Ang kahalagahan ng mga variable sa matematika ay mahusay, dahil sa panahon ng pag-iral nito, ang mga siyentipiko ay nakagawa ng maraming pagtuklas sa lugar na ito, at upang maikli at malinaw na maipahayag ito o ang theorem na iyon, gumagamit kami ng mga variable upang isulat ang kaukulang mga formula. Halimbawa, ang Pythagorean theorem sa isang right triangle: a2 =b2 + c2. Paano magsulat sa bawat oras kapag nilulutas ang isang problema: ayon sa Pythagorean theorem, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti - isinusulat namin ito gamit ang isang formula, at ang lahat ay agad na nagiging malinaw.
Kaya, tatalakayin ng artikulong ito kung ano ang mga variable, ang kanilang mga uri at katangian. Isasaalang-alang din ang iba't ibang mathematical expression: mga hindi pagkakapantay-pantay, formula, system at algorithm para sa kanilang solusyon.
Variable concept
Una sa lahat, ano ang variable? Ito ay isang numerical na halaga na maaaring tumagal sa maraming mga halaga. Hindi ito maaaring maging pare-pareho, dahil sa iba't ibang mga problema at equation, para sa kaginhawahan, kumukuha kami ng mga solusyon bilangvariable iba't ibang mga numero, iyon ay, halimbawa, ang z ay isang pangkalahatang pagtatalaga para sa bawat isa sa mga dami kung saan ito kinuha. Kadalasan ang mga ito ay tinutukoy ng mga titik ng alpabetong Latin o Greek (x, y, a, b, at iba pa).
May iba't ibang uri ng mga variable. Nagtakda sila ng ilang pisikal na dami - landas (S), oras (t), at simpleng hindi kilalang mga halaga sa mga equation, function at iba pang expression.
Halimbawa, mayroong formula: S=Vt. Dito, tinutukoy ng mga variable ang ilang partikular na dami na nauugnay sa totoong mundo - ang landas, bilis at oras.
At mayroong isang equation ng anyo: 3x - 16=12x. Dito, ang x ay kinuha na bilang abstract na numero na may katuturan sa notasyong ito.
Mga uri ng dami
Ang halaga ay nangangahulugan ng isang bagay na nagpapahayag ng mga katangian ng isang partikular na bagay, sangkap o phenomenon. Halimbawa, temperatura ng hangin, bigat ng isang hayop, porsyento ng mga bitamina sa isang tablet - ito ang lahat ng mga dami na maaaring kalkulahin ang mga numerical value.
Ang bawat dami ay may sariling mga yunit ng pagsukat, na magkakasamang bumubuo ng isang sistema. Tinatawag itong number system (SI).
Ano ang mga variable at constant? Isaalang-alang ang mga ito na may mga partikular na halimbawa.
Kumuha tayo ng rectilinear uniform motion. Ang isang punto sa espasyo ay gumagalaw sa parehong bilis sa bawat oras. Iyon ay, nagbabago ang oras at distansya, ngunit ang bilis ay nananatiling pareho. Sa halimbawang ito, ang oras at distansya ay mga variable, at ang bilis ay pare-pareho.
O, halimbawa, “pi”. Ito ay isang hindi makatwirang numero na nagpapatuloy nang hindi umuulitisang pagkakasunud-sunod ng mga digit at hindi maaaring isulat nang buo, kaya sa matematika ito ay ipinahayag sa pamamagitan ng isang karaniwang tinatanggap na simbolo na kumukuha lamang ng halaga ng isang ibinigay na infinite fraction. Ibig sabihin, ang "pi" ay isang pare-parehong halaga.
Kasaysayan
Ang kasaysayan ng notasyon ng mga variable ay nagsimula noong ikalabing pitong siglo kasama ng siyentipikong si René Descartes.
Itinakda niya ang mga kilalang halaga sa mga unang titik ng alpabeto: a, b at iba pa, at para sa hindi alam ay iminungkahi niya ang paggamit ng mga huling titik: x, y, z. Kapansin-pansin na itinuturing ni Descartes na ang mga variable na ito ay hindi negatibong mga numero, at kapag nahaharap sa mga negatibong parameter, naglagay siya ng minus sign sa harap ng variable o, kung hindi alam kung ano ang sign ng numero, isang ellipsis. Ngunit sa paglipas ng panahon, ang mga pangalan ng mga variable ay nagsimulang tukuyin ang mga numero ng anumang palatandaan, at ito ay nagsimula sa mathematician na si Johann Hudde.
