Second, tangents - lahat ng ito ay maririnig nang daan-daang beses sa mga aralin sa geometry. Ngunit ang pagtatapos sa paaralan ay tapos na, lumipas ang mga taon, at ang lahat ng kaalamang ito ay nakalimutan. Ano ang dapat tandaan?
Essence
Ang terminong "tangent sa isang bilog" ay malamang na pamilyar sa lahat. Ngunit hindi malamang na mabilis na mabuo ng lahat ang kahulugan nito. Samantala, ang padaplis ay isang tuwid na linya na nakahiga sa parehong eroplano na may isang bilog na nag-intersect dito sa isang punto lamang. Maaaring mayroong isang malaking pagkakaiba-iba ng mga ito, ngunit lahat sila ay may parehong mga katangian, na tatalakayin sa ibaba. Tulad ng maaari mong hulaan, ang punto ng contact ay ang lugar kung saan ang bilog at ang linya ay nagsalubong. Sa bawat kaso, ito ay isa, ngunit kung marami pa, ito ay magiging isang secant.
Kasaysayan ng pagtuklas at pag-aaral
Ang konsepto ng tangent ay lumitaw noong unang panahon. Ang pagtatayo ng mga tuwid na linya na ito, una sa isang bilog, at pagkatapos ay sa mga ellipses, parabolas at hyperbolas sa tulong ng isang ruler at isang compass, ay isinasagawa kahit na sa mga unang yugto ng pag-unlad ng geometry. Siyempre, hindi napanatili ng kasaysayan ang pangalan ng nakatuklas, ngunitmalinaw na kahit sa oras na iyon, alam ng mga tao ang mga katangian ng padaplis sa bilog.
Sa modernong panahon, muling sumiklab ang interes sa hindi pangkaraniwang bagay na ito - nagsimula ang isang bagong yugto ng pag-aaral sa konseptong ito, na sinamahan ng pagtuklas ng mga bagong kurba. Kaya, ipinakilala ni Galileo ang konsepto ng isang cycloid, at binuo nina Fermat at Descartes ang isang tangent dito. Tungkol naman sa mga bilog, tila wala nang natitira pang sikreto para sa mga sinaunang tao sa lugar na ito.
Properties
Ang radius na iguguhit sa intersection point ay magiging patayo sa linya. Ito ay
ang pangunahing, ngunit hindi ang tanging katangian na mayroon ang isang tangent sa isang bilog. Ang isa pang mahalagang tampok ay may kasama nang dalawang tuwid na linya. Kaya, sa pamamagitan ng isang punto na nakahiga sa labas ng bilog, dalawang tangent ay maaaring iguguhit, habang ang kanilang mga segment ay magiging pantay. Mayroong isa pang teorama sa paksang ito, ngunit bihirang saklaw ito sa balangkas ng isang karaniwang kurso sa paaralan, kahit na ito ay lubos na maginhawa para sa paglutas ng ilang mga problema. Parang ganito. Mula sa isang punto na matatagpuan sa labas ng bilog, ang isang tangent at isang secant ay iguguhit dito. Ang mga segment na AB, AC at AD ay nabuo. Ang A ay ang intersection ng mga linya, B ang punto ng contact, C at D ang mga intersection. Sa kasong ito, magiging wasto ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: ang haba ng tangent sa bilog, na naka-squad, ay magiging katumbas ng produkto ng mga segment na AC at AD.
Mula sa itaas mayroong isang mahalagang kahihinatnan. Para sa bawat punto ng bilog, maaari kang bumuo ng isang padaplis, ngunit isa lamang. Ang patunay nito ay medyo simple: sa teoryang pagbagsak ng isang patayo mula sa radius papunta dito, nalaman namin na ang nabuohindi maaaring umiral ang tatsulok. At nangangahulugan ito na ang padaplis ay isa lamang.
Gusali
Sa iba pang mga problema sa geometry, mayroong isang espesyal na kategorya, bilang panuntunan, hindi
mahal ng mga mag-aaral at mag-aaral. Upang malutas ang mga gawain mula sa kategoryang ito, kailangan mo lamang ng isang compass at isang ruler. Ito ay mga gawain sa pagbuo. Mayroon ding mga paraan para sa pagbuo ng tangent.
