Ang pag-aaral ng mga function at ang kanilang mga graph ay isang paksa na binibigyan ng espesyal na atensyon sa loob ng balangkas ng kurikulum ng mataas na paaralan. Ang ilang mga pangunahing kaalaman sa mathematical analysis - pagkita ng kaibhan - ay kasama sa antas ng profile ng pagsusulit sa matematika. Ang ilang mga mag-aaral ay may mga problema sa paksang ito, dahil nalilito nila ang mga graph ng function at derivative, at nakakalimutan din ang mga algorithm. Sasaklawin ng artikulong ito ang mga pangunahing uri ng mga gawain at kung paano lutasin ang mga ito.
Ano ang value ng function?
Ang math function ay isang espesyal na equation. Nagtatatag ito ng ugnayan sa pagitan ng mga numero. Nakadepende ang function sa value ng argument.
Ang halaga ng function ay kinakalkula ayon sa ibinigay na formula. Upang gawin ito, palitan ang anumang argumento na tumutugma sa hanay ng mga wastong halaga sa formula na ito bilang kapalit ng x at isagawa ang mga kinakailangang operasyong matematikal. Ano?
Paano mo mahahanap ang pinakamaliit na halaga ng isang function,gumagamit ng graph function?
Ang graphic na representasyon ng dependence ng isang function sa isang argument ay tinatawag na function graph. Ito ay itinayo sa isang eroplano na may partikular na segment ng unit, kung saan ang value ng isang variable o argument ay naka-plot sa kahabaan ng horizontal abscissa axis, at ang katumbas na value ng function sa kahabaan ng vertical ordinate axis.
Kung mas malaki ang value ng argument, mas nasa kanan ito sa graph. At kung mas malaki ang halaga ng mismong function, mas mataas ang punto.
Ano ang sinasabi nito? Ang pinakamaliit na halaga ng function ay ang puntong pinakamababa sa graph. Upang mahanap ito sa isang segment ng chart, kailangan mo ng:
1) Hanapin at markahan ang mga dulo ng segment na ito.
2) Biswal na matukoy kung aling punto sa segment na ito ang pinakamababa.
3) Bilang tugon, isulat ang numerical value nito, na maaaring matukoy sa pamamagitan ng pag-project ng isang punto sa y-axis.
Extremum na puntos sa derivative chart. Saan titingin?
Gayunpaman, kapag nilulutas ang mga problema, minsan ang isang graph ay ibinibigay hindi ng isang function, ngunit ng derivative nito. Upang maiwasan ang hindi sinasadyang paggawa ng isang hangal na pagkakamali, mas mabuting basahin nang mabuti ang mga kundisyon, dahil depende ito sa kung saan mo kailangang maghanap ng mga matinding puntos.
Kaya, ang derivative ay ang agarang rate ng pagtaas ng function. Ayon sa geometric na kahulugan, ang derivative ay tumutugma sa slope ng tangent, na direktang iginuhit sa ibinigay na punto.
Nalalaman na sa mga sukdulan na punto ang tangent ay kahanay sa axis ng Ox. Nangangahulugan ito na ang slope nito ay 0.
Mula dito maaari nating tapusin na sa mga pinakasukdulang punto ang derivative ay nasa x-axis o naglalaho. Ngunit bilang karagdagan, sa mga puntong ito, binabago ng function ang direksyon nito. Iyon ay, pagkatapos ng isang panahon ng pagtaas, ito ay nagsisimulang bumaba, at ang derivative, nang naaayon, ay nagbabago mula sa positibo hanggang sa negatibo. O vice versa.
Kung ang derivative ay nagiging negatibo mula sa positibo, ito ang pinakamataas na punto. Kung mula sa negatibo ito ay magiging positibo - ang pinakamababang punto.
Mahalaga: kung kailangan mong tumukoy ng minimum o maximum na punto sa gawain, bilang tugon dapat mong isulat ang katumbas na halaga sa kahabaan ng abscissa axis. Ngunit kung kailangan mong hanapin ang value ng function, kailangan mo munang palitan ang katumbas na value ng argument sa function at kalkulahin ito.
Paano makahanap ng extremum point gamit ang derivative?
Ang mga itinuturing na halimbawa ay pangunahing tumutukoy sa gawain bilang 7 ng pagsusulit, na kinabibilangan ng pagtatrabaho sa isang graph ng isang derivative o isang antiderivative. Ngunit ang gawain 12 ng PAGGAMIT - upang mahanap ang pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment (kung minsan ang pinakamalaki) - ay ginagawa nang walang anumang mga guhit at nangangailangan ng mga pangunahing kasanayan sa mathematical analysis.
Upang maisagawa ito, kailangan mong makahanap ng extremum point gamit ang derivative. Ang algorithm para sa paghahanap sa kanila ay ang mga sumusunod:
- Hanapin ang derivative ng isang function.
- Itakda ito sa zero.
- Hanapin ang mga ugat ng equation.
- Tingnan kung extremum o inflection point ang mga nakuhang puntos.