Sa mga variable, mas madaling lutasin ang mga kalkulasyon sa matematika, dahil, halimbawa, paano natin malulutas ang mga biquadratic equation ngayon? Nagpasok kami ng isang variable. Halimbawa:
x4 + 15x2 + 7=0
Para sa x2 kumukuha kami ng ilang k, at nagiging malinaw ang equation:
x2=k, para sa k ≧ 0
k2 + 15k + 7=0
Iyan ang naidudulot ng pagpapakilala ng mga variable sa matematika.
Mga hindi pagkakapantay-pantay, mga halimbawa ng mga solusyon
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay isang talaan kung saan ang dalawang mathematical expression o dalawang numero ay konektado sa pamamagitan ng mga palatandaan ng paghahambing:, ≦, ≧. Mahigpit ang mga ito at isinasaad ng mga palatandaan o hindi mahigpit na may mga karatulang ≦, ≧.
Sa unang pagkakataon ay ipinakilala ang mga palatandaang itoThomas Harriot. Pagkamatay ni Thomas, ang kanyang aklat na may mga notasyong ito ay nai-publish, nagustuhan sila ng mga mathematician, at sa paglipas ng panahon naging malawakang ginagamit ang mga ito sa mga kalkulasyon sa matematika.
May ilang panuntunang dapat sundin kapag niresolba ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng iisang variable:
- Kapag naglilipat ng numero mula sa isang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa, palitan ang sign nito sa kabaligtaran.
- Kapag nag-multiply o naghahati ng mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang negatibong numero, binabaligtad ang mga senyales nito.
- Kung i-multiply o hahatiin mo ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero, makakakuha ka ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng orihinal.
Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng wastong halaga para sa isang variable.
Iisang halimbawa ng variable:
10x - 50 > 150
Aming nilulutas ito tulad ng isang normal na linear equation - inililipat namin ang mga termino na may variable sa kaliwa, walang variable - sa kanan at nagbibigay ng mga katulad na termino:
10x > 200
Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa 10 at makuha ang:
x > 20
Para sa kalinawan, sa halimbawa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable, gumuhit ng linya ng numero, markahan ang pierced point 20 dito, dahil mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay, at ang numerong ito ay hindi kasama sa hanay ng mga solusyon nito.
Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang pagitan (20; +∞).
Ang solusyon sa isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng isang mahigpit na solusyon:
6x - 12 ≧ 18
6x ≧ 30
x ≧ 5
Ngunit may isang exception. Ang isang talaan ng form x ≧ 5 ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: x ay mas malaki sa o katumbas ng lima, na nangangahulugangang bilang na lima ay kasama sa hanay ng lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, iyon ay, kapag isinusulat ang sagot, naglalagay kami ng square bracket sa harap ng numerong lima.
x ∈ [5; +∞)
Mga parisukat na hindi pagkakapantay-pantay
Kung kukuha tayo ng isang quadratic equation ng form na ax2 + bx +c=0 at babaguhin ang equal sign sa inequality sign sa loob nito, pagkatapos ay kukuha tayo ng isang quadratic inequality.
Upang malutas ang isang quadratic inequality, kailangan mong malutas ang mga quadratic equation.
Angy=ax2 + bx + c ay isang quadratic function. Maaari nating lutasin ito gamit ang discriminant, o gamit ang Vieta theorem. Alalahanin kung paano nalulutas ang mga equation na ito:
1) y=x2 + 12x + 11 - ang function ay isang parabola. Ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, dahil ang senyales ng coefficient na "a" ay positibo.
2) x2 + 12x + 11=0 - katumbas ng zero at lutasin gamit ang discriminant.
a=1, b=12, c=11
D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 ugat
Ayon sa formula ng mga ugat ng quadratic equation, makukuha natin ang:
x1 =-1, x2=-11
O maaari mong lutasin ang equation na ito gamit ang Vieta theorem:
x1 + x2 =-b/a, x1 + x 2=-12
x1x2 =c/a, x1x2=11
Gamit ang paraan ng pagpili, makukuha natin ang parehong mga ugat ng equation.
Parabola
Kaya, ang unang paraan upang malutas ang isang quadratic inequality ay isang parabola. Ang algorithm para sa paglutas nito ay ang mga sumusunod:
1. Tukuyin kung saan nakadirekta ang mga sanga ng parabola.
2. I-equate ang function sa zero at hanapin ang mga ugat ng equation.
3. Bumubuo kami ng linya ng numero, markahan ang mga ugat dito, gumuhit ng parabola at hanapin ang puwang na kailangan namin, depende sa palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x2 + x - 12 > 0
Isulat bilang isang function:
1) y=x2 + x - 12 - parabola, mga sanga pataas.
Itakda sa zero.
2) x2 + x -12=0
Susunod, nilulutas namin bilang isang quadratic equation at hinahanap ang mga zero ng function:
x1 =3, x2=-4
3) Gumuhit ng number line na may mga puntos na 3 at -4 dito. Ang parabola ay dadaan sa kanila, mga sanga at ang sagot sa hindi pagkakapantay-pantay ay isang hanay ng mga positibong halaga, iyon ay, (-∞; -4), (3; +∞).
