Ang isa sa mga figure na nangyayari kapag nilutas ang mga geometric na problema sa espasyo ay isang kono. Ito, hindi tulad ng polyhedra, ay kabilang sa klase ng mga figure ng pag-ikot. Isaalang-alang natin sa artikulo kung ano ang ibig sabihin nito sa geometry, at tuklasin ang mga katangian ng iba't ibang seksyon ng kono.
Cone sa geometry
Ipagpalagay na may kurba sa eroplano. Maaari itong maging isang parabola, isang bilog, isang ellipse, at iba pa. Kumuha ng isang punto na hindi kabilang sa tinukoy na eroplano, at ikonekta ang lahat ng mga punto ng curve dito. Ang resultang ibabaw ay tinatawag na kono o simpleng kono.
Kung ang orihinal na kurba ay sarado, ang conical na ibabaw ay maaaring punuin ng materya. Ang figure na nakuha sa ganitong paraan ay isang three-dimensional na katawan. Tinatawag din itong kono. Ilang papel cone ang ipinapakita sa ibaba.
Ang conical surface ay matatagpuan sa pang-araw-araw na buhay. Halimbawa, ang isang ice cream cone o isang striped traffic cone ay may ganitong hugis, na idinisenyo upang maakit ang atensyon ng mga driver atpedestrian.
Mga uri ng cone
Sa maaari mong hulaan, ang mga figure na isinasaalang-alang ay naiiba sa bawat isa ayon sa uri ng kurba kung saan sila nabuo. Halimbawa, mayroong isang bilog na kono o isang elliptical. Ang kurba na ito ay tinatawag na base ng pigura. Gayunpaman, ang hugis ng base ay hindi lamang ang tampok na nagbibigay-daan sa pag-uuri ng mga cone.
Ang pangalawang mahalagang katangian ay ang posisyon ng taas na may kaugnayan sa base. Ang taas ng isang kono ay isang tuwid na segment ng linya, na ibinababa mula sa tuktok ng pigura hanggang sa eroplano ng base at patayo sa eroplanong ito. Kung ang taas ay bumalandra sa base sa geometric center (halimbawa, sa gitna ng bilog), kung gayon ang kono ay magiging tuwid, kung ang patayo na segment ay bumagsak sa anumang iba pang punto ng base o higit pa nito, kung gayon ang figure ay magiging pahilig.
Sa karagdagang artikulo ay isasaalang-alang lamang natin ang isang bilog na tuwid na kono bilang isang maliwanag na kinatawan ng itinuturing na klase ng mga numero.
Mga geometriko na pangalan ng mga elemento ng cone
Sinabi sa itaas na may base ang kono. Ito ay napapaligiran ng isang bilog, na tinatawag na gabay ng kono. Ang mga segment na nagkokonekta sa gabay sa isang punto na hindi namamalagi sa eroplano ng base ay tinatawag na mga generator. Ang hanay ng lahat ng mga punto ng mga generator ay tinatawag na conical o lateral surface ng figure. Para sa isang round right cone, lahat ng generator ay may parehong haba.
Ang punto kung saan nagtatagpo ang mga generator ay tinatawag na tuktok ng figure. Hindi tulad ng polyhedra, ang isang kono ay may iisang vertex at hindigilid.
Ang isang tuwid na linya na dumadaan sa tuktok ng figure at sa gitna ng bilog ay tinatawag na axis. Ang axis ay naglalaman ng taas ng isang tuwid na kono, kaya ito ay bumubuo ng isang tamang anggulo sa eroplano ng base. Mahalaga ang impormasyong ito kapag kinakalkula ang lugar ng axial section ng cone.
Round straight cone - rotation figure
Ang itinuturing na kono ay isang medyo simetriko na pigura, na maaaring makuha bilang resulta ng pag-ikot ng tatsulok. Ipagpalagay na mayroon tayong tatsulok na may tamang anggulo. Upang makakuha ng isang kono, sapat na upang paikutin ang tatsulok na ito sa paligid ng isa sa mga binti gaya ng ipinapakita sa figure sa ibaba.
