Ang Planimetry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral sa mga katangian ng mga figure ng eroplano. Kabilang dito ang hindi lamang mga kilalang tatsulok, parisukat, parihaba, kundi pati na rin ang mga tuwid na linya at anggulo. Sa planimetry, mayroon ding mga konsepto tulad ng mga anggulo sa isang bilog: gitna at nakasulat. Ngunit ano ang ibig sabihin ng mga ito?
Ano ang gitnang anggulo?
Upang maunawaan kung ano ang gitnang anggulo, kailangan mong tukuyin ang isang bilog. Ang bilog ay isang koleksyon ng lahat ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang partikular na punto (ang gitna ng bilog).
Napakahalagang makilala ito mula sa isang bilog. Dapat tandaan na ang isang bilog ay isang saradong linya, at ang isang bilog ay isang bahagi ng isang eroplano na nakatali dito. Maaaring maglagay ng polygon o anggulo sa isang bilog.
Ang gitnang anggulo ay isang anggulo na ang vertex ay tumutugma sa gitna ng bilog at ang mga gilid ay nagsalubong sa bilog sa dalawang punto. Ang arko, na nililimitahan ng anggulo sa pamamagitan ng mga intersection point, ay tinatawag na arc kung saan nakapatong ang ibinigay na anggulo.
Isaalang-alang ang halimbawa 1.
Sa larawan, ang anggulong AOB ay nasa gitna, dahil ang tuktok ng anggulo at ang gitna ng bilog ay isang punto O. Ito ay nakasalalay sa arko AB, na hindi naglalaman ng punto C.
Paano naiiba ang naka-inscribe na anggulo sa gitna?
Gayunpaman, bukod sa gitna, mayroon ding mga naka-inscribe na anggulo. Ano ang kanilang pagkakaiba? Tulad ng sa gitna, ang anggulo na nakasulat sa isang bilog ay nakasalalay sa isang tiyak na arko. Ngunit ang tuktok nito ay hindi tumutugma sa gitna ng bilog, ngunit nasa ibabaw nito.
Kunin natin ang sumusunod na halimbawa.
Angle ACB ay tinatawag na isang anggulo na nakasulat sa isang bilog na nakasentro sa punto O. Ang punto C ay kabilang sa bilog, iyon ay, nasa ibabaw nito. Ang anggulo ay nakasalalay sa arko AB.
Ano ang gitnang anggulo
Upang matagumpay na makayanan ang mga problema sa geometry, hindi sapat na matukoy ang pagkakaiba sa pagitan ng inscribed at central na mga anggulo. Bilang isang panuntunan, upang malutas ang mga ito, kailangan mong malaman nang eksakto kung paano hanapin ang gitnang anggulo sa isang bilog, at makalkula ang halaga nito sa mga degree.
Kaya, ang gitnang anggulo ay katumbas ng sukat ng antas ng arko kung saan ito nakasalalay.
Sa larawan, ang anggulong AOB ay nakasalalay sa arc AB na katumbas ng 66°. Kaya ang anggulong AOB ay katumbas din ng 66°.
Kaya, ang mga gitnang anggulo batay sa magkaparehong mga arko ay pantay.
Sa figure, ang arc DC ay katumbas ng arc AB. Kaya ang anggulong AOB ay katumbas ng anggulong DOC.
Paano makahanap ng inscribed na anggulo
Maaaring mukhang ang anggulo na nakasulat sa bilog ay katumbas ng gitnang anggulo,na umaasa sa parehong arko. Gayunpaman, ito ay isang malaking pagkakamali. Sa katunayan, kahit na tingnan lamang ang pagguhit at paghahambing ng mga anggulong ito sa isa't isa, makikita mo na ang kanilang mga sukat sa antas ay magkakaroon ng iba't ibang mga halaga. Kaya ano ang anggulo na nakasulat sa bilog?
Ang sukat ng antas ng isang naka-inscribe na anggulo ay isang kalahati ng arko kung saan ito nakasalalay, o kalahati ng gitnang anggulo kung umaasa sila sa parehong arko.
Pag-isipan natin ang isang halimbawa. Ang anggulo ng ACB ay nakabatay sa isang arko na katumbas ng 66°.
