Arithmetic square root at mga katangian nito

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 05:44

Nag-aral kaming lahat ng arithmetic square roots sa algebra class sa paaralan. Ito ay nangyayari na kung ang kaalaman ay hindi na-refresh, pagkatapos ito ay mabilis na nakalimutan, pareho sa mga ugat. Ang artikulong ito ay magiging kapaki-pakinabang sa ikawalong baitang na gustong i-refresh ang kanilang kaalaman sa lugar na ito, at iba pang mga mag-aaral, dahil nagtatrabaho kami sa mga ugat sa mga baitang 9, 10, at 11.

History of root and degree

Kahit noong sinaunang panahon, at partikular sa sinaunang Egypt, ang mga tao ay nangangailangan ng mga degree upang maisagawa ang mga operasyon sa mga numero. Nang walang ganoong konsepto, isinulat ng mga Ehipsiyo ang produkto ng parehong bilang nang dalawampung beses. Ngunit sa lalong madaling panahon ay naimbento ang isang solusyon sa problema - ang dami ng beses na ang bilang na dapat na i-multiply sa sarili nito ay nagsimulang isulat sa kanang itaas na sulok sa itaas nito, at ang paraan ng pag-record na ito ay nananatili hanggang sa araw na ito.

At ang kasaysayan ng square root ay nagsimula mga 500 taon na ang nakalilipas. Ito ay itinalaga sa iba't ibang paraan, at noong ikalabing pitong siglo lamang ipinakilala ni Rene Descartes ang gayong tanda, na ginagamit natin hanggang ngayon.

Ano ang square root

Magsimula tayo sa pagpapaliwanag kung ano ang square root. Ang parisukat na ugat ng ilang bilang na c ay isang hindi negatibong numero na, kapag naka-square, ay magiging katumbas ng c. Sa kasong ito, ang c ay mas malaki sa o katumbas ng zero.

Upang maglagay ng numero sa ilalim ng ugat, i-square namin ito at ilagay ang root sign sa ibabaw nito:

32=9, 3=√9

Gayundin, hindi namin makuha ang halaga ng square root ng isang negatibong numero, dahil ang anumang numero sa isang parisukat ay positibo, iyon ay:

c² ≧ 0, kung ang √c ay negatibong numero, c^{2 < 0 - salungat sa panuntunan.}

Upang mabilis na makalkula ang mga square root, kailangan mong malaman ang talahanayan ng mga parisukat ng mga numero.

Properties

Ating isaalang-alang ang algebraic properties ng square root.

1) Upang kunin ang square root ng produkto, kailangan mong kunin ang ugat ng bawat salik. Ibig sabihin, maaari itong isulat bilang produkto ng mga ugat ng mga salik:

√ac=√a × √c, halimbawa:

√36=√4 × √9

2) Kapag kumukuha ng ugat mula sa isang fraction, kinakailangang kunin ang ugat nang hiwalay sa numerator at denominator, ibig sabihin, isulat ito bilang quotient ng kanilang mga ugat.

3) Ang halaga na nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng square root ng isang numero ay palaging katumbas ng modulus ng numerong ito, dahil ang modulus ay maaari lamang maging positibo:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Upang itaas ang ugat sa anumang kapangyarihan, itinataas namin itoradikal na expression:

(√с)⁴=√с^{4, halimbawa:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) Ang parisukat ng arithmetic root ng c ay katumbas ng numerong ito mismo:

(√s)2=s.

Mga ugat ng hindi makatwirang numero

Sabihin nating madali ang ugat ng labing-anim, ngunit paano kunin ang ugat ng mga numero tulad ng 7, 10, 11?

Ang isang numero na ang ugat ay isang infinite non-periodic fraction ay tinatawag na irrational. Hindi natin mabubunot ang ugat nito nang mag-isa. Maihahambing lamang natin ito sa ibang mga numero. Halimbawa, kunin ang ugat ng 5 at ihambing ito sa √4 at √9. Malinaw na ang √4 < √5 < √9, pagkatapos ay 2 < √5 < 3. Nangangahulugan ito na ang halaga ng ugat ng lima ay nasa pagitan ng dalawa at tatlo, ngunit mayroong maraming decimal fraction sa pagitan nila, at ang pagpili sa bawat isa ay isang kahina-hinalang paraan ng paghahanap ng ugat.

Maaari mong gawin ang operasyong ito sa isang calculator - ito ang pinakamadali at pinakamabilis na paraan, ngunit sa ika-8 baitang hindi mo na kakailanganing kunin ang mga hindi makatwirang numero mula sa arithmetic square root. Kailangan mo lang tandaan ang tinatayang halaga ng ugat ng dalawa at ang ugat ng tatlo:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Mga Halimbawa

Ngayon, batay sa mga katangian ng square root, malulutas natin ang ilang halimbawa:

1) √17² - 8²

Tandaan ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Alam namin ang pag-aari ng square arithmetic root - upang kunin ang ugat mula sa produkto, kailangan mong kunin ito mula sa bawat salik:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Mag-apply ng isa pang property ng root - ang parisukat ng arithmetic root ng isang numero ay katumbas ng numerong ito mismo:

2 × 3 + 6=12

Mahalaga! Kadalasan, kapag nagsimulang magtrabaho at mag-solve ng mga halimbawa na may arithmetic square roots, nagkakamali ang mga estudyante:

√12 + 3=√12 + √3 - hindi mo magagawa iyon!

Hindi natin makukuha ang ugat ng bawat termino. Walang ganoong tuntunin, ngunit ito ay nalilito sa pagkuha ng ugat ng bawat kadahilanan. Kung mayroon kaming entry na ito:

√12 × 3, kung gayon magiging patas na isulat ang √12 × 3=√12 × √3.

At para maisulat lang natin:

√12 + 3=√15