May nakasulat na quadrilateral sa isang bilog. Quadrilateral ABCD ay nakasulat sa isang bilog

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Sa paghahati ng matematika sa algebra at geometry, nagiging mas mahirap ang materyal na pang-edukasyon. Lumilitaw ang mga bagong numero at ang kanilang mga espesyal na kaso. Upang maunawaan nang mabuti ang materyal, kailangang pag-aralan ang mga konsepto, katangian ng mga bagay at kaugnay na teorema.

Mga pangkalahatang konsepto

Ang quadrilateral ay nangangahulugang isang geometric na pigura. Binubuo ito ng 4 na puntos. Bukod dito, 3 sa kanila ay hindi matatagpuan sa parehong tuwid na linya. May mga segment na nagkokonekta sa mga tinukoy na punto sa serye.

Lahat ng quadrilateral na pinag-aralan sa kursong geometry ng paaralan ay ipinapakita sa sumusunod na diagram. Konklusyon: anumang bagay mula sa ipinakitang pigura ay may mga katangian ng nakaraang pigura.

Ang quadrilateral ay maaaring sa mga sumusunod na uri:

• Parallelogram. Ang paralelismo ng magkabilang panig nito ay pinatutunayan ng kaukulang theorems.
• Trapeze. Isang quadrilateral na may parallel na base. Ang dalawa pang partido ay hindi.
• Pahaba. Isang figure na mayroong lahat ng 4 na sulok=90º.
• Rhombus. Isang figure na pantay ang lahat ng panig.
• Kuwadrado. Pinagsasama ang mga katangian ng huling dalawang figure. Ito ay may pantay na panig at lahat ng anggulo ay tama.

Ang pangunahing kahulugan ng paksang ito ay isang quadrilateral na nakasulat sa isang bilog. Ito ay binubuo ng mga sumusunod. Ito ay isang pigura kung saan inilarawan ang isang bilog. Dapat itong dumaan sa lahat ng vertex. Ang mga panloob na anggulo ng quadrilateral na nakasulat sa isang bilog ay nagdaragdag ng hanggang 360º.

Hindi lahat ng quadrilateral ay maaaring isulat. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga perpendicular bisectors ng 4 na panig ay maaaring hindi magsalubong sa isang punto. Gagawin nitong imposibleng mahanap ang gitna ng isang bilog na nakapalibot sa isang 4-gon.

Mga espesyal na kaso

May mga pagbubukod sa bawat panuntunan. Kaya, sa paksang ito mayroon ding mga espesyal na kaso:

• Ang parallelogram, tulad nito, ay hindi maaaring isulat sa isang bilog. Tanging ang kanyang espesyal na kaso. Ito ay isang parihaba.
• Kung ang lahat ng vertices ng isang rhombus ay nasa circumscribing line, ito ay isang parisukat.
• Lahat ng vertices ng trapezoid ay nasa hangganan ng bilog. Sa kasong ito, nagsasalita sila ng isosceles figure.

Mga katangian ng isang naka-inscribe na quadrilateral sa isang bilog

Bago lutasin ang mga simple at kumplikadong problema sa isang partikular na paksa, kailangan mong i-verify ang iyong kaalaman. Kung walang pag-aaral sa materyal na pang-edukasyon, imposibleng malutas ang isang halimbawa.

Theorem 1

Ang kabuuan ng magkasalungat na anggulo ng quadrilateral na nakasulat sa isang bilog ay 180º.

Patunay

Given: quadrilateral ABCD ay nakasulat sa isang bilog. Ang sentro nito ay point O. Kailangan nating patunayan na _<A + _<C=180º at _< B + _<D=180º.

Kailangang isaalang-alang ang mga ipinakitang numero.

1. _{<Ang A ay nakasulat sa isang bilog na nakasentro sa punto O. Ito ay sinusukat sa pamamagitan ng ½ BCD (kalahating arko).}
Ang
2. _{<C ay nakalagay sa parehong bilog. Sinusukat ito sa pamamagitan ng ½ BAD (half-arc).}
3. BAD at BCD ay bumubuo ng isang buong bilog, ibig sabihin, ang kanilang magnitude ay 360º.
4. _<A + _{<C ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng kalahating arko na kinakatawan.}
5. Kaya _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Sa katulad na paraan, ang patunay para sa _<B at _{<D. Gayunpaman, may pangalawang solusyon sa problema.}

1. Nalalaman na ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang quadrilateral ay 360º.
2. Dahil _<A + _<C=180º. Alinsunod dito, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Theorem 2

(Madalas itong tinatawag na inverse) Kung nasa quadrilateral _<A + _<C=180º at _{<B +} <_{D=180º (kung sila ay kabaligtaran), pagkatapos ay maaaring ilarawan ang isang bilog sa paligid ng naturang figure.}

Patunay

Ibinigay ang kabuuan ng magkasalungat na anggulo ng may apat na gilid ABCD na katumbas ng 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Kailangan nating patunayan na ang isang bilog ay maaaring i-circumscribe sa ABCD.}

Mula sa kursong geometry, alam na ang isang bilog ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng 3 puntos ng isang quadrilateral. Halimbawa, maaari mong gamitin ang mga punto A, B, C. Saan matatagpuan ang punto D? Mayroong 3 hula:

1. Napunta siya sa loob ng bilog. Sa kasong ito, hindi hinawakan ni D ang linya.
2. Sa labas ng bilog. Lumampas siya sa nakabalangkas na linya.
3. Ito ay lumabas sa isang lupon.

