Ang
Polyhedra ay hindi lamang sumasakop sa isang kilalang lugar sa geometry, ngunit nangyayari rin sa pang-araw-araw na buhay ng bawat tao. Hindi banggitin ang artipisyal na nilikha na mga gamit sa bahay sa anyo ng iba't ibang mga polygon, na nagsisimula sa isang kahon ng posporo at nagtatapos sa mga elemento ng arkitektura, mga kristal sa anyo ng isang cube (asin), prism (crystal), pyramid (scheelite), octahedron (brilyante), atbp. e.
Ang konsepto ng polyhedron, mga uri ng polyhedra sa geometry
Ang
Geometry bilang isang agham ay naglalaman ng isang seksyon ng stereometry na nag-aaral sa mga katangian at katangian ng mga three-dimensional na figure. Ang mga geometric na katawan, ang mga gilid kung saan sa tatlong-dimensional na espasyo ay nabuo ng limitadong mga eroplano (mga mukha), ay tinatawag na "polyhedra". Kabilang sa mga uri ng polyhedra ang higit sa isang dosenang kinatawan, na naiiba sa bilang at hugis ng mga mukha.
Gayunpaman, lahat ng polyhedra ay may mga karaniwang katangian:
- Lahat sila ay may 3 mahahalagang bahagi: mukha(ibabaw ng polygon), vertex (nabubuo ang mga sulok sa junction ng mga mukha), gilid (gilid ng figure o isang segment na nabuo sa junction ng dalawang mukha).
- Ang bawat gilid ng polygon ay nag-uugnay sa dalawa at dalawang mukha lamang na magkatabi.
- Convexity ay ang katawan ay ganap na matatagpuan lamang sa isang gilid ng eroplano kung saan nakahiga ang isa sa mga mukha. Nalalapat ang panuntunan sa lahat ng mukha ng polyhedron. Ang ganitong mga geometric na figure sa stereometry ay tinatawag na convex polyhedra. Ang pagbubukod ay polyhedra na hugis-bituin, na mga derivatives ng regular na polyhedral geometric solids.
Ang ibig sabihin ng
Polyhedra ay maaaring nahahati sa kondisyong:
- Mga uri ng convex polyhedra, na binubuo ng mga sumusunod na klase: ordinaryo o classical (prism, pyramid, parallelepiped), regular (tinatawag ding Platonic solids), semi-regular (second name - Archimedean solids).
- Di-convex polyhedra (hugis-bituin).
Prism at mga katangian nito
Stereometry bilang isang sangay ng geometry ay pinag-aaralan ang mga katangian ng mga three-dimensional na figure, mga uri ng polyhedra (isa na rito ang isang prisma). Ang prisma ay isang geometric na katawan na kinakailangang may dalawang ganap na magkaparehong mukha (tinatawag din silang mga base) na nakahiga sa magkatulad na mga eroplano, at ang n-th na bilang ng mga gilid na mukha sa anyo ng mga parallelograms. Kaugnay nito, ang prisma ay mayroon ding ilang uri, kabilang ang mga uri ng polyhedra gaya ng:
- Parallelepiped - nabuo kung ang base ay parallelogram -polygon na may 2 pares ng magkaparehong magkasalungat na anggulo at 2 pares ng magkaparehong magkabilang panig.
- Ang isang tuwid na prisma ay may mga gilid na patayo sa base.
- Tilted prism ay nailalarawan sa pagkakaroon ng mga hindi tamang anggulo (maliban sa 90) sa pagitan ng mga mukha at base.
- Ang isang regular na prism ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga base sa anyo ng isang regular na polygon na may pantay na mga mukha sa gilid.
Mga pangunahing katangian ng isang prisma:
- Mga magkatugmang base.
- Lahat ng gilid ng prism ay pantay at parallel sa isa't isa.
- Lahat ng gilid na mukha ay hugis parallelogram.
Pyramid
Ang
Pyramid ay isang geometric na katawan, na binubuo ng isang base at n-th na bilang ng mga triangular na mukha, na konektado sa isang punto - sa itaas. Dapat pansinin na kung ang mga gilid na mukha ng pyramid ay kinakailangang kinakatawan ng mga tatsulok, kung gayon ang base ay maaaring alinman sa isang tatsulok na polygon, o isang quadrangle, o isang pentagon, at iba pa ad infinitum. Sa kasong ito, ang pangalan ng pyramid ay tumutugma sa polygon sa base. Halimbawa, kung ang isang tatsulok ay nasa base ng isang pyramid, ito ay isang tatsulok na pyramid, ang isang may apat na gilid ay isang quadrangular, atbp.