Upang gawin ito, gumuhit ng diagram at magpatuloytinutukoy ng mga nagresultang agwat ang mga palatandaan ng derivative sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numerong kabilang sa mga segment sa derivative. Kung, kapag nilulutas ang equation, nakakuha ka ng mga ugat ng double multiplicity, ito ay mga inflection point.
Paglalapat ng theorems, tukuyin kung aling mga puntos ang pinakamababa at alin ang pinakamataas
Kalkulahin ang pinakamaliit na value ng isang function gamit ang isang derivative
Gayunpaman, matapos maisagawa ang lahat ng mga pagkilos na ito, mahahanap namin ang mga halaga ng minimum at maximum na mga puntos sa kahabaan ng x-axis. Ngunit paano mahahanap ang pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment?
Ano ang kailangang gawin upang mahanap ang numero na tumutugma sa function sa isang partikular na punto? Kailangan mong palitan ang halaga ng argumento sa formula na ito.
Puntos ng minimum at maximum na tumutugma sa pinakamaliit at pinakamalaking value ng function sa segment. Kaya, para mahanap ang value ng function, kailangan mong kalkulahin ang function gamit ang nakuhang x values.
Mahalaga! Kung ang gawain ay nangangailangan sa iyo na tukuyin ang isang minimum o maximum na punto, pagkatapos ay bilang tugon dapat mong isulat ang kaukulang halaga sa kahabaan ng x-axis. Ngunit kung kailangan mong hanapin ang value ng function, dapat mo munang palitan ang katumbas na value ng argument sa function at gawin ang mga kinakailangang mathematical operations.
Ano ang dapat kong gawin kung walang lows sa segment na ito?
Ngunit paano mahahanap ang pinakamaliit na value ng isang function sa isang segment na walang extremum point?
Ito ay nangangahulugan na ang function ay monotonically bumababa o tumataas dito. Pagkatapos ay kailangan mong palitan ang halaga ng mga matinding punto ng segment na ito sa function. Mayroong dalawang paraan.
1) Nang makalkuladerivative at ang mga pagitan kung saan ito ay positibo o negatibo, upang tapusin kung ang function ay bumababa o tumataas sa isang partikular na segment.
Alinsunod sa mga ito, palitan ang mas malaki o mas maliit na halaga ng argumento sa function.
2) Palitan lang ang parehong puntos sa function at ihambing ang mga resultang value ng function.
Kung saan opsyonal ang mga gawain sa paghahanap ng derivative
Bilang panuntunan, sa mga takdang-aralin sa USE, kailangan mo pa ring hanapin ang derivative. Mayroong ilang mga pagbubukod lamang.
1) Parabola.
Ang vertex ng parabola ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula.
Kung ang isang < 0, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa. At ang pinakamataas na punto nito ay ang pinakamataas na punto.
Kung ang isang > 0, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, ang vertex ay ang pinakamababang punto.
Kapag nakalkula ang vertex point ng parabola, dapat mong palitan ang value nito sa function at kalkulahin ang katumbas na value ng function.
2) Function y=tg x. O y=ctg x.
Ang mga function na ito ay monotonically tumataas. Samakatuwid, mas malaki ang halaga ng argumento, mas malaki ang halaga ng mismong function. Susunod, titingnan natin kung paano hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment na may mga halimbawa.
Mga pangunahing uri ng gawain
Task: ang pinakamalaki o pinakamaliit na value ng function. Halimbawa sa chart.
Sa larawan makikita mo ang graph ng derivative ng function na f (x) sa pagitan [-6; 6]. Sa anong punto ng segment [-3; 3] f(x) ang kumukuha ng pinakamaliit na value?
Kaya, bilang panimula, dapat mong piliin ang tinukoy na segment. Dito, ang function ay isang beses na kumukuha ng zero na halaga at binabago ang sign nito - ito ang extremum point. Dahil ang derivative mula sa negatibo ay nagiging positibo, nangangahulugan ito na ito ang pinakamababang punto ng function. Ang puntong ito ay tumutugma sa halaga ng argumento 2.
Sagot: 2.
Magpatuloy sa pagtingin sa mga halimbawa. Gawain: hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function sa segment.
Hanapin ang pinakamaliit na value ng function na y=(x - 8) ex-7 sa pagitan [6; 8].
1. Kunin ang derivative ng isang kumplikadong function.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. I-equate ang resultang derivative sa zero at lutasin ang equation.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, o ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, walang ugat
3. I-substitute ang value ng mga extreme point sa function, pati na rin ang nakuhang mga ugat ng equation.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Sagot: -1.
Kaya, sa artikulong ito, ang pangunahing teorya ay isinasaalang-alang kung paano hanapin ang pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment, na kinakailangan para sa matagumpay na paglutas ng mga gawain sa PAGGAMIT sa dalubhasang matematika. Gayundin ang mga elemento ng matematikaginagamit ang pagsusuri kapag nilulutas ang mga gawain mula sa bahagi C ng pagsusulit, ngunit malinaw na kinakatawan ng mga ito ang ibang antas ng pagiging kumplikado, at ang mga algorithm para sa kanilang mga solusyon ay mahirap na magkasya sa balangkas ng isang materyal.