Kaya ang anggulo DIA=66°: 2=33°
Pag-isipan natin ang ilang kahihinatnan ng theorem na ito.
- Ang mga naka-inscribe na anggulo, kung nakabatay ang mga ito sa parehong arc, chord o pantay na arc, ay pantay.
- Kung ang mga naka-inscribe na anggulo ay nakabatay sa parehong chord, ngunit ang kanilang mga vertices ay nasa magkabilang gilid nito, ang kabuuan ng mga sukat ng antas ng naturang mga anggulo ay 180°, dahil sa kasong ito ang parehong mga anggulo ay nakabatay sa mga arko, ang kabuuang sukat ng degree na kung saan ay 360 ° (buong bilog), 360°: 2=180°
- Kung ang naka-inscribe na anggulo ay nakabatay sa diameter ng ibinigay na bilog, ang sukat ng degree nito ay 90°, dahil ang diameter ay nagpapa-subtend ng arc na katumbas ng 180°, 180°: 2=90°
- Kung ang gitna at naka-inscribe na mga anggulo sa isang bilog ay nakabatay sa parehong arko o chord, ang naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng kalahati ng gitnang anggulo.
Saan mahahanap ang mga problema sa paksang ito? Ang kanilang mga uri at solusyon
Dahil ang bilog at ang mga katangian nito ay isa sa pinakamahalagang seksyon ng geometry, partikular sa planimetry, ang mga naka-inscribe at gitnang anggulo sa bilog ay isang paksa na malawak at detalyado.pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Ang mga gawaing nakatuon sa kanilang mga ari-arian ay matatagpuan sa pangunahing pagsusulit ng estado (OGE) at sa pinag-isang pagsusulit ng estado (USE). Bilang panuntunan, upang malutas ang mga problemang ito, dapat mong hanapin ang mga anggulo sa bilog sa mga degree.
Anggulo batay sa parehong arko
Ang ganitong uri ng problema ay marahil ang isa sa pinakamadali, dahil upang malutas ito kailangan mong malaman lamang ang dalawang simpleng katangian: kung ang parehong mga anggulo ay nakasulat at nakasandal sa parehong chord, sila ay pantay, kung ang isa sa mga ito ay gitna, kung gayon ang katumbas na naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng kalahati nito. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mga ito, ang isa ay dapat maging lubhang maingat: kung minsan mahirap mapansin ang pag-aari na ito, at ang mga mag-aaral, kapag nilutas ang mga simpleng problema, ay napupunta sa isang dead end. Isaalang-alang ang isang halimbawa.
Problema 1
Binigyan ng bilog na nakasentro sa punto O. Ang anggulo ng AOB ay 54°. Hanapin ang sukat ng antas ng anggulong DIA.
Ang gawaing ito ay nalutas sa isang hakbang. Ang tanging bagay na kailangan mo upang mabilis na mahanap ang sagot dito ay mapansin na ang arko kung saan nakapatong ang magkabilang sulok ay karaniwan. Kapag nakikita ito, maaari mong ilapat ang pamilyar na pag-aari. Ang anggulo ng ACB ay kalahati ng anggulo ng AOB. Kaya
1) AOB=54°: 2=27°.
Sagot: 54°.
Anggulo batay sa iba't ibang arko ng parehong bilog
Minsan ang laki ng arko kung saan nakasalalay ang kinakailangang anggulo ay hindi direktang tinukoy sa mga kondisyon ng problema. Upang makalkula ito, kailangan mong suriin ang magnitude ng mga anggulong ito at ihambing ang mga ito sa mga kilalang katangian ng bilog.
Problema 2
Nasa isang bilog na nakasentro sa O, anggulong AOCay 120°, at ang anggulong AOB ay 30°. Hanapin ang sulok IKAW.
Upang magsimula, nararapat na sabihin na posibleng malutas ang problemang ito gamit ang mga katangian ng isosceles triangles, ngunit mangangailangan ito ng higit pang mathematical operations. Samakatuwid, dito ay susuriin natin ang solusyon gamit ang mga katangian ng gitna at naka-inscribe na mga anggulo sa isang bilog.