Dapat ipagpalagay na nasa loob ng bilog ang D. Ang lugar ng ipinahiwatig na vertex ay inookupahan ng D'. Ito ay lumalabas na may apat na gilid ABCD´.

Ang resulta ay:_<B + _<D´=2d.

Kung magpapatuloy tayo ng AD´ sa intersection na may kasalukuyang bilog na nakasentro sa punto E at ikinonekta ang E at C, makakakuha tayo ng naka-inscribe na quadrilateral ABCE. Mula sa unang teorama ay sumusunod ang pagkakapantay-pantay:

Ayon sa mga batas ng geometry, hindi wasto ang expression dahil ang _<D´ ay ang panlabas na sulok ng tatsulok na CD´E. Alinsunod dito, dapat itong higit sa _{<E. Mula dito maaari nating tapusin na ang D ay dapat nasa bilog o sa labas nito.}

Katulad nito, ang ikatlong palagay ay mapapatunayang mali kapag ang D´´ ay lumampas sa hangganan ng inilarawang pigura.

Mula sa dalawang hypotheses ay sumusunod sa tanging tama. Ang Vertex D ay matatagpuan sa linya ng bilog. Sa madaling salita, ang D ay tumutugma sa E. Kasunod nito na ang lahat ng mga punto ng quadrilateral ay matatagpuan sa inilarawang linya.

Mula sa mga itodalawang theorems, ang mga corollaries ay sumusunod:

Anumang parihaba ay maaaring isulat sa isang bilog. May isa pang kahihinatnan. Maaaring bilugan ang isang bilog sa paligid ng anumang parihaba

Trapezoid na may pantay na balakang ay maaaring isulat sa isang bilog. Sa madaling salita, ganito ang tunog: maaaring ilarawan ang isang bilog sa palibot ng isang trapezoid na may pantay na gilid

Ilang halimbawa

Problema 1. Quadrilateral ABCD ay nakasulat sa isang bilog. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Kailangang mahanap ang _{<ABD. Dapat na nakasulat ang sagot sa mga degree.}

Desisyon. Sa una, maaaring mukhang mahirap hanapin ang sagot.

1. Kailangan mong tandaan ang mga katangian mula sa paksang ito. Namely: ang kabuuan ng magkasalungat na anggulo=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Sa geometry, mas mabuting manatili sa prinsipyo: hanapin ang lahat ng iyong makakaya. Kapaki-pakinabang mamaya.

2. Susunod na hakbang: gamitin ang triangle sum theorem.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º 75º=70º}

_<ABD at _{<ACD ang nakasulat. Sa kondisyon, umaasa sila sa isang arko. Alinsunod dito, mayroon silang pantay na halaga:}

_<ABD=_<ACD=70º

Sagot: _<ABD=70º.

Problema 2. Ang BCDE ay isang naka-inscribe na quadrilateral sa isang bilog. _<B=69º, _<C=84º. Ang gitna ng bilog ay punto E. Hanapin - _<E.

Desisyon.

1. Kailangan mahanap ang _{<E ng Theorem 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Sagot: _{< E=96º.}

Problema 3. Ibinigay ang quadrilateral na nakasulat sa isang bilog. Ang data ay ipinapakita sa figure. Kinakailangang maghanap ng mga hindi kilalang halaga x, y, z.

Solusyon:

z=180º – 93º=87º (sa pamamagitan ng Theorem 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (sa pamamagitan ng Theorem 1)

Sagot: z=87º, x=82º, y=98º.

Problema 4. May quadrilateral na nakasulat sa isang bilog. Ang mga halaga ay ipinapakita sa figure. Hanapin ang x, y.

Solusyon:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Sagot: x=100º, y=109º.

Mga problema para sa independiyenteng solusyon

Halimbawa 1. Binigyan ng bilog. Ang sentro nito ay punto O. Ang AC at BD ay mga diyametro. _<ACB=38º. Kailangang hanapin ang _{<AOD. Dapat ibigay ang sagot sa mga degree.}

Halimbawa 2. Binigyan ng quadrilateral ABCD at isang bilog na nakapaligid dito. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Hanapin ang _{<CAD. Isulat ang iyong sagot sa mga degree.}

Halimbawa 3. Binibigyan ng bilog at may nakasulat na quadrilateral ABCD. Ang dalawang anggulo nito ay 82º at58º. Kailangan mong hanapin ang pinakamalaki sa natitirang mga anggulo at isulat ang sagot sa mga degree.

Halimbawa 4. Quadrilateral ABCD ay ibinigay. Ang mga anggulo A, B, C ay ibinibigay sa ratio na 1:2:3. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang anggulo D kung ang tinukoy na quadrilateral ay maaaring inscribed sa isang bilog. Dapat ibigay ang sagot sa mga degree.

Halimbawa 5. Quadrilateral ABCD ay ibinigay. Ang mga gilid nito ay bumubuo ng mga arko ng circumscribed na bilog. Degree values AB, BC, CD at AD, ayon sa pagkakabanggit, ay: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Dapat mong hanapin ang _{<Mula sa ibinigay na quadrangle at isulat ang sagot sa mga degree.}