Logarithm: mga halimbawa at solusyon

2024 May -akda: Angel Austin | [email protected]. Huling binago: 2024-01-02 17:57

Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, palaging nagdaragdag ang mga exponents ng mga ito (a^ba^c=a^{b+ c). Ang batas sa matematika na ito ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer indicator. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos kahit saan kung saan kinakailangan na gawing simple ang masalimuot na multiplikasyon sa simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Simple at naa-access na wika.}

Definition sa mathematics

Ang logarithm ay isang expression ng sumusunod na anyo: log_ab=c c" kung saan kailangan mong itaas ang base na "a" upang sa wakas ay makuha ang halaga " b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log_{28. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng ganoong antas na mula 2 hanggang sa kinakailangang antas ay makakakuha ka ng 8. Matapos magawa ang ilang mga kalkulasyon sa iyong isip, nakuha namin ang numero 3! At ito ay totoo, dahilAng 2 na itinaas sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng sagot na 8.}

Mga pagkakaiba-iba ng logarithms

Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan, ang logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. May tatlong magkakahiwalay na uri ng logarithmic expression:

Natural logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e=2, 7).
Decimal logarithm lg a, kung saan ang base ay ang numerong 10.
Logarithm ng anumang numero b hanggang base a>1.

Ang bawat isa sa kanila ay nalulutas sa karaniwang paraan, kabilang ang pagpapasimple, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang logarithm gamit ang logarithmic theorems. Upang makuha ang tamang mga halaga ng logarithms, dapat tandaan ng isa ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon sa paglutas ng mga ito.

Mga panuntunan at ilang paghihigpit

Sa matematika, mayroong ilang mga patakaran-paghihigpit na tinatanggap bilang isang axiom, ibig sabihin, ang mga ito ay hindi mapag-usapan at totoo. Halimbawa, imposibleng hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kumuha ng pantay na ugat mula sa mga negatibong numero. Ang mga logarithm ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunan kung paano gumana kahit na may mahaba at malawak na logarithmic expression:

ang base ng "a" ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero, at sa parehong oras ay hindi katumbas ng 1, kung hindi, mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
kung isang > 0, pagkatapos ay isangb>0,lumalabas na dapat na mas malaki rin sa zero ang "c."

Paano lutasin ang mga logarithms?

Halimbawa, binigyan ng gawaing hanapin ang sagot sa equation na 10^x=100. Napakadali lang, kailangan mong pumili ng ganoong kapangyarihan, itaas ang numerong sampu, tayo makakuha ng 100. Ito, siyempre Well, quadratic power! 10^2=100.

Ngayon, katawanin natin ang expression na ito bilang isang logarithmic. Nakukuha namin ang log_{10100=2. Kapag nagso-solve ng logarithms, halos lahat ng aksyon ay nagsasama-sama sa paghahanap ng kapangyarihan kung saan dapat ilagay ang base ng logarithm upang makakuha ng ibinigay na numero.}

Upang tumpak na matukoy ang halaga ng hindi kilalang degree, kailangan mong matutunan kung paano gamitin ang talahanayan ng degree. Mukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang ilang exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na mindset at kaalaman sa multiplication table. Gayunpaman, ang mas malalaking halaga ay mangangailangan ng power table. Maaari itong magamit kahit na sa mga hindi nakakaintindi ng kahit ano sa kumplikadong mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c, kung saan itinaas ang numero a. Sa intersection, tinutukoy ng mga cell ang mga halaga ng mga numero na sagot (ac=b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Napakasimple at madali ng lahat na kahit na ang pinakatunay na humanist ay mauunawaan!

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Lumalabas na kapagSa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equation. Halimbawa, ang 3⁴=81 ay maaaring isulat bilang logarithm ng 81 hanggang base 3, na apat (log₃81=4). Para sa mga negatibong degree, pareho ang mga panuntunan: 2^-5=1/32 na isinulat bilang logarithm, nakakakuha tayo ng log_{2 (1/32)=-5. Isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation na medyo mas mababa, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Sa ngayon, tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.}

kung paano lutasin ang mga halimbawa ng logarithms

Ibinigay ang sumusunod na expression: log_{2(x-1) > 3 - ito ay isang logarithmic inequality, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng tanda ng logarithm. Inihahambing din ng expression ang dalawang value: ang base two logarithm ng gustong numero ay mas malaki kaysa sa numerong tatlo.}

Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at inequalities ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa - logarithm₂x=√9) _{ay nagpapahiwatig sa sagot ng isa o higit pang mga tiyak na halaga ng numero, habang kapag nilulutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, parehong ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga at ang mga breakpoint ng function na ito ay tinutukoy. Bilang resulta, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay ng mga indibidwal na numero, tulad ng sa sagot ng equation, ngunit isang tuluy-tuloy na serye o hanay ng mga numero.}

katangian ng logarithms na may mga halimbawa

Basic theorems on logarithms

Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain upang mahanap ang mga halaga ng logarithm, maaaring hindi mo alam ang mga katangian nito. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Makikilala natin ang mga halimbawa ng mga equation mamaya, suriin muna natin ang bawat property nang mas detalyado.

Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: alogaB=B. Nalalapat lang ito kung ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.

Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Sa kasong ito, ang obligadong kondisyon ay: d, s}1 _{at s}2 _{> 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa formula na ito ng logarithms, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaang mag-log}a_s1 _=f1 _{at mag-log}a_s 2_=f2_{, pagkatapos ay isang}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Nakuha natin na s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(degree properties), at higit pa sa kahulugan: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{na dapat patunayan.}

Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

Ang theorem sa anyo ng isang formula ay may sumusunod na anyo: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of the logarithm". Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay nakasalalay sa mga regular na postulates. Tingnan natin ang patunay.

Hayaan ang log_ab=t, makakakuha tayo ng^t=b. Kung itataas mo ang magkabilang panig sa m kapangyarihan: a^tn=b^;

pero dahil a^tn=(a^q)^nt/q=b, kaya mag-log_a^q b^{n=(nt)/t, pagkatapos ay mag-log}aq _bn^{=n/q log}a_{b. Napatunayan ang teorama.}

Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay

Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithm ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at kasama rin sa ipinag-uutos na bahagi ng mga pagsusulit sa matematika. Upang makapasok sa isang unibersidad o makapasa sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, kailangan mong malaman kung paano lutasin nang tama ang mga naturang problema.

Sa kasamaang palad, walang iisang plano o scheme para sa paglutas at pagtukoy sa hindi kilalang halaga ng logarithm, ngunit maaaring ilapat ang ilang partikular na panuntunan sa bawat mathematical inequality o logarithmic equation. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o bawasan sa isang pangkalahatang anyo. Maaari mong pasimplehin ang mahabang logarithmic expression kung gagamitin mo nang tama ang mga katangian ng mga ito. Kilalanin natin sila sa lalong madaling panahon.

Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation,kinakailangang matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo: ang isang halimbawa ng isang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.

Narito ang mga halimbawa ng decimal logarithms: ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan mong matukoy ang antas kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Para sa mga solusyon ng natural na logarithms, dapat isalapat ang logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga katangian. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problemang logarithmic ng iba't ibang uri.

mga equation na may mga halimbawa ng logarithms

Paano gumamit ng mga formula ng logarithm: may mga halimbawa at solusyon

Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms.

Ang pag-aari ng logarithm ng produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan upang mabulok ang isang malaking halaga ng bilang b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Ang sagot ay 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - tulad ng nakikita mo, sa pamamagitan ng paglalapat ng ikaapat na katangian ng antas ng logarithm, nagawa naming malutas sa unang tingin isang kumplikado at hindi malulutas na pagpapahayag. Ang kailangan mo lang gawin ay i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang power sa sign ng logarithm.}

mga halimbawa ng solusyon sa natural na logarithms

Mga takdang-aralin mula sa pagsusulit

Ang Logarithm ay madalas na makikita sa mga entrance exam, lalo na sa maraming problema sa logarithmic sa Unified State Examination (state exam para sa lahat ng nagtapos sa paaralan). Karaniwan ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadaling pagsubok na bahagi ng pagsusulit), ngunit pati na rin sa bahagi C (ang pinakamahirap at mabibigat na gawain). Ang pagsusulit ay nangangailangan ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".

Ang mga halimbawa at solusyon sa problema ay kinuha mula sa mga opisyal na bersyon ng pagsusulit. Tingnan natin kung paano nalulutas ang mga ganitong gawain.

Binigyang log₂(2x-1)=4. Solusyon:

muling isulat ang expression, pinasimple ito ng kaunting log_2(2x-1)=22^{, ayon sa depinisyon ng logarithm nakukuha natin na 2x-1=2}4^{, kaya 2x=17; x=8, 5.}

Pagsunod sa ilang mga alituntunin, na sumusunod kung saan madali mong malulutas ang lahat ng equation na naglalaman ng mga expression na nasa ilalim ng sign ng logarithm.

Pinakamainam na bawasan ang lahat ng logarithms sa parehong base upang ang solusyon ay hindi mahirap at nakakalito.
Lahat ng mga expression sa ilalim ng logarithm sign ay ipinahiwatig bilang positibo, kaya kapag pina-multiply ang exponent ng expression na nasa ilalim ng logarithm sign at bilang base nito, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat positibo.