Formula para sa pagtukoy ng volume ng isang kono. Halimbawa ng solusyon sa problema

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Ang bawat estudyante sa pag-aaral ng stereometry sa high school ay nakatagpo ng isang kono. Dalawang mahalagang katangian ng spatial figure na ito ay ang surface area at volume. Sa artikulong ito, ipapakita namin kung paano hanapin ang volume ng isang bilog na kono.

Round cone bilang figure ng pag-ikot ng right triangle

Bago direktang pumunta sa paksa ng artikulo, kailangang ilarawan ang kono mula sa geometric na punto ng view.

Magkaroon ng tamang tatsulok. Kung paikutin mo ito sa alinman sa mga binti, ang resulta ng pagkilos na ito ay ang gustong figure, na ipinapakita sa figure sa ibaba.

Dito, ang leg AB ay bahagi ng axis ng cone, at ang haba nito ay tumutugma sa taas ng figure. Ang pangalawang binti (segment CA) ang magiging radius ng kono. Sa panahon ng pag-ikot, ilalarawan nito ang isang bilog na nagbubuklod sa base ng pigura. Ang hypotenuse BC ay tinatawag na generatrix ng figure, o generatrix nito. Ang point B ay ang tanging vertex ng cone.

Dahil sa mga katangian ng tatsulok na ABC, maaari nating isulat ang ugnayan sa pagitan ng generatrix g, radius r at taas h tulad ng sumusunodpagkakapantay-pantay:

g²=h²+ r²

Ang formula na ito ay kapaki-pakinabang sa paglutas ng maraming geometric na problema sa figure na pinag-uusapan.

Cone volume formula

Ang dami ng anumang spatial figure ay ang lugar ng espasyo, na nililimitahan ng mga ibabaw ng figure na ito. Mayroong dalawang ganoong surface para sa isang cone:

1. Lateral, o conical. Ito ay nabuo ng lahat ng generatrice.
2. Foundation. Sa kasong ito, ito ay isang bilog.

Kunin ang formula para sa pagtukoy ng volume ng isang kono. Upang gawin ito, pinutol namin ito sa pag-iisip sa maraming mga layer na kahanay sa base. Ang bawat isa sa mga layer ay may kapal na dx, na may posibilidad na maging zero. Ang lugar na S_xng layer sa layong x mula sa tuktok ng figure ay katumbas ng sumusunod na expression:

S_x=pir²x²/h ²

Ang validity ng expression na ito ay maaaring ma-verify nang intuitive sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga value na x=0 at x=h. Sa unang kaso, makakakuha tayo ng isang lugar na katumbas ng zero, sa pangalawang kaso, ito ay magiging katumbas ng area ng round base.

Upang matukoy ang volume ng cone, kailangan mong magdagdag ng maliliit na "volume" ng bawat layer, ibig sabihin, dapat mong gamitin ang integral calculus:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Pagkalkula ng integral na ito, nakarating tayo sa panghuling formula para sa isang round cone:

V=1/3pir²h

Nakakatuwang tandaan na ang formula na ito ay ganap na katulad ng ginamit upang kalkulahin ang volume ng isang arbitrary pyramid. Ang pagkakataong ito ay hindi sinasadya, dahil ang anumang pyramid ay nagiging isang kono kapag ang bilang ng mga gilid nito ay tumaas hanggang sa infinity.

Problema sa Pagkalkula ng Dami

Kapaki-pakinabang na magbigay ng halimbawa ng paglutas ng problema, na magpapakita ng paggamit ng hinangong formula para sa volume na V.

Binigyan ng round cone na ang base area ay 37 cm², at ang generator ng figure ay tatlong beses sa radius. Ano ang volume ng kono?

May karapatan tayong gamitin ang volume formula kung alam natin ang dalawang dami: ang taas h at ang radius r. Hanapin natin ang mga formula na tumutukoy sa mga ito alinsunod sa kondisyon ng problema.

Radius r ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pag-alam sa lugar ng bilog S_o, mayroon tayong:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Gamit ang kondisyon ng problema, isinusulat namin ang pagkakapantay-pantay para sa generator g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Alam ang mga formula para sa r at g, kalkulahin ang taas h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Nahanap namin ang lahat ng kinakailangang parameter. Ngayon ay oras na para isaksak ang mga ito sa formula para sa V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Nananatili itong kapalitbase area S_o at kalkulahin ang volume value: V=119.75 cm³.