Kaya, binigyan ng bilog at puntong nasa labas ng mga hangganan nito. At ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang padaplis sa pamamagitan ng mga ito. Paano ito gagawin? Una sa lahat, kailangan mong gumuhit ng isang segment sa pagitan ng gitna ng bilog O at isang naibigay na punto. Pagkatapos, gamit ang isang compass, hatiin ito sa kalahati. Upang gawin ito, kailangan mong itakda ang radius - isang maliit na higit sa kalahati ng distansya sa pagitan ng gitna ng orihinal na bilog at ang ibinigay na punto. Pagkatapos nito, kailangan mong bumuo ng dalawang intersecting arc. Bukod dito, ang radius ng compass ay hindi kailangang baguhin, at ang gitna ng bawat bahagi ng bilog ay ang paunang punto at O, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga intersection ng mga arko ay dapat na konektado, na hahatiin ang segment sa kalahati. Magtakda ng radius sa compass na katumbas ng distansyang ito. Susunod, sa gitna sa intersection point, gumuhit ng isa pang bilog. Parehong ang paunang punto at O ay nasa ibabaw nito. Sa kasong ito, magkakaroon ng dalawa pang intersection sa bilog na ibinigay sa problema. Sila ang magiging touch point para sa unang ibinigay na punto.
Interesting
Ito ay ang pagbuo ng mga tangent sa bilog na humantong sa pagsilang ng
differential calculus. Ang unang gawain sa paksang ito ayinilathala ng sikat na German mathematician na si Leibniz. Nagbigay siya ng posibilidad na makahanap ng maxima, minima at tangents, anuman ang fractional at irrational na mga halaga. Ngayon, ginagamit na rin ito para sa maraming iba pang mga kalkulasyon.
Bukod dito, ang padaplis ng bilog ay nauugnay sa geometric na kahulugan ng padaplis. Doon nagmula ang pangalan nito. Isinalin mula sa Latin, ang tangens ay nangangahulugang "tangent". Kaya, ang konseptong ito ay konektado hindi lamang sa geometry at differential calculus, kundi pati na rin sa trigonometry.
Dalawang lupon
Hindi palaging ang tangent ay nakakaapekto lamang sa isang hugis. Kung ang isang malaking bilang ng mga tuwid na linya ay maaaring iguhit sa isang bilog, kung gayon bakit hindi kabaligtaran? Pwede. Ngunit ang gawain sa kasong ito ay seryosong kumplikado, dahil ang tangent sa dalawang bilog ay maaaring hindi dumaan sa anumang mga punto, at ang relatibong posisyon ng lahat ng mga figure na ito ay maaaring maging napaka
iba.
Mga uri at uri
Pagdating sa dalawang bilog at isa o higit pang mga linya, kahit na alam na ang mga ito ay mga tangent, hindi agad malinaw kung paano matatagpuan ang lahat ng mga figure na ito na may kaugnayan sa isa't isa. Batay dito, mayroong ilang mga varieties. Kaya, ang mga lupon ay maaaring magkaroon ng isa o dalawang karaniwang mga punto o wala silang lahat. Sa unang kaso, magsa-intersect sila, at sa pangalawa, hahawakan nila. At narito mayroong dalawang uri. Kung ang isang bilog ay, parang, naka-embed sa pangalawa, kung gayon ang pagpindot ay tinatawag na panloob, kung hindi, pagkatapos ay panlabas. magkaintindihanang lokasyon ng mga figure ay posible hindi lamang batay sa pagguhit, ngunit mayroon ding impormasyon tungkol sa kabuuan ng kanilang radii at ang distansya sa pagitan ng kanilang mga sentro. Kung ang dalawang dami na ito ay pantay, ang mga bilog ay magkadikit. Kung ang una ay mas malaki, sila ay nagsalubong, at kung ito ay mas maliit, kung gayon wala silang mga karaniwang punto.
Gayundin sa mga tuwid na linya. Para sa alinmang dalawang lupon na walang karaniwang puntos, maaari kang
bumuo ng apat na tangent. Dalawa sa kanila ay magsalubong sa pagitan ng mga figure, tinatawag silang panloob. Ang ilang iba ay nasa labas.