Ang
Pyramids ay parang cone polyhedra. Ang mga uri ng polyhedra ng pangkat na ito, bilang karagdagan sa mga nakalista sa itaas, ay kinabibilangan din ng mga sumusunod na kinatawan:
- Ang isang regular na pyramid ay may isang regular na polygon sa base nito, at ang taas nito ay inaasahang nasa gitnaisang bilog na nakasulat sa base o nakapaligid dito.
- Nabubuo ang isang hugis-parihaba na pyramid kapag ang isa sa mga gilid ng gilid ay nag-intersect sa base sa tamang anggulo. Sa kasong ito, makatarungan din na tawagan ang gilid na ito bilang taas ng pyramid.
Pyramid properties:
- Kung ang lahat ng gilid na gilid ng pyramid ay magkatugma (ng parehong taas), pagkatapos ay lahat sila ay bumalandra sa base sa parehong anggulo, at sa paligid ng base maaari kang gumuhit ng isang bilog na may sentro na tumutugma sa projection ng tuktok ng pyramid.
- Kung ang base ng pyramid ay isang regular na polygon, kung gayon ang lahat ng gilid ng gilid ay magkatugma, at ang mga mukha ay isosceles triangle.
Regular polyhedron: mga uri at katangian ng polyhedra
Sa stereometry, ang isang espesyal na lugar ay inookupahan ng mga geometric na katawan na may ganap na pantay na mga mukha, sa mga vertices kung saan ang parehong bilang ng mga gilid ay konektado. Ang mga solidong ito ay tinatawag na Platonic solids, o regular polyhedra. Ang mga uri ng polyhedra na may ganitong mga katangian ay may limang hugis lamang:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Icosahedron.
Ang regular na polyhedra ay may utang na pangalan sa sinaunang pilosopong Griyego na si Plato, na inilarawan ang mga geometric na katawan na ito sa kanyang mga sinulat at iniugnay ang mga ito sa mga natural na elemento: lupa, tubig, apoy, hangin. Ang ikalimang pigura ay ginawaran ng pagkakatulad sa istruktura ng uniberso. Sa kanyang opinyon, ang mga atomo ng mga natural na elemento sa hugis ay kahawig ng mga uri ng regular na polyhedra. Dahil sa pinakakapana-panabik na ari-arian nito -symmetry, ang mga geometric na katawan na ito ay may malaking interes hindi lamang sa mga sinaunang matematiko at pilosopo, kundi pati na rin sa mga arkitekto, pintor at iskultor sa lahat ng panahon. Ang pagkakaroon lamang ng 5 uri ng polyhedra na may ganap na simetrya ay itinuturing na pangunahing pagtuklas, ginawaran pa sila ng koneksyon sa banal na prinsipyo.
Hexahedron at mga katangian nito
Sa anyo ng isang heksagono, ang mga kahalili ni Plato ay nagkaroon ng pagkakatulad sa istruktura ng mga atomo ng daigdig. Siyempre, sa kasalukuyan, ang hypothesis na ito ay ganap na pinabulaanan, na, gayunpaman, ay hindi pumipigil sa mga figure na maakit ang isip ng mga sikat na figure sa kanilang mga aesthetics sa modernong panahon.
Sa geometry, ang isang hexahedron, na kilala rin bilang isang cube, ay itinuturing na isang espesyal na kaso ng isang parallelepiped, na, naman, ay isang uri ng prisma. Alinsunod dito, ang mga katangian ng kubo ay nauugnay sa mga katangian ng prisma, na ang pagkakaiba lamang ay ang lahat ng mga mukha at sulok ng kubo ay pantay sa bawat isa. Ang mga sumusunod na katangian ay sumusunod mula rito:
- Lahat ng gilid ng cube ay magkatugma at nakahiga sa parallel planes na may paggalang sa isa't isa.
- Lahat ng mukha ay magkatugmang mga parisukat (may kabuuang 6 sa isang cube), alinman sa mga ito ay maaaring gawing base.
- Lahat ng anggulo ng interface ay 90.
- May pantay na bilang ng mga gilid na nagmumula sa bawat vertex, ibig sabihin, 3.
- Ang cube ay may 9 na axes ng symmetry, na lahat ay bumalandra sa intersection point ng mga diagonal ng hexahedron, na tinatawag na center of symmetry.