Makikita na ang axis ng pag-ikot ay ang axis ng kono. Ang isa sa mga binti ay magiging katumbas ng taas ng pigura, at ang pangalawang binti ay magiging radius ng base. Ang hypotenuse ng isang tatsulok bilang resulta ng pag-ikot ay maglalarawan ng isang korteng kono na ibabaw. Ito ang magiging generatrix ng cone.
Ang pamamaraang ito ng pagkuha ng isang round straight cone ay maginhawang gamitin upang pag-aralan ang matematikal na relasyon sa pagitan ng mga linear na parameter ng figure: ang taas h, ang radius ng round base r at ang gabay na g. Ang kaukulang formula ay sumusunod mula sa mga katangian ng isang right triangle. Ito ay nakalista sa ibaba:
g2=h2+ r2.
Dahil mayroon kaming isang equation at tatlong variable, nangangahulugan ito na para natatanging itakda ang mga parameter ng isang round cone, kailangan mong malaman ang alinmang dalawang dami.
Mga seksyon ng cone sa tabi ng isang eroplano na hindi naglalaman ng vertex ng figure
Ang tanong ng pagbuo ng mga seksyon ng figure ay hindiwalang kuwenta. Ang katotohanan ay ang hugis ng seksyon ng kono sa pamamagitan ng ibabaw ay nakasalalay sa relatibong posisyon ng pigura at ang secant.
Ipagpalagay na i-intersect natin ang cone sa isang eroplano. Ano ang magiging resulta ng geometric na operasyong ito? Ang mga opsyon sa hugis ng seksyon ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Ang pink na seksyon ay isang bilog. Ito ay nabuo bilang isang resulta ng intersection ng figure na may isang eroplano na parallel sa base ng kono. Ang mga ito ay mga seksyon na patayo sa axis ng figure. Ang figure na nabuo sa itaas ng cutting plane ay isang cone na katulad ng orihinal, ngunit may mas maliit na bilog sa base.
Ang berdeng seksyon ay isang ellipse. Ito ay nakuha kung ang cutting plane ay hindi parallel sa base, ngunit ito ay intersects lamang sa lateral surface ng kono. Ang figure na naputol sa itaas ng eroplano ay tinatawag na elliptical oblique cone.
Ang asul at orange na seksyon ay parabolic at hyperbolic, ayon sa pagkakabanggit. Tulad ng nakikita mo mula sa figure, ang mga ito ay nakuha kung ang cutting plane ay sabay na nag-intersect sa gilid na ibabaw at sa base ng figure.
Upang matukoy ang mga lugar ng mga seksyon ng cone na isinasaalang-alang, kinakailangang gamitin ang mga formula para sa kaukulang figure sa eroplano. Halimbawa, para sa isang bilog, ito ang numerong Pi na pina-multiply ng parisukat ng radius, at para sa isang ellipse, ito ang produkto ng Pi at ang haba ng minor at major semiaxes:
circle: S=pir2;
ellipse: S=piab.
Mga seksyon na naglalaman ng tuktok ng kono
Ngayon isaalang-alang ang mga opsyon para sa mga seksyon na lalabas kung ang cutting plane aydumaan sa tuktok ng kono. Tatlong kaso ang posible:
- Ang seksyon ay isang punto. Halimbawa, ang eroplanong dumadaan sa vertex at kahanay sa base ay nagbibigay lamang ng ganoong seksyon.
- Ang seksyon ay isang tuwid na linya. Ang sitwasyong ito ay nangyayari kapag ang eroplano ay padaplis sa isang korteng kono na ibabaw. Ang tuwid na linya ng seksyon sa kasong ito ay magiging generatrix ng kono.