Pamamaraan ng pagitan
Ang pangalawang paraan ay ang spacing method. Algorithm para sa paglutas nito:
1. Hanapin ang mga ugat ng equation kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng zero.
2. Markahan namin sila sa linya ng numero. Kaya, nahahati ito sa ilang mga agwat.
3. Tukuyin ang tanda ng anumang agwat.
4. Naglalagay kami ng mga karatula sa natitirang mga pagitan, binabago ang mga ito pagkatapos ng isa.
Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0
1) Mga zero sa hindi pagkakapantay-pantay: 4, 5 at -7.
2) Iguhit ang mga ito sa linya ng numero.
3) Tukuyin ang mga palatandaan ng mga agwat.
Sagot: (-∞; -7]; [4; 5].
Lutasin ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0
1. Mga zero sa hindi pagkakapantay-pantay: 0, 2, -2 at 1.
2. Markahan sila sa linya ng numero.
3. Tukuyin ang mga palatandaan ng pagitan.
Ang linya ay nahahati sa mga pagitan - mula -2 hanggang 0, mula 0 hanggang 1, mula 1 hanggang 2.
Kunin ang halaga sa unang pagitan - (-1). Palitan sa hindi pagkakapantay-pantay. Sa halagang ito, nagiging positibo ang hindi pagkakapantay-pantay, na ang ibig sabihin ay magiging +.
Dagdag pa, simula sa unang puwang, inaayos namin ang mga palatandaan, binabago ang mga ito pagkatapos ng isa.
Ang hindi pagkakapantay-pantay ay mas malaki kaysa sa zero, ibig sabihin, kailangan mong maghanap ng hanay ng mga positibong halaga sa linya.
Sagot: (-2; 0), (1; 2).
Systems of equation
Ang sistema ng mga equation na may dalawang variable ay dalawang equation na pinagsama ng isang curly brace kung saan kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon.
Maaaring katumbas ang mga system kung ang pangkalahatang solusyon ng isa sa mga ito ay ang solusyon ng isa pa, o pareho silang walang solusyon.
Pag-aaralan natin ang solusyon ng mga sistema ng mga equation na may dalawang variable. Mayroong dalawang paraan upang malutas ang mga ito - ang paraan ng pagpapalit o ang paraan ng algebraic.
Algebraic na paraan
Upang malutas ang system na ipinapakita sa larawan gamit ang paraang ito, kailangan mo munang i-multiply ang isa sa mga bahagi nito sa naturang numero, upang sa paglaon ay maaari mong kanselahin ang isang variable mula sa parehong bahagi ng equation. Dito kami ay nagpaparami ng tatlo, gumuhit ng isang linya sa ilalim ng system at magdagdag ng mga bahagi nito. Bilang resulta, ang x ay naging magkapareho sa modulus, ngunit kabaligtaran sa sign, at binabawasan namin ang mga ito. Susunod, makakakuha tayo ng linear equation na may isang variable at lutasin ito.
Nahanap namin si Y, ngunit hindi kami maaaring tumigil doon, dahil hindi pa namin nahanap ang X. KapalitY sa bahagi kung saan magiging maginhawang bawiin ang X, halimbawa:
-x + 5y=8, na may y=1
-x + 5=8
Lutasin ang resultang equation at hanapin ang x.
-x=-5 + 8
-x=3
x=-3
Ang pangunahing bagay sa solusyon ng system ay isulat nang tama ang sagot. Maraming estudyante ang nagkakamali sa pagsulat:
Sagot: -3, 1.
Ngunit ito ay isang maling entry. Pagkatapos ng lahat, tulad ng nabanggit sa itaas, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga equation, naghahanap kami ng isang pangkalahatang solusyon para sa mga bahagi nito. Ang tamang sagot ay:
(-3; 1)
Paraan ng pagpapalit
Ito marahil ang pinakasimpleng paraan at mahirap magkamali. Kunin natin ang sistema ng mga equation number 1 mula sa larawang ito.
Sa unang bahagi nito, ang x ay nabawasan na sa form na kailangan natin, kaya kailangan na lang nating palitan ito ng isa pang equation:
5y + 3y - 25=47
Ilipat ang numero nang walang variable sa kanan, dalhin ang mga katulad na termino sa isang karaniwang halaga at hanapin ang y:
8y=72
y=9
Pagkatapos, tulad ng sa algebraic method, pinapalitan natin ang halaga ng y sa alinman sa mga equation at hanapin ang x:
x=3y - 25, na may y=9
x=27 - 25
x=2
Sagot: (2; 9).
