Ang paglitaw ng konsepto ng integral ay dahil sa pangangailangang hanapin ang antiderivative function sa pamamagitan ng derivative nito, gayundin upang matukoy ang dami ng trabaho, ang lugar ng mga kumplikadong figure, ang distansya na nilakbay, kasama ang mga parameter na binalangkas ng mga curve na inilalarawan ng mga nonlinear na formula.
Mula sa kurso
at alam ng pisika na ang trabaho ay katumbas ng produkto ng puwersa at distansya. Kung ang lahat ng paggalaw ay nangyayari sa isang pare-pareho ang bilis o ang distansya ay nagtagumpay sa paggamit ng parehong puwersa, kung gayon ang lahat ay malinaw, kailangan mo lamang na i-multiply ang mga ito. Ano ang integral ng isang pare-pareho? Ito ay isang linear na function ng form na y=kx+c.
Ngunit ang puwersa sa panahon ng trabaho ay maaaring magbago, at sa ilang uri ng natural na pag-asa. Ang parehong sitwasyon ay nangyayari sa pagkalkula ng distansya na nilakbay kung ang bilis ay hindi pare-pareho.
Kaya, malinaw kung para saan ang integral. Ang kahulugan nito bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga halaga ng pag-andar sa pamamagitan ng isang walang katapusang pagtaas ng argumento ay ganap na naglalarawan sa pangunahing kahulugan ng konseptong ito bilang ang lugar ng isang figure na nalilimitahan mula sa itaas ng linya ng function, at sa ang mga gilid sa pamamagitan ng mga hangganan ng kahulugan.
Jean Gaston Darboux, French mathematician, sa ikalawang bahagi ng XIXsiglo na napakalinaw na ipinaliwanag kung ano ang isang integral. Nilinaw niya na sa pangkalahatan ay hindi magiging mahirap kahit para sa isang mag-aaral sa junior high school na maunawaan ang isyung ito.
Sabihin nating mayroong function ng anumang kumplikadong anyo. Ang y-axis, kung saan ang mga halaga ng argumento ay naka-plot, ay nahahati sa maliliit na agwat, sa isip ay ang mga ito ay walang hanggan maliit, ngunit dahil ang konsepto ng infinity ay medyo abstract, sapat na upang isipin ang maliit na mga segment lamang, ang halaga na karaniwang tinutukoy ng letrang Griyego na Δ (delta).
Ang function ay lumabas na "pinutol" sa maliliit na ladrilyo.
Ang bawat value ng argument ay tumutugma sa isang punto sa y-axis, kung saan naka-plot ang mga katumbas na value ng function. Ngunit dahil may dalawang hangganan ang napiling lugar, magkakaroon din ng dalawang value ng function, higit pa at mas kaunti.
Ang kabuuan ng mga produkto ng mas malalaking halaga sa pamamagitan ng pagtaas ng Δ ay tinatawag na malaking Darboux sum, at tinutukoy bilang S. Alinsunod dito, ang mas maliit na mga halaga sa isang limitadong lugar, na pinarami ng Δ, lahat ng magkakasama bumuo ng isang maliit na Darboux sum s. Ang seksyon mismo ay kahawig ng isang hugis-parihaba na trapezoid, dahil ang kurbada ng linya ng pag-andar kasama ang infinitesimal na pagtaas nito ay maaaring mapabayaan. Ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang lugar ng naturang geometric figure ay ang pagdaragdag ng mga produkto ng mas malaki at mas maliit na halaga ng function sa pamamagitan ng Δ-increment at hatiin sa dalawa, iyon ay, tukuyin ito bilang arithmetic mean.
Ito ang Darboux integral:
s=Σf(x) Δ ay isang maliit na halaga;
S=Ang Σf(x+Δ)Δ ay isang malaking halaga.
So ano ang integral? Ang lugar na nililimitahan ng function line at ang mga hangganan ng kahulugan ay magiging:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Ibig sabihin, ang arithmetic mean ng malaki at maliit na Darboux sums.c ay isang pare-parehong value na nakatakda sa zero sa panahon ng differentiation.
Batay sa geometric na pagpapahayag ng konseptong ito, nagiging malinaw ang pisikal na kahulugan ng integral. Ang lugar ng figure, na binalangkas ng speed function, at nililimitahan ng agwat ng oras sa abscissa axis, ang magiging haba ng landas na nilakbay.
L=∫f(x)dx sa pagitan mula t1 hanggang t2, Saan
f(x) – function ng bilis, iyon ay, ang formula kung saan ito nagbabago sa paglipas ng panahon;
L – haba ng landas;
t1 – oras ng pagsisimula;
t2 – oras ng pagtatapos ng paglalakbay.
Eksaktong ayon sa parehong prinsipyo, ang dami ng trabaho ay natutukoy, ang distansya lamang ang ilalagay sa kahabaan ng abscissa, at ang dami ng puwersang inilapat sa bawat partikular na punto ay ilalagay sa kahabaan ng ordinate.