Tetrahedron
Ang tetrahedron ay isang tetrahedron na may pantay na mukha sa anyo ng mga tatsulok, bawat isa sa mga vertices nitoay ang junction point ng tatlong mukha.
Mga katangian ng regular na tetrahedron:
- Lahat ng mukha ng tetrahedron ay equilateral triangle, ibig sabihin, lahat ng mukha ng tetrahedron ay magkapareho.
- Dahil ang base ay kinakatawan ng isang regular na geometric figure, ibig sabihin, ito ay may magkapantay na panig, ang mga mukha ng tetrahedron ay nagtatagpo sa parehong anggulo, ibig sabihin, lahat ng mga anggulo ay pantay.
- Ang kabuuan ng mga flat angle sa bawat isa sa mga vertices ay 180, dahil ang lahat ng mga anggulo ay pantay, kung gayon ang anumang anggulo ng isang regular na tetrahedron ay 60.
- Ang bawat isa sa mga vertices ay inaasahang papunta sa intersection point ng mga taas ng kabaligtaran (orthocenter) na mukha.
Ang octahedron at ang mga katangian nito
Inilalarawan ang mga uri ng regular na polyhedra, hindi maaaring hindi mapansin ng isang tao ang isang bagay bilang isang octahedron, na maaaring biswal na ilarawan bilang dalawang quadrangular regular na pyramids na pinagdikit ng mga base.
Mga katangian ng octahedron:
- Ang mismong pangalan ng isang geometric na katawan ay nagmumungkahi ng bilang ng mga mukha nito. Ang octahedron ay binubuo ng 8 magkaparehong equilateral triangle, sa bawat isa sa mga vertices kung saan ang pantay na bilang ng mga mukha ay nagtatagpo, ibig sabihin ay 4.
- Dahil pantay ang lahat ng mukha ng isang octahedron, pantay din ang mga anggulo ng interface nito, ang bawat isa ay katumbas ng 60, at ang kabuuan ng mga anggulo ng eroplano ng alinman sa mga vertices ay 240.
Dodecahedron
Kung iniisip natin na ang lahat ng mga mukha ng isang geometric na katawan ay isang regular na pentagon, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang dodecahedron -isang figure ng 12 polygons.
Mga katangian ng dodecahedron:
- Tatlong mukha ang nagsalubong sa bawat vertex.
- Pantay ang lahat ng mukha at may parehong haba ng gilid at pantay na lawak.
- Ang dodecahedron ay may 15 axes at plane of symmetry, at alinman sa mga ito ay dumadaan sa vertex ng mukha at sa gitna ng kabaligtaran na gilid.
Icosahedron
Hindi gaanong kawili-wili kaysa sa dodecahedron, ang figure ng icosahedron ay isang three-dimensional na geometric na katawan na may 20 pantay na mukha. Kabilang sa mga katangian ng isang regular na twenty-hedron, ang mga sumusunod ay mapapansin:
- Lahat ng mukha ng icosahedron ay isosceles triangle.
- Limang mukha ang nagtatagpo sa bawat vertex ng polyhedron, at ang kabuuan ng mga katabing anggulo ng vertex ay 300.
- Ang icosahedron, tulad ng dodecahedron, ay may 15 axes at mga eroplano ng simetriya na dumadaan sa mga midpoint ng magkasalungat na mukha.
Mga semi-regular na polygon
Bukod sa Platonic solids, kasama rin sa grupo ng convex polyhedra ang Archimedean solids, na pinutol na regular polyhedra. Ang mga uri ng polyhedra ng pangkat na ito ay may mga sumusunod na katangian:
- Ang mga geometric na katawan ay may magkapares na magkapantay na mukha ng ilang uri, halimbawa, ang pinutol na tetrahedron ay may 8 mukha, tulad ng isang regular na tetrahedron, ngunit sa kaso ng isang Archimedean solid, 4 na mukha ay magiging tatsulok at 4 ay magiging hexagonal.
- Lahat ng anggulo ng isang vertex ay magkapareho.
Star polyhedra
Ang mga kinatawan ng non-volumetric na uri ng mga geometric na katawan ay stellated polyhedra na ang mga mukha ay nagsalubong sa isa't isa. Maaaring mabuo ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng dalawang regular na 3D solid o sa pamamagitan ng pagpapahaba ng kanilang mga mukha.
Kaya, ang naturang stellated polyhedra ay kilala bilang: stellated forms ng octahedron, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedron, icosododecahedron.