Kung pinag-uusapan natin ang mga lupon na may isang karaniwang punto, kung gayon ang gawain ay lubos na pinasimple. Ang katotohanan ay para sa anumang pag-aayos sa isa't isa sa kasong ito, magkakaroon lamang sila ng isang tangent. At dadaan ito sa punto ng kanilang intersection. Kaya ang pagbuo ng kahirapan ay hindi magiging sanhi.
Kung ang mga figure ay may dalawang punto ng intersection, kung gayon ang isang tuwid na linya ay maaaring gawin para sa kanila, padaplis sa bilog, parehong isa at ang pangalawa, ngunit ang panlabas lamang. Ang solusyon sa problemang ito ay katulad ng tatalakayin sa ibaba.
Paglutas ng problema
Ang parehong panloob at panlabas na mga tangent sa dalawang bilog ay hindi gaanong madaling gawin, bagama't ang problemang ito ay maaaring malutas. Ang katotohanan ay isang auxiliary figure ang ginagamit para dito, kaya isipin mo ang paraang ito sa iyong sarili
medyo problemado. Kaya, binigyan ng dalawang bilog na may magkaibang radii at mga sentro ng O1 at O2. Para sa kanila, kailangan mong bumuo ng dalawang pares ng tangents.
Una sa lahat, malapit sa gitna ng mas malakiang mga bilog ay kailangang maitayo bilang pantulong. Sa kasong ito, ang pagkakaiba sa pagitan ng radii ng dalawang unang figure ay dapat na maitatag sa compass. Ang mga tangent sa auxiliary na bilog ay binuo mula sa gitna ng mas maliit na bilog. Pagkatapos nito, mula sa O1 at O2, ang mga patayo ay iginuhit sa mga linyang ito hanggang sa mag-intersect sila sa orihinal na mga figure. Tulad ng mga sumusunod mula sa pangunahing pag-aari ng tangent, ang nais na mga punto sa parehong mga bilog ay matatagpuan. Nalutas ang problema, hindi bababa sa unang bahagi nito.
Upang makabuo ng mga panloob na tangent, kakailanganin mong lutasin nang praktikal
isang katulad na gawain. Muli, kailangan ng auxiliary figure, ngunit sa pagkakataong ito ang radius nito ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga orihinal. Ang mga tangent ay itinayo dito mula sa gitna ng isa sa mga ibinigay na bilog. Ang karagdagang kurso ng solusyon ay mauunawaan mula sa nakaraang halimbawa.
Tangent sa isang bilog o kahit dalawa o higit pa ay hindi isang mahirap na gawain. Siyempre, ang mga mathematician ay matagal nang tumigil sa paglutas ng mga naturang problema nang manu-mano at pinagkakatiwalaan ang mga kalkulasyon sa mga espesyal na programa. Ngunit huwag isipin na ngayon ay hindi kinakailangan na magawa ito sa iyong sarili, dahil upang maayos na bumalangkas ng isang gawain para sa isang computer, kailangan mong gawin at maunawaan ng maraming. Sa kasamaang-palad, may mga pangamba na pagkatapos ng panghuling paglipat sa paraan ng pagsubok ng pagkontrol sa kaalaman, ang mga gawain sa pagtatayo ay magdudulot ng higit at higit pang mga paghihirap para sa mga mag-aaral.
Tungkol sa paghahanap ng mga karaniwang tangent para sa higit pang mga lupon, hindi ito palaging posible, kahit na nakahiga sila sa parehong eroplano. Ngunit sa ilang pagkakataon ay makakahanap ka ng ganoong tuwid na linya.
Mga halimbawa sa buhay
Ang isang karaniwang tangent sa dalawang bilog ay madalas na nakakaharap sa pagsasanay, bagama't hindi ito palaging napapansin. Conveyor, block system, pulley transmission belt, thread tension sa isang sewing machine, at kahit isang chain ng bisikleta - lahat ito ay mga halimbawa ng buhay. Kaya huwag isipin na ang mga geometric na problema ay nananatili lamang sa teorya: sa engineering, physics, construction at marami pang ibang mga lugar, nakakahanap sila ng mga praktikal na aplikasyon.
