Ang mga problema sa matematika ay ginagamit sa maraming agham. Kabilang dito ang hindi lamang physics, chemistry, engineering at economics, kundi pati na rin ang medisina, ekolohiya at iba pang disiplina. Ang isang mahalagang konsepto na dapat pag-aralan upang makahanap ng mga solusyon sa mahahalagang dilemma ay ang derivative ng isang function. Ang pisikal na kahulugan nito ay hindi naman kasing hirap ipaliwanag na tila sa hindi pa nakakaalam sa esensya ng isyu. Sapat lamang na makahanap ng angkop na mga halimbawa nito sa totoong buhay at ordinaryong pang-araw-araw na sitwasyon. Sa katunayan, ang sinumang motorista ay nakayanan ang isang katulad na gawain araw-araw kapag tinitingnan niya ang speedometer, na tinutukoy ang bilis ng kanyang sasakyan sa isang partikular na sandali ng isang nakapirming oras. Pagkatapos ng lahat, nasa parameter na ito ang kakanyahan ng pisikal na kahulugan ng derivative.
Paano mahahanap ang bilis
Tukuyin ang bilis ng isang tao sa kalsada, alam ang distansyang nilakbay at oras ng paglalakbay, madali ang sinumang nasa ikalimang baitang. Upang gawin ito, ang una sa mga ibinigay na halaga ay hinati sa pangalawa. Perohindi alam ng lahat ng batang matematiko na kasalukuyang hinahanap niya ang ratio ng mga pagtaas ng isang function at isang argumento. Sa katunayan, kung iisipin natin ang paggalaw sa anyo ng isang graph, paglalagay ng landas sa kahabaan ng y-axis, at ang oras sa kahabaan ng abscissa, ito ay magiging eksaktong ganito.
Gayunpaman, ang bilis ng isang pedestrian o anumang iba pang bagay na tinutukoy namin sa isang malaking seksyon ng landas, kung isasaalang-alang ang paggalaw na pare-pareho, ay maaaring magbago. Mayroong maraming mga anyo ng paggalaw sa pisika. Maaari itong maisagawa hindi lamang sa patuloy na pagbilis, ngunit pabagalin at pagtaas sa isang di-makatwirang paraan. Dapat pansinin na sa kasong ito ang linyang naglalarawan sa kilusan ay hindi na magiging isang tuwid na linya. Sa graphically, maaari itong tumagal sa pinaka kumplikadong mga pagsasaayos. Ngunit para sa alinman sa mga punto sa graph, maaari tayong palaging gumuhit ng tangent na kinakatawan ng isang linear function.
Upang linawin ang parameter ng pagbabago ng displacement depende sa oras, kailangang paikliin ang mga sinusukat na segment. Kapag sila ay naging napakaliit, ang kinakalkula na bilis ay magiging madalian. Tinutulungan kami ng karanasang ito na tukuyin ang derivative. Ang pisikal na kahulugan nito ay sumusunod din nang lohikal mula sa gayong pangangatwiran.
Sa mga tuntunin ng geometry
Alam na kung mas malaki ang bilis ng katawan, mas matarik ang graph ng dependence ng displacement sa oras, at samakatuwid ang anggulo ng pagkahilig ng tangent sa graph sa isang tiyak na punto. Ang isang tagapagpahiwatig ng naturang mga pagbabago ay maaaring ang padaplis ng anggulo sa pagitan ng x-axis at ang padaplis na linya. Tinutukoy lamang nito ang halaga ng derivative at kinakalkula ng ratio ng mga habasa tapat ng katabing binti sa isang kanang tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng isang patayo na bumaba mula sa isang punto patungo sa x-axis.
Ito ang geometric na kahulugan ng unang derivative. Ang pisikal ay ipinahayag sa katotohanan na ang halaga ng kabaligtaran na binti sa aming kaso ay ang distansya na nilakbay, at ang katabi ay ang oras. Ang kanilang ratio ay bilis. At muli tayo ay dumating sa konklusyon na ang madalian na bilis, na tinutukoy kapag ang parehong mga puwang ay may posibilidad na walang katapusang maliit, ay ang kakanyahan ng konsepto ng hinalaw, na nagpapahiwatig ng pisikal na kahulugan nito. Ang pangalawang derivative sa halimbawang ito ay ang acceleration ng katawan, na nagpapakita naman ng rate ng pagbabago sa bilis.
Mga halimbawa ng paghahanap ng mga derivatives sa physics
Ang derivative ay isang indicator ng rate ng pagbabago ng anumang function, kahit na hindi natin pinag-uusapan ang paggalaw sa literal na kahulugan ng salita. Upang malinaw na ipakita ito, kumuha tayo ng ilang kongkretong halimbawa. Ipagpalagay na ang kasalukuyang lakas, depende sa oras, ay nagbabago ayon sa sumusunod na batas: I=0, 4t2. Kinakailangang hanapin ang halaga ng rate kung saan nagbabago ang parameter na ito sa pagtatapos ng ika-8 segundo ng proseso. Tandaan na ang mismong gustong halaga, gaya ng mahuhusgahan mula sa equation, ay patuloy na tumataas.