- Axial na seksyon. Ito ay nabuo kapag ang eroplano ay naglalaman ng hindi lamang tuktok ng figure, kundi pati na rin ang buong axis nito. Sa kasong ito, ang eroplano ay magiging patayo sa round base at hahatiin ang cone sa dalawang pantay na bahagi.
Malinaw, ang mga bahagi ng unang dalawang uri ng mga seksyon ay katumbas ng zero. Tulad ng para sa cross-sectional area ng cone para sa ika-3 uri, ang isyung ito ay tinalakay nang mas detalyado sa susunod na talata.
Axial section
Nabanggit sa itaas na ang axial section ng isang cone ay ang figure na nabuo kapag ang cone ay intersected ng isang eroplanong dumadaan sa axis nito. Madaling hulaan na kakatawan ng seksyong ito ang figure na ipinapakita sa figure sa ibaba.
Ito ay isang isosceles triangle. Ang vertex ng axial section ng kono ay ang vertex ng tatsulok na ito, na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng magkaparehong panig. Ang huli ay katumbas ng haba ng generatrix ng kono. Ang base ng tatsulok ay ang diameter ng base ng kono.
Ang pagkalkula ng lugar ng axial section ng isang cone ay binabawasan upang mahanap ang lugar ng resultang tatsulok. Kung ang radius ng base r at ang taas h ng cone ay una nang alam, ang lugar S ng seksyon na isinasaalang-alang ay magiging:
S=hr.
Itoang expression ay bunga ng paglalapat ng karaniwang formula para sa lugar ng isang tatsulok (kalahati ng produkto ng taas ay di-kumplikado sa base).
Tandaan na kung ang generatrix ng isang cone ay katumbas ng diameter ng round base nito, kung gayon ang axial section ng cone ay isang equilateral triangle.
Ang isang triangular na seksyon ay nabuo kapag ang cutting plane ay patayo sa base ng cone at dumadaan sa axis nito. Anumang ibang eroplanong kahanay sa pinangalanang isa ay magbibigay ng hyperbola sa seksyon. Gayunpaman, kung ang eroplano ay naglalaman ng vertex ng cone at nag-intersect sa base nito hindi sa pamamagitan ng diameter, ang resultang seksyon ay magiging isosceles triangle din.
Ang problema sa pagtukoy ng mga linear na parameter ng cone
Ipakita natin kung paano gamitin ang formula na nakasulat para sa lugar ng axial section upang malutas ang isang geometric na problema.
Alam na ang lugar ng axial section ng cone ay 100 cm2. Ang resultang tatsulok ay equilateral. Ano ang taas ng kono at ang radius ng base nito?
Dahil ang tatsulok ay equilateral, ang taas nito h ay nauugnay sa haba ng gilid a gaya ng sumusunod:
h=√3/2a.
Dahil ang gilid ng tatsulok ay dalawang beses sa radius ng base ng kono, at pinapalitan ang expression na ito sa formula para sa cross-sectional area, makuha natin ang:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Kung gayon ang taas ng kono ay:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Nananatili itong palitan ang halaga ng lugar mula sa kondisyon ng problemaat makuha ang sagot:
r=√(100/√3) ≈ 7.60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Sa anong mga lugar mahalagang malaman ang mga parameter ng mga isinasaalang-alang na seksyon?
Ang pag-aaral ng iba't ibang uri ng mga seksyon ng cone ay hindi lamang sa teoretikal na interes, ngunit mayroon ding mga praktikal na aplikasyon.
Una, dapat pansinin ang lugar ng aerodynamics, kung saan sa tulong ng mga conic section posible na lumikha ng perpektong makinis na mga hugis ng solid body.
Pangalawa, ang mga conic na seksyon ay mga trajectory kung saan gumagalaw ang mga space object sa mga gravitational field. Anong partikular na uri ng seksyon ang kumakatawan sa trajectory ng paggalaw ng mga cosmic body ng system ay tinutukoy ng ratio ng kanilang mga masa, ganap na bilis at distansya sa pagitan ng mga ito.
