Ang kakayahang gumawa ng mga numerical expression na naglalaman ng square root ay kinakailangan para sa matagumpay na solusyon ng ilang problema mula sa OGE at sa USE. Sa mga pagsusulit na ito, karaniwang sapat na ang pangunahing pag-unawa sa kung ano ang root extraction at kung paano ito ginagawa sa pagsasanay.
Definition
Ang n-th root ng isang numerong X ay isang numerong x kung saan totoo ang pagkakapantay-pantay: xn =X.
Ang paghahanap ng value ng isang expression na may ugat ay nangangahulugang paghahanap ng x na binigay sa X at n.
Ang square root o, na pareho, ang pangalawang ugat ng X - ang numerong x kung saan nasiyahan ang pagkakapantay-pantay: x2 =X.
Designation: ∛Х. Narito ang 3 ay ang antas ng ugat, ang X ay ang ugat na expression. Ang sign na '√' ay kadalasang tinatawag na radical.
Kung ang numero sa itaas ng root ay hindi nagsasaad ng degree, ang default ay ang degree na 2.
Sa isang kurso sa paaralan para sa pantay na degree, karaniwang hindi isinasaalang-alang ang mga negatibong ugat at mga radikal na expression. Halimbawa, wala√-2, at para sa expression na √4, ang tamang sagot ay 2, sa kabila ng katotohanan na ang (-2)2 ay katumbas din ng 4.
Katuwiran at irasyonalidad ng mga ugat
Ang pinakasimpleng posibleng gawain na may ugat ay ang hanapin ang halaga ng isang expression o subukan ito para sa pagiging makatwiran.
Halimbawa, kalkulahin ang mga halaga √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 dahil 52 =25;
- ∛8=2 dahil 23 =8;
- ∛ - 125=-5 mula noong (-5)3 =-125.
Ang mga sagot sa mga ibinigay na halimbawa ay mga makatwirang numero.
Kapag nagtatrabaho sa mga expression na hindi naglalaman ng mga literal na constant at variable, inirerekumenda na palaging magsagawa ng naturang pagsusuri gamit ang inverse operation ng pagtaas sa natural na kapangyarihan. Ang paghahanap ng numerong x sa ika-n na kapangyarihan ay katumbas ng pagkalkula ng produkto ng n salik ng x.
Maraming expression na may ugat, na ang halaga nito ay hindi makatwiran, ibig sabihin, isinulat bilang isang infinite non-periodic fraction.
Sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga rational ay ang mga maaaring ipahayag bilang isang karaniwang fraction, at ang mga irrational ay lahat ng iba pang tunay na numero.
Kabilang dito ang √24, √0, 1, √101.
Kung ang aklat ng problema ay nagsasabing: hanapin ang halaga ng expression na may ugat na 2, 3, 5, 6, 7, atbp., iyon ay, mula sa mga natural na numero na hindi nakapaloob sa talahanayan ng mga parisukat, kung gayon ang tamang sagot ay √ 2 ay maaaring naroroon (maliban kung iba ang nakasaad).
Pagsusuri
Sa mga problema saisang bukas na sagot, kung imposibleng mahanap ang halaga ng isang expression na may ugat at isulat ito bilang isang rational na numero, ang resulta ay dapat iwanang isang radikal.
Maaaring mangailangan ng pagsusuri ang ilang takdang-aralin. Halimbawa, ihambing ang 6 at √37. Ang solusyon ay nangangailangan ng pag-squaring ng parehong mga numero at paghahambing ng mga resulta. Sa dalawang numero, mas malaki ang parisukat na mas malaki. Gumagana ang panuntunang ito para sa lahat ng positibong numero:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- ibig sabihin √37 > 6.
Sa parehong paraan, malulutas ang mga problema kung saan dapat ayusin ang ilang numero sa pataas o pababang pagkakasunod-sunod.
Halimbawa: Ayusin ang 5, √6, √48, √√64 sa pataas na pagkakasunod-sunod.
Pagkatapos i-squaring, mayroon tayong: 25, 6, 48, √64. Maaaring i-square muli ng isa ang lahat ng mga numero upang ihambing ang mga ito sa √64, ngunit katumbas ito ng rational number 8. 6 < 8 < 25 < 48, kaya ang solusyon ay: 48.
Pagpapasimple ng expression
Nangyayari na imposibleng mahanap ang halaga ng isang expression na may ugat, kaya dapat itong pasimplehin. Nakakatulong dito ang sumusunod na formula:
√ab=√a√b.
Ang ugat ng produkto ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng kanilang mga ugat. Mangangailangan din ang operasyong ito ng kakayahang mag-factorize ng isang numero.
Sa unang yugto, upang mapabilis ang gawain, inirerekumenda na magkaroon ng talahanayan ng mga prime number at parisukat sa kamay. Ang mga talahanayan na ito ay madalasang paggamit sa hinaharap ay tatandaan.
Halimbawa, ang √242 ay isang hindi makatwirang numero, maaari mo itong i-convert tulad nito:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Karaniwang isinusulat ang resulta bilang 11√2 (basahin: labing-isang ugat sa dalawa).
Kung mahirap agad na makita kung aling dalawang salik ang kailangang i-decompose ng isang numero upang ang isang natural na ugat ay ma-extract mula sa isa sa mga ito, maaari mong gamitin ang buong agnas sa prime factor. Kung ang parehong prime number ay nangyari nang dalawang beses sa pagpapalawak, ito ay tinanggal mula sa root sign. Kapag maraming salik, maaari mong i-extract ang ugat sa ilang hakbang.
Halimbawa: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Ang numero 2 ay nangyayari sa pagpapalawak ng 2 beses (sa katunayan, higit sa dalawang beses, ngunit kami ay interesado pa rin sa unang dalawang paglitaw sa pagpapalawak).
Inalis namin ito sa ilalim ng root sign:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Ulitin ang parehong pagkilos:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
Sa natitirang radikal na expression, ang 2 at 3 ay nangyayari nang isang beses, kaya nananatili itong alisin ang factor 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
at magsagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Kaya, makakakuha tayo ng √2400=20√6.
Kung ang gawain ay hindi tahasang nakasaad: "hanapin ang halaga ng expression na may square root", pagkatapos ay ang pagpipilian,sa anong anyo ang pag-iiwan ng sagot (kung kukunin ang ugat mula sa ilalim ng radical) ay nananatili sa mag-aaral at maaaring depende sa problemang nireresolba.
Sa una, mataas na kinakailangan ang inilalagay sa disenyo ng mga gawain, ang pagkalkula, kabilang ang pasalita o nakasulat, nang hindi gumagamit ng mga teknikal na paraan.
Pagkatapos lamang ng isang mahusay na kasanayan sa mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa mga hindi makatwiran na mga numerical na expression, makatuwiran na lumipat sa mas mahirap na literal na mga expression at sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation at pagkalkula ng hanay ng mga posibleng halaga ng expression sa ilalim ng radikal.
Nakaharap ng mga mag-aaral ang ganitong uri ng problema sa Unified State Exam sa matematika, gayundin sa unang taon ng mga dalubhasang unibersidad kapag nag-aaral ng mathematical analysis at mga kaugnay na disiplina.