Upang malutas ito, kailangan mong hanapin ang unang derivative, na ang pisikal na kahulugan ay isinasaalang-alang nang mas maaga. Dito dI / dt=0.8t. Susunod, nakita namin ito sa t \u003d 8, nakuha namin na ang rate kung saan nagbabago ang kasalukuyang lakas ay 6.4 A / c. Dito ay itinuturing nasinusukat ang current sa amperes, at oras, ayon sa pagkakabanggit, sa mga segundo.
Nagbabago ang lahat
Ang nakikitang nakapalibot na mundo, na binubuo ng materya, ay patuloy na dumaranas ng mga pagbabago, na kumikilos sa iba't ibang prosesong nagaganap dito. Maaaring gamitin ang iba't ibang mga parameter upang ilarawan ang mga ito. Kung ang mga ito ay pinag-isa sa pamamagitan ng pag-asa, kung gayon ang mga ito ay isinulat sa matematika bilang isang function na malinaw na nagpapakita ng kanilang mga pagbabago. At kung saan may paggalaw (sa anumang anyo na ito ay ipinahayag), mayroon ding hinango, ang pisikal na kahulugan na ating isinasaalang-alang sa ngayon.
Sa pagkakataong ito, ang sumusunod na halimbawa. Ipagpalagay na ang temperatura ng katawan ay nagbabago ayon sa batas T=0, 2 t 2. Dapat mong mahanap ang rate ng pag-init nito sa dulo ng ika-10 segundo. Ang problema ay nalutas sa paraang katulad ng inilarawan sa nakaraang kaso. Iyon ay, nakita namin ang hinango at pinapalitan ang halaga para sa t \u003d 10 dito, nakukuha namin ang T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Nangangahulugan ito na ang huling sagot ay 4 degrees bawat segundo, iyon ay, ang proseso ng pag-init at ang pagbabago ng temperatura, na sinusukat sa mga degree, ay nangyayari nang eksakto sa ganoong bilis.
Paglutas ng mga praktikal na problema
Siyempre, sa totoong buhay ang lahat ay mas kumplikado kaysa sa mga teoretikal na problema. Sa pagsasagawa, ang halaga ng mga dami ay karaniwang tinutukoy sa panahon ng eksperimento. Sa kasong ito, ginagamit ang mga instrumento na nagbibigay ng mga pagbabasa sa panahon ng mga pagsukat na may isang tiyak na error. Samakatuwid, sa mga kalkulasyon, ang isa ay kailangang harapin ang tinatayang mga halaga ng mga parameter at gumamit sa pag-ikot ng mga hindi maginhawang numero,pati na rin ang iba pang mga pagpapasimple. Sa pagsasaalang-alang nito, muli tayong magpapatuloy sa mga problema sa pisikal na kahulugan ng derivative, dahil ang mga ito ay isang uri lamang ng matematikal na modelo ng pinakamasalimuot na prosesong nagaganap sa kalikasan.
Pagputok ng Bulkan
Isipin natin na isang bulkan ang sumabog. Gaano siya kadelikado? Upang masagot ang tanong na ito, maraming mga kadahilanan ang kailangang isaalang-alang. Susubukan naming tanggapin ang isa sa kanila.
Mula sa bibig ng "nagniningas na halimaw" ang mga bato ay inihagis nang patayo paitaas, na may paunang bilis mula sa sandaling sila ay lumabas hanggang sa labas na 120 m/s. Kinakailangang kalkulahin kung ano ang maaari nilang maabot ang pinakamataas na taas.
Upang mahanap ang gustong value, bubuo kami ng equation para sa dependence ng taas H, sinusukat sa metro, sa iba pang value. Kabilang dito ang paunang bilis at oras. Ang acceleration value ay itinuturing na kilala at tinatayang katumbas ng 10 m/s2.
Partial derivative
Ngayon, isaalang-alang natin ang pisikal na kahulugan ng derivative ng isang function mula sa isang bahagyang naiibang anggulo, dahil ang equation mismo ay maaaring maglaman ng hindi isa, ngunit ilang mga variable. Halimbawa, sa nakaraang problema, ang pag-asa sa taas ng mga bato na inilabas mula sa vent ng bulkan ay tinutukoy hindi lamang ng pagbabago sa mga katangian ng oras, kundi pati na rin ng halaga ng paunang bilis. Ang huli ay itinuturing na isang pare-pareho, nakapirming halaga. Ngunit sa iba pang mga gawain na may ganap na magkakaibang mga kondisyon, ang lahat ay maaaring iba. Kung ang dami kung saan ang complexfunction, marami, ang mga kalkulasyon ay ginawa ayon sa mga formula sa ibaba.
