuyin natin ito ng simbolong S_b. Ito ay magiging katumbas ng:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Ibig sabihin, ang lugar ng conical surface ay tumutugma sa produkto ng generatrix g, ang radius ng base r at ang numerong Pi.

Pag-alam kung ano ang mga bahagi ng parehoitinuturing na mga ibabaw, maaari nating isulat ang panghuling formula para sa lugar ng isang kono:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Ang nakasulat na expression ay nagpapalagay ng kaalaman sa dalawang linear na parameter ng cone upang makalkula ang S. Kung hindi alam ang g o r, makikita ang mga ito sa taas na h.

Ang problema sa pagkalkula ng area ng isang kono

Alam na ang taas ng isang bilog na tuwid na kono ay katumbas ng diameter nito. Kinakailangang kalkulahin ang lugar ng figure, alam na ang lugar ng bits base ay 50 cm².

Pag-alam sa lugar ng isang bilog, mahahanap mo ang radius ng figure. Mayroon kaming:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Ngayon hanapin natin ang generator g sa mga tuntunin ng h at r. Ayon sa kondisyon, ang taas h ng figure ay katumbas ng dalawang radii r, pagkatapos ay:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Ang nahanap na mga formula para sa g at r ay dapat ipalit sa expression para sa buong lugar ng kono. Nakukuha namin ang:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Sa resultang expression ay pinapalitan natin ang lugar ng base S_o at isulat ang sagot: S ≈ 161.8 cm².