Kaya, ang anggulong AOC ay nakasalalay sa arko AC at nasa gitna, na nangangahulugang ang arko AC ay katumbas ng anggulong AOC.
AC=120°
Sa parehong paraan, ang anggulong AOB ay nakasalalay sa arko AB.
AB=30°.
Kapag alam mo ito at ang sukat ng antas ng buong bilog (360°), madali mong mahahanap ang magnitude ng arko BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Ang vertex ng anggulong CAB, point A, ay nasa bilog. Kaya, ang anggulong CAB ay nakasulat at katumbas ng kalahati ng arko CB.
anggulo ng CAB=210°: 2=110°
Sagot: 110°
Mga problema batay sa mga arc ratio
Ang ilang mga problema ay hindi naglalaman ng data sa lahat ng mga anggulo, kaya kailangan nilang hanapin batay lamang sa mga kilalang teorema at katangian ng isang bilog.
Problema 1
Hanapin ang anggulo na nakasulat sa isang bilog na sinusuportahan ng isang chord na katumbas ng radius ng ibinigay na bilog.
Kung iisipin mong gumuhit ng mga linya na nagkokonekta sa mga dulo ng segment sa gitna ng bilog, makakakuha ka ng isang tatsulok. Matapos suriin ito, makikita mo na ang mga linyang ito ay ang radii ng bilog, na nangangahulugan na ang lahat ng panig ng tatsulok ay pantay. Alam namin na ang lahat ng mga anggulo ng isang equilateral triangleay katumbas ng 60°. Kaya, ang arko AB na naglalaman ng vertex ng tatsulok ay katumbas ng 60°. Mula dito makikita natin ang arko AB, kung saan nakabatay ang gustong anggulo.
AB=360° - 60°=300°
Anggulo ABC=300°: 2=150°
Sagot: 150°
Problema 2
Sa isang bilog na nakasentro sa punto O, ang mga arko ay nauugnay bilang 3:7. Hanapin ang mas maliit na naka-inscribe na anggulo.
Para sa solusyon, tinutukoy namin ang isang bahagi bilang X, pagkatapos ang isang arko ay katumbas ng 3X, at ang pangalawa, ayon sa pagkakabanggit, 7X. Alam na ang sukat ng antas ng isang bilog ay 360°, maaari tayong sumulat ng isang equation.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Ayon sa kundisyon, kailangan mong maghanap ng mas maliit na anggulo. Malinaw, kung ang halaga ng anggulo ay direktang proporsyonal sa arko kung saan ito nakasalalay, kung gayon ang kinakailangang (mas maliit) na anggulo ay tumutugma sa isang arko na katumbas ng 3X.
Kaya ang mas maliit na anggulo ay (36°3): 2=108°: 2=54°
Sagot: 54°
Problema 3
Sa isang bilog na nakasentro sa punto O, ang anggulong AOB ay 60° at ang haba ng mas maliit na arko ay 50. Kalkulahin ang haba ng mas malaking arko.
Upang makalkula ang haba ng isang mas malaking arko, kailangan mong gumawa ng isang proporsyon - kung paano nauugnay ang mas maliit na arko sa mas malaki. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang magnitude ng parehong mga arko sa mga degree. Ang mas maliit na arko ay katumbas ng anggulo na nakasalalay dito. Ang sukat ng antas nito ay 60°. Ang mas malaking arko ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng sukat ng antas ng bilog (ito ay katumbas ng 360° anuman ang iba pang data) at ang mas maliit na arko.
Ang malaking arko ay 360° - 60°=300°.
Mula noong 300°: 60°=5, ang mas malaking arko ay 5 beses na mas maliit.
Malaking arko=505=250
Sagot: 250
So, siyempre, may iba padiskarte sa paglutas ng mga katulad na problema, ngunit ang lahat ng mga ito ay sa paanuman ay batay sa mga katangian ng gitnang at nakasulat na mga anggulo, tatsulok at bilog. Upang matagumpay na malutas ang mga ito, kailangan mong maingat na pag-aralan ang pagguhit at ihambing ito sa data ng problema, pati na rin mailapat ang iyong teoretikal na kaalaman sa pagsasanay.