Ang pisikal na kahulugan ng madalas na derivative ay dapat matukoy tulad ng sa karaniwang kaso. Ito ang rate kung saan nagbabago ang function sa ilang partikular na punto habang tumataas ang parameter ng variable. Ito ay kinakalkula sa paraan na ang lahat ng iba pang mga bahagi ay kinuha bilang mga constant, isa lamang ang itinuturing bilang isang variable. Pagkatapos ang lahat ay nangyayari ayon sa karaniwang mga panuntunan.
Nakailangang tagapayo sa maraming isyu
Pag-unawa sa pisikal na kahulugan ng derivative, hindi mahirap magbigay ng mga halimbawa ng paglutas ng masalimuot at masalimuot na mga problema, kung saan ang sagot ay matatagpuan sa gayong kaalaman. Kung mayroon kaming function na naglalarawan sa pagkonsumo ng gasolina depende sa bilis ng kotse, maaari naming kalkulahin kung anong mga parameter ng huli ang konsumo ng gasolina ay magiging pinakamaliit.
Sa gamot, mahuhulaan mo kung ano ang magiging reaksyon ng katawan ng tao sa gamot na inireseta ng doktor. Ang pag-inom ng gamot ay nakakaapekto sa iba't ibang mga parameter ng physiological. Kabilang dito ang mga pagbabago sa presyon ng dugo, tibok ng puso, temperatura ng katawan, at higit pa. Ang lahat ng ito ay nakasalalay sa dosis ng gamot na kinuha. Nakakatulong ang mga kalkulasyong ito na mahulaan ang kurso ng paggamot, kapwa sa mga paborableng pagpapakita at sa hindi kanais-nais na mga aksidente na maaaring makaapekto sa mga pagbabago sa katawan ng pasyente.
Walang alinlangan, mahalagang maunawaan ang pisikal na kahulugan ng derivative sa teknikalmga isyu, partikular sa electrical engineering, electronics, disenyo at construction.
Braking distance
Pag-isipan natin ang susunod na problema. Ang paglipat sa isang palaging bilis, ang kotse, papalapit sa tulay, ay kailangang bumagal 10 segundo bago ang pasukan, dahil napansin ng driver ang isang palatandaan sa kalsada na nagbabawal sa paggalaw sa bilis na higit sa 36 km / h. Nilabag ba ng driver ang mga patakaran kung ang distansya ng pagpepreno ay maaaring ilarawan ng formula S=26t - t2?
Pagkalkula ng unang derivative, nakita namin ang formula para sa bilis, nakukuha namin ang v=28 – 2t. Susunod, palitan ang value t=10 sa tinukoy na expression.
Dahil ang value na ito ay ipinahayag sa mga segundo, ang bilis ay 8 m/s, na nangangahulugang 28.8 km/h. Ginagawa nitong posible na maunawaan na ang driver ay nagsimulang bumagal sa oras at hindi lumabag sa mga patakaran sa trapiko, at samakatuwid ang limitasyon na nakasaad sa speed sign.
Ito ay nagpapatunay sa kahalagahan ng pisikal na kahulugan ng derivative. Ang isang halimbawa ng paglutas sa problemang ito ay nagpapakita ng lawak ng paggamit ng konseptong ito sa iba't ibang larangan ng buhay. Kasama sa pang-araw-araw na sitwasyon.
Derivative sa economics
Hanggang sa ika-19 na siglo, karamihan sa mga ekonomista ay nagpapatakbo sa mga average, ito man ay labor productivity o ang presyo ng output. Ngunit mula sa ilang mga punto, ang paglilimita sa mga halaga ay naging mas kinakailangan para sa paggawa ng epektibong mga pagtataya sa lugar na ito. Kabilang dito ang marginal utility, kita o gastos. Ang pag-unawa dito ay nagbigay ng lakas sa paglikha ng isang ganap na bagong kasangkapan sa pananaliksik sa ekonomiya,na umiral at umunlad nang mahigit isang daang taon.
Upang gumawa ng mga kalkulasyon, kung saan nangingibabaw ang mga konsepto bilang minimum at maximum, kailangan lang na maunawaan ang geometric at pisikal na kahulugan ng derivative. Sa mga lumikha ng teoretikal na batayan ng mga disiplinang ito, maaaring pangalanan ng isang kilalang Ingles at Austrian na ekonomista ang US Jevons, K. Menger at iba pa. Siyempre, ang paglilimita sa mga halaga sa mga kalkulasyon sa ekonomiya ay hindi palaging maginhawang gamitin. At, halimbawa, ang mga quarterly na ulat ay hindi kinakailangang magkasya sa umiiral na pamamaraan, ngunit gayon pa man, ang paggamit ng naturang teorya sa maraming mga kaso ay kapaki-pakinabang at epektibo